VII.-Теория-упругости (1109685), страница 18
Текст из файла (страница 18)
примеч. на с. 94); количеству Я протекающей через сечение трубы жидкости соответствует здесь величина С. В последнем члене слева берется разность значений на пределах интегрирования,т. е.на концах стержня. Один из этих концов, скажем нижний, закреплен так, что на нем б9з = О. Что касается вариации бУ потенциальной энергии, то, взятая с обратным знаком, опа представляет собой работу внешних сил при повороте на угол б9з. Как известно из механики., работа пары сил при таком повороте равна произведению Мйр угла поворота на момент пары. Поскольку никаких других внешних сил нет, то бУ = — Мб9з, и мы получаем 97 кгу 1вния стяг'кнвй Для стержня кругового сечения имеем (начало координат в центре сечвния) 1 2 2 Х=-(Л -х -р) Крутильная жесткость: с=" л.
2 Для функции 1~1 получаем из (16.10) 61 = сопэа Но постоянная 61 соответствует, согласно (16.4), простому смещению стержня как целого вдоль оси 2, поэтому можно считать, что Ы = О. Таким образом, поперечные сечения кругового стержня при кручонии остшотся плоскими. 2. То же для стержня эллиптического сечения (полуоси а и Ь). Р е ш е н и е, Крутильная жесткость: 262 С = кд аз +Ьл Распределение продольных смещений дается функцией кручения: Ь вЂ” а Ь' "; а' (оси координат направлены по осям эллипса). 3.
Чо же для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника (длина сторон а). Р о ш е и и е. Крутильпая жесткость: '3 С= — ра . 80 Функция кручения ~Ь = — р(х АЗ вЂ”,— у) (хуг3 — у), 1 ба причем начало координат выбрано в центре треугольника, а ось х совпадает с одной из его высот. 4. То же для стержня, имеющего вид длинной тонкой пластинки (ши- рина 21, толщина Ь (( 17), Решение. Задача. эквивалентна задаче о течении вязкой жидкости между плоскопараллельными стенками.
Результат: д 2162 3 5. То же для цилиндрической трубы (внутренний и внешний радиусы Л1 и Л2). Решение. Функция у=-(лз — г ) 2 2 4 (в полярных координатах) удовлетворяет условию (16.13) на обеих границах кольцевого сечения трубы. По формуле (16.17) найдем я С р(лэ л1). 2 6. То же для тонкостенной трубы произвольного сечения. Р еще ние. Ввиду тонкости стенки трубы люжно считать, что на протяжении ее ширины й функция у меняется от нуля на одной стороне до у1 на другой по линейному закону у = у192'Й (у — координата вдоль толщины 4 Л. Д. Ландау, ЕР 6 Лифшиц, том 111! 98 РАВНОВЕ('ИЕ СТЕРИ(пвй И ПЛАСТИНОК гл н стенки). Тогда условие 11б.13) дает 1(16116 = Я, где 6 — длина периметра сечения трубы, а о — охватываемая им площадь.
В выражении (1б.17) второй член мал по сравнению с первым, и мы получаем 465~И 6 Если трубу разрезать продольно по одной из ее образующих, то крутильная жесткость резко уменьшается, становясь равной 1согласно результату задачи 4) С = д66~/3. 8 17. Изгиб стержней В изогнутом стержне в некоторых местах его происходит растяжение, а в других сжатие. Растянуты линии на выпуклой стороне изогнутого стержня, а иа вогнутой стороне происходит сжатие. Как и в случае пластинок, вдоль длины стержня внутри него существует «нейтральная» поверхность, на которой ие происходит пи растяжения, ии сжатия. Опа отделяет собой области сжатия от областей растяжения. Начнем с исследования деформации изгиба в небольшом участке длины стержня, в котором изгиб можно считать (лабым, под слабым мы понимаем здесь изгиб, при котором мал не только тензор деформации, но и абсолютная величина смещений точек стержня.
Выберем систему координат с началом в некоторой точке нейтральной поверхности внутри рассматриваемого участка стержня. Ось в направим параллельно оси стержня 1недеформированного); изгиб пусть происходит в плоскости вх. При слабом изгибании стержня можно считать, что изгиб происходит в одной плоскости. это связано с известиыъ1 из дифференциальной геометрии обстоятельством, что отклонение слабо изогнутой кривой от п,лоскости 1так называемое ее кручение) является малой величиной высшего порядка по сравнению с кривизной. Аналогично тому, что мы имели в случае изгиба пластинок и кручения стержней, и при изгибе тонких стержней внешние силы, действующие иа боковую поверхность стержня, малы по сравнению с возникающими внутри стержня напряжениями, и при определении граничных условий иа этой поверхности их можно считать равными нулю.
Таким образом, вдоль всей боковой поверхности стержня имеем п,ьпь = О, или, поскольку п»=О, Сввп, + Ояу11„= О и аналогично для г = д, ж Выберем такую точку иа контуре поперечного сечения стсржия, в которой нормаль и направлена параллельно оси х. Другая такая же точка имеется где-нибудь иа противоположной стороне контура.
В обеих этих точках и, = О, и из написанного выше равенства имеем с( = О. Но поскольку 1 1т изГиБ стееж!!ей самый стержень предполагается тонким, то, если т„исчезает на двух сторонах его сечения, оно мало и вдоль всего сечения, так что можно положить !т = О во всем стержне. Аналогичным образом убеждаемся в том, что все компоненты тензора напряжений должны быть равными нулю, за исключением только компоненты и, Другими словами, при изгибе тонкого стержня болыпой является только растягивакпцая (или сжимающая) компонента тензора внутренних напряжений. Деформация, в которой отлична от нуля только компонента и„ тензора напряжений, есть не что иное, как деформация простого растяжения или сжатия (~ 5).
Таким образом, в каждом элементе объема изгибаемого стержня происходит простое растяжение (или сжатие). Самая величина этого растяжения, конечно, различна в разных точках каждого из поперечных сечений стержня, что и приводит в результате к изгибу всего стержня. Легко определить величину относительного растяжения в каждой точке стержня. Рассмотрим какой-нибудь элемент длины !1а, параллельный оси стержня и находящийся где-нибудь вблизи начала координат. При изгибании стержня длина дл изменится, сделавшись равной дл'. Неизменными остаются только те элементы длины, которые расположены на нейтральной поверхности. Пусть В есть радиус кривизны нейтральной поверхности вблизи начала координат.
Длины !1в и пх' можно рассматривать как элементы дуги окружностей с радиусами соответственно гг и Рг+т, где х значение координаты л в точке, в которой выбран элемент гйй Поэтому й ' Л/ Относительное удлинение равно, следовательно, Ж вЂ” !!~ х В С другой стороны, относительное удлинение элемента длины дг равно компоненте и„тенора деформации. Следовательно, и„= —.
(17.1) Л Мы можем написать теперь !т„, воспользовавшись непосредственно соотношением !г., = Еи,.-, имеющим место при простом растяжении. Таким образом, (17.2) До сих пор еще расположение нейтральной поверхности в изогнутом стержне оставалось неопределенным. Его можно определить из условия, что рассматриваемая нами здесь деформация должна представ.!ять собой чистый изгиб, без какого бы РАВВОВисиь стиРжиий и илистинок ГЛ. И то ни было общего растяжения или сжатия стержня.
Для этого полная сила внутренних напряжений, действующая на поперечное сечение стержня, должна быть равной нул1о, т. е. должен исчезать интеграл ~ п„1У, взятый по этой поверхности. В связи с выражением (17.2) для п„это приводит к условию (17. 3) С другой стороны, можно ввести понятие о центре инерции сечения стержня, как о центре инерции однородного плоского диска соответствующей формы. Координаты этого центра: У ] уды ] ду ] дУ Таким образом, условие (17.3) означает, что в системе координат с началом, лежащим на нейтральной поверхности, х-координата центра инерции сечения стержня равна нулю. Другими словами, нейтральная поверхность проходит через центры инерции поперечных сечений стержня.
Помимо и„отличны от нуля еще две компоненты тензора деформации, так как при простом растяжении имеем и = и„, = = — пи„. Зная тензор деформации,. легко найти также и смещения точек. Пишем; ди, х ди, дии их дх Й дх ду Й ди* + д -. О ди + ди О ди + ди-. О дх дх ду дх дх ду Интегрирование этих соотношений приводит к следующим выражениям для компонент перемещения: и,= — — ~х +п(,т — у )], и = — о.— ' 1 2 2 2 ху 2й в.' Постоянные интегрирования положены равными нулю; это значит, что мы закрепляем в пространстве положение начала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
