VII.-Теория-упругости (1109685), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. уравнения Эйлера вариационной задачи о минимуме функционала (38.4)): (Л1гйп Х+ Лз сов~ Х)Х'~ — К1 сов~ Х = сопэ$. (38.5) Согласно условию (38.3) должно быть Х вЂ” э н/2 при С вЂ” ь — со. Очевидно, что для этого должно быть Х' — э 0 при Х вЂ” + я/2; поэтому сопв1 = О, так что ~/К1 сое Х Х (К~ внпе Х -Р Кз сове Х) Нэ Отсюда находим искомое решение, удовлетворяющее условию (38.2), в виде х й 1 (К1В1п х+Кзсоэ х) ~ (38 б) ,К вЂ”,/ соэ Х о В противоположность дисклинации (37.10) это решение не автомодельно; в него входит размерный параметр длины гс. Интеграл ) последний член в полынтегральном выражении несуществен лля формулировки вариационной зада си, но нужен лля вычиотепия полной свободной энергии. 213 иесиигуляРиое Осесиу|мвтРичиое Рвшвнив (38.6) выражается через элементарные функции.
Выпишем ответ в предположении, что Ла ) ЛН -Рз ' -8';. Г й — — (1Я 8)) 188.1) ) 2 Кз — К1 ~12 1 ~2 Кз ' Кз' При г — Р 0 разность згг82 — Х стремится к нулю пропорционально первой степени г, а линии тока приближаются к оси в по экспоненциальному закону г ехр (сопвФ 2). Для свободной энергии, связанной с этим решением, вычисление дает ) )гг28ггс)г = пЛ1 (2+ — агсвгпуз(. 0 кк' (38.8) Отметим, что это выражение вообще не зависит от радиуса со- суда Л. Энергия же дисклинации (рис. 27 а; решение (37.10)): н ) 28ггРИ 81г = яК17, О (38.9) с граничными условиями Х(О) =— 2 Х(н) = О Имеем ')Х сов Х "Х гоге п = — сов Х вЂ”, гоге п = — зйпХ вЂ”, 11гип = О.
дг г 88'Г где Л = 1п (Л78а) — большой логарифм, происхождение которого связано именно с особенностью па оси. Мы видим, что решение без особенности энергетически более выгодно по сравнению с решением с особенностью (если только коэффициент Л1 не аномально мал). Поле п(г) рассмотренного здесь осесимметричного без особенности решения уравнений равновесия может быть получено из поля п(г) в дисклинации с п = 1 путем непрерывной (т.
е. без возникновения каких-либо разрывов) деформации постепенным выводом векторов и из плоскостей я = сопв1. Это обстоятельство является проявлением весьма общей ситуации, которая будет выяснена в следующем параграфе. Задачи 1. Найти осеснммет ричное решение уравнений равновесия нематической среды в цилиндрическом сосуде беэ особенности на оси, отвечающее граничным у вговиям рис. 27 б. Р е ш е н и е. Ищем решение в виде и, = О, и. = сов Х(г), пз = 81пХ(г) 214 гл у! МВХАИИКА 7КИДКИХ КРИСТАЛЛОВ Свободная энергия; я ыл ) 2Я7Рв 717 = 7 ) )Кз(впХ совХ вЂ” Х )з 4- Кз сов~ Х) 71ф Первый интеграл уравнения равновесия: К7Х вЂ” (Кзв777 Хсов Х+Кзсов Х) = О. ИнтегРиРование этого УРавнениЯ ИРивоДит к РезУльтатУ (повгагаев7 Кз > Кз); 'г 1 — Й яп Х вЂ” /г япХ з Кз Кз 77 Кз 1 777 17 =, к' При г — 7 О угол Х вЂ” 7 я772 по закону 77 7 7' — — Х = 2А —.
2 Л Свободная энергия этой деформации в ) 2яггй дг = ЛКз 7 2 4- — агсяп 1), е и' между тем как свободная энергия плоской дисклинвции рис. 27 0: ХКзб. 2. Исследовать устойчивость дисклинацин с индексом и = 1 относительно малых возмущений вида дп97) ( С.И. Анисимов, И.И.
Дзялошинский, 1972) . Р е ш е н и е. а) Невозмущенное поле радиальной дисклинацин (рис. 27 а): п, = 1, п - = и„. = О. Возмущенное же поле пишем в виде псовВсовФ1(0 4Ф)п7СОвВв!пФФ,п,=яп00, 1 2 где углы 0 и Ф вЂ” функции угловой координаты 77. Энергия, связанная с этим возмущением: ра771г777В = — ~ 17К7Ф +КзВ + 77Кв — К7)Ф вЂ” К7В ) Йа. 4 Для общего исследования надо было бы положить 01:р) = ~ ~В,г"Р, Ф(ф = ~ ~Ф7е"Р и выразить энергию как функцию всех Вю Ф,, Но и без того сразу видно, что рассматриваемая дисклинация всегда неустойчива относительно возмущения Ве (член — К7Ва в энергии).
б) Невозмущенное поле циркулярной дисклинации (рис. 27 б): п,. = п, = = О, и. = 1. Возмущенное поле записываем в виде и, =совВсов~ — +Ф) — Ф, пг =совВяп~ — +Ф) 1 — — — (В +Ф ), п, =япВ В 21б ТОИОлОгическив свОйс1вл дисклиплции (определение угла Ф изменено по сравнению с предыдущим случаем). Соот- ветствующая энергия: Гагдг1)эг = — Г (Кз(В' Ф Ф' ) -Ь (Кз — Кз)Ф -Ь (Лг — 2Кз)В ) 1)эг. ,Г ,1 У 11аиболео «опасныз возмущения Во и Фо; условия устойчивости по отношению к этим возмущениям: Кз > Кз, Кз > 2Кз. Полученное в тексте и в задачо 1 утверждоние.,что свободная энергия деформации в дисклинациях с и = 1 превышает энергию несингулярного осесимметричного репзения означает лишь, что эти дисклинации могли бы быть в лучшем случао ъзстастабильными.
Теперь мы видим, что рздиальная дисклинация вообще неустойчива, а циркулярная устойчива (относительно возмущений указанного вида) при соблюдении определенных соотношений между модулями. 3. Нематическая среда заполняет пространство между двумя параллельными плоскостями, причем граничные условия на одной плоскости требуют перпендикулярности, а на другой — параллельности директора поверхности. Определить равновесную конфигурацию п(г).
Решение. Равновесная конфигурация будет, очевидно, плоской; выберем ее плоскость в качестве плоскости хг с осью г перпендикулярной граничным плоскостям (плоскости з = О и г = Ь). Положим и = ззп х(г), и, = соз х(г). Свободная энергия деформации: Е г)г= — ( (К шп ХСКгсоз Х)Х' з. 1 1, г г ш 2 Первый интеграл уравнения равновесия: (Лз ап Х -~- Кг соз Х)Х~ = сопэц откуда С учетОм граничных условий ,зг ((Кз шп Х Ф Лз сов Х) ~ 1«Х = — ( (Лзгйв Х Ф Лгсоз Х) 2 дХ, о 6 а „Е(х,й) „(К вЂ” К ) е(я(2, к) кз где Е(Х, Й) — эллиптический интеграл второго рода. й 39.
Топологические свойства дисклинации Данное в 2 37 определение индекса «Ррапка было существенно связано с предположением о плоском характере деформации в дисклипации и однородностью вдоль ее длины. Покажем теперь, каким образом это понятие может быть введено в общем случае произвольных криволинейных дисклинаций в нематической среде. Энергия нсматика не меняется при одновременном произвольном повороте директора во всех его точках. В этом смысле можно 216 гл ы мкхлпикл жидких кгистлллов с казать, что состояния нематика вырождены по направлениям директора; эти направления играют роль пираметрп вырождения. Введем понятие о пространстве пырозюденпл области допускаемого без изменения энергии изменения параметра вырождения.
Им является в данном случае поверхность сферы едипичного радиуса, каждая точка которой отвечает определенному направлению и. Надо однако учесть еще, что состояния нематика, отличающиеся изменением знака и физически тождественны. Друтими словами, диаметрально противоположные точки на сфере физически эквивалентны. Таким образом, пространство вырождения пематика -- сфера, на которой каждые две диаметрально противоположные точки считаются эквивалентными ). Представим себе, что мы производим в физическом обьеме пематика обход вокруг расположенной в пем дисклинационпой линии по некоторому замкнутому контуру (назовем его контуром у).
Будем следить при этом обходе за направлением вектора и. Изображающая его точка в пространстве вырождения на сфере — опишет некоторый тоже замкнутый контур (назовем его контуром Г). Здесь надо различать два случая. В одном из них контур Г замкнут в буквальном смысле. Возвращаясь в исходное положение, изображающая точка описывает некоторое целое чишю п пе— — тель (так, дпя контуров Г1 и Гз па рис. 31 это число равно 1 и 2). Это число и является целочисленным индексом Франка. В другом случае контур Г, выйг,д дя из некоторой точки на сфере, заканчивается в диаметрально противоположной точке.
Такой контур тоже должен рассматриваться как «замкнуРис. 31 тый» ввиду эквивалентности диамет- рально противоположных точек. Индекс Франка определяется как полуцелое «число петель», описываемых при этом изображающей точкой (так, для полуокружности Г1д это числО и = 1,12). Любой замкнутый контур на поверхности сферы может быть превращен в любой другой замкнутый контур путем непрерывной 1т. е. без разрыва контура) деформации. Более того,. любой замкнутый контур может быть непрерывным образом стянут в то«ну ).
') Этому геометрическому образу отвечает в топологии так называемая проективная плоскость. ») Деформация контура может отражать собой как изменение контура Ч в физическом пространстве, так и изменение самого поля п(г). тоиологичискии сиойстил дисклиихции 217 Также могут быть превращены друг в друга любыс контуры, начинающиеся и кончающиеся в диаметрально противоположных точках сферы. Такие контуры, однако, пе могут быть стянуты в точку: при деформировании концы контура могут смещаться, но лишь оставаясь при эхом на концах какого-либо диаметра сферы.
Таким образом, индекс Франка не является топологическим инвариантом. Топологически инвариантен лишь факт его целоили полуцелочисленности. Из сказанного следует, что все дисклинации в нематической среде распадаются на две категории, в каждой из которых все дисклинации топологически эквивалентны могут быть переведены друг в друга путем непрерывного деформирования поля п(г) (С.И. Анисимов, И.Е. Дзялоитнский, 1972). Одну категорию составляют дисклинации с целыми индексами Франка; эти дисклинации к тому же топологически неустойчивы — они могут быть вообще устранены путем непрерывного деформирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
