VII.-Теория-упругости (1109685), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Вектор жс смещения и, который был бы связан с шла определением (27.2), при этом вообще не может быть введен (это ясно уже из того, что при таком определении левая з'бвм уравнения (29.2) тождественно обратилась бы в нуль во всем обьеме кристалла). До сих пор мы предполагали дислокации неподвижными. Выясним теперь, каким образом должна быть сформулирована система уравнений, позволяющая в принципе определить упругие деформации и напряжения в среде, в которой дислокации совершают заданное движение ).
11 1 Мы не занимаемся здесь вопросом об определении самого движения дислокаций по приложенным к телу силам. Решение этого вопроса требует детального изучения микроскопического механизма движения дислокаций и их торможения на различных дефектах, которое должно производиться с учетом фактических данных о реальных кристаллах. 174 гл 1ч дислок«ции Уравнение (29.2) не зависит от того, покоятся или движутся дислокации.
При этом тензор ш,ь по-прежнему остается величиной, определяющей упругую деформацию; его симметричная часть есть тензор упругой деформации, связанный обычным образом законом Гука с тензором напряжений. Это уравнение, однако, теперь недостаточно для полного формулирования задачи. Полная система уравнений должна определять также и скорость ч перемещения точек среды.
Но при этом необходимо учесть, что дви жение дислокаций сопровождается, помимо изменения упругой деформации, также и изменением формы кристалла, не связанным с возникновением напряжений пластической дефорчициеи. Как уже 1поминалось, движение дислокаций как раз и представляет собой механизм пластической деформации. (Связь движения дислокаций с пластической деформацией ясно демонстрируется рис. 25: в результате прохождения краевой дислокации слева направо верхняя —. пад плоскостью скольжения -- часть кристалла оказывается сдвинутой на один период решетки; поскольку решетка в результате остается правильной, то кристалл остается ненапряженным.) В противоположность упругой деформации, однозначно связанной с термодинамическим сосгоянием тела, пластиче- окая деформация является функцией процесса При рассмотрении неподвижных дислокаци" и вопрос о разделении упругой и пластической деформаций не возникает: нас интересуют при этом .лишь напряжения, пе зависящие от предыдущей истории кристалла.
Пусть и вектор геометрического смещеРис. 25 ния точек среды, отсчитываемый, скажем, от их положения перед началом процесса деформации; его производная по времени и = ъ~. Если образовать с помощью вектора и тензор «полной дисторсии» И',ь = дпь/дт,„ (пл) то мы получим его «пластическую часть» ш,ь, вычти из И';в тензор «упругой дисторсиигэ совпадающий с фигурирующим в (29.2) тензором ш,ь. Введем обозначение (29.4) симметричная часть 71ь определяет скорость изменения тензора (пл) пластической деформации: изменение и,. за бесконечно малое 175 ИЕПРЬРЫВПОЕ РЛСПРЕДЬЛЕПИЕ ДИСЛОКАЦИЙ время б1 равно дт,п дп1 д1 дх, (29.6) связывающего скорости изменения упругой и пластической деформаций. Здесь 11В надо рассматривать как заданные величины, которые должны удовлетворять условиям, обеспечивающим совместность уравнений (29.6) и (29.2).
Эти условия получаются дифференцированием (29.2) по времени и подстановкой в него (29.6); они имен>т вид уравнения (29.7) дх1 Уравнения (29.2), (29.6) вместе с динамическими уравнениями дп,1 РР1, — ~ 1Р1в — л1л1т111т — 21ытп'1т.1 (29.8) дх1. составляют полную систему уравнений, описывающих динамику упругой среды с движущиплися дислокациями (А.М. Косевич, 1962). Фигурирующие в этих уравнениях тензоры р1ь и у,в являются заданными функциями координат (и времени), характеризующими распределение и движение дислокаций. Эти функции должны удовлетворять ушювиям совместности уравнений (29.2) друг с другом и с уравнением (29.6), выражаемым равенствами (29.3) и (29.7).
Условие (29.7) можно рассматривать как дифференциальное выражение «закона сохранения вектора Бюргерса» в среде. Действительно, проинтегрировав обе части уравнения (29.7) по повсрхности, опирающейся на некоторую заъ1кнутую линик1 ь, введя согласно (29.1) полный вектор Бюргерса Ь охваченных линией 7 дислокаций и воспользовавшись теоремой Стокса, получим —" = — ~ ь1,ь 11х1С (29.9) П1 14з вида этого равенства очевидно, что интеграл в его правой части определяет величину вектора Бюргерса, «протекающегоп би~"""~ = — — 1ь1ь + 1ь,)Ы (29.5) (Е. Кгопсг, С. 111е11ег, 1956). Отметим, в частности, что если пластическая деформация происходит без нарушения оплошности тела, то след тензора ~,Р равен нулю.
Действительно, пластическая деформация не приводит к растяжению или сжатию тела (которые всегда связаны с возникновением внутрснних напряжений), т. е. и "' = О, а потому и 1РР = — диь1,'. /д1 = О. (пл1 . 1пл) Подставив в определение (29А) И1,ь — — Иг1«в — ш,ь, запишем (пл1 его в виде уравнения 176 со! ггг дисггоквции в единицу времени через контур Ь, т. е. уносимого диыокацгсями, пересекающими линию А. Поэтому естественно назвать усь тензором гглотности, гсотока дислокации.
Ясно, в частности г что в случае отдельной дислокационной петли тензор з,ь имеет вид 1гСг = егСтРСкМт = егСнгтС)т6Ь0® гс29.10) в соответствии с выражением [28.2) для Рис. 26 пластической деформации при смещении дислокации; здесь тс . скорость линии дислокации в данной ее точке. При этом вектор потока через элемент д1 контура б [ььйс) пропорционален сй~[тМ~ = Ъ" [от), т. е. проекции скорости Ъ" на направление, перпендикулярное как д1, так и т, из геометрических соображений очевидно, что так и должно было быть-- только эта проекция скорости приводит к пересечению дислокацией элемента д1. Отметим, что след тензора (29.10) пропорционален проекции скорости дислокации на нормаль к ее плоскости скольжения.
Выше было указано, что отсутствие неупругого излсенения плотности среды обеспечивается условием )н = О. Мы видим, что для отдельной дислокации это условие означает движение в плоскости скольжения в соответствии со сказанным выше о физической природе движения дислокаций [см. примеч.
О) на. с. 168). Наконец, остановимся на случае, когда дислокационные петли в кристалле распределены таким образом, что их суммарный вектор Бюргерса [обозначигвс его через В) равен нулю'). Это условие означает, что при интегрировании по любому поперечному сечению тела (29.11) Отсюда следует, что плотность дислокации в этом случае может быть представлена в виде Ргь = ент (29.12) дт, [Г. Кгоира, 1962); тогда интеграл (29.11) преобразуется в интеграл по контуру, проходящему впе тела и обращается в нуль.
Отметим также, что выражение [29.12) автоматически удовлетворяет условию [29.3). Легко видеть, что определенный таким образом тен,зор Рсь представляет собой плотность дислокационного момента в деформированном кристалле (его естественно назвать поэтому ') Наличие дислокации связано с некоторым изгибом кристалла, как зто схематически изображено в утрированном виде на рис. 26. Условие В = 0 означает отсутствие макроскопического изгиба кристалла в целом.
177 вгкпккрывиок рлспксдклкник дислоклций дислокациоггной поляризацией). Действительно, полный дисло- кационный момент кристалла Ргь равен по определению х Ргь = ~~ Б,дь = -егтт ~ 1гДх~ г7х = — ] еп х1р р гЛг гг 2 где суммирование производится по всем дислокационным петлям, а интегрирование по всему обьему кристалла. Подставив сюда (29.12), имеем 1 ( дРгг 1 1 (дР г дРг'г Ргхь = ( егьтегпрдх1 юг =, / хт 1 ) 2 / дх„ 2,/ г дх, дх ) и после интегрирования по частям в каждом из двух членов Ргь — ~ Рггь гг~ ° (29.13) В этом легко убедиться, например., вычислив интеграл ~ 1гъ Л' по произвольной части объема тела с помощью выражения (29.10) как сумму по всем заключенным в этом объеме дислокационным петлям.
Отметим, что выражение (29.14) вместе с (29.12) автоматически удовлетворяют условию (29.7). Сравнив (29.14) и (29.4), мы видим, что бюр~" — — бРгы Если условиться считать пластическую деформацию отсутствующей в состоянии с Ргь = О, то будет и пг,"л = Р„„. Подразумевается, (пл1 что весь процесс деформации происходит при В = О. Это обстоятельство надо подчеркнуттч поскольку между тензорами Ргь и 1пл) ю,„существует принципиальное различие: в то время как Рхь является функцией состояния тела, тензор ю,. ' не есть функ(пл) ция состояния, а зависит от процесса, приведшего тело в данное состояние.
В этих условиях имеем (пл) див югь = Ихь — ю = — ' — Рии дх, (29.15) где снова иь вектор полного геометрического смещения от положения в недеформированном состоянии. Уравнение (29.6) при этом удовлетворяется тождественно, а динамическое уравнение (29.8) принимает вид дик дР, рйг — Агыгп "" = — Агыгп дхг дхг дхр (29.16) Плотность же потока дислокаций выражается через тот же тензор Ррь согласно Эгв д1 (29.14) 178 1Э! 1Ч ДИС.1ОКАЦИИ Таким образом, определение упругой деформации, созданной движущимися дислокациями с В = О, сводится к задаче обычной теории упругости с объемными силами, распределенными по кристаллу с плотностью — Х,.ц,, дР~1а (дхь.
8 30. Распределение взаимодействующих дислокаций Рассмотрим совокупность болыпого числа одинаковых прямолинейных дислокаций, расположенных параллельно друт другу в одной и той же плоскости скольжения, и выведем уравнение, определяющее их равновесное распределение. Пусть ось з параллельна дислокациям, а плоскость хз совпадает с плоскостью скольжения. Будем для определенности считать, что векторы Бюргерса дислокаций направлены вдоль оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
