VII.-Теория-упругости (1109685), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Очевидно, что в этих условиях возможно лишь б 1/д. Таким образом, при течении по трубке большого по сравнению с 1/ц радиуса формула (43.8) будет справедлива везде, за исключением лишь очень тонкого (толщина порядка шага геликоидальпой структуры) пристеночного слоя. й 44. Упругие свойства смектиков По принятой терминологии к категории смектическик жидких кристаллов (или смвктиков) относятся апизотропные жидкости разнообразной слоистой структуры. По крайней мере некоторые из пих представляют собой тела с микроскопической функцией плотности молекул, зависящей только от одной координаты (скажем, и) и периодической по ней, р = р(и). Напомним (см.
У, з 128), что функцией плотности определяется распределение вероятностей различных положений частиц в теле; в данном случае можно говорить о различных положениях молекул как целого, т. е. рдГ есть вероятность центру инерции отдельной молекулы находиться в элементе объема Л'. Тело с функцией плотности р(г) можно представлять себе как состоящее из свободно смещающихся друт относительно друга плоских слоев, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга. В каждом из слоев расположение центров инерции молекул беспорядочно, и в этом смысле каждый из них представляет собой «двумерную жидкостьк, жидкие слои, однако, могут быть как изотропными, так и анизотропными.
Это различие может быть связано с характером упорядоченной ориентации молекул в слоях. В простейшем случае анизотропия распределения ориентаций задается всего одним направлением п (скажехц направлением «длинной оси» молекулы). Если это направление перпендикулярно плоскости слоев, гчои изотропны, так что ось г является осью аксиальной симметрии тела; такова, по-видимому, структура так называемых смектиков А. Если же направление п наклонно к плоскости ки, то в этой плоскости появляется избранное направление и осевая симметрия исчезаот; такова, по-видимому, структура так называемых смекшиков С. упгугиь сВОЙстВА смвктикоВ 241 Мы будем рассматривать ниже только более простые смектики А (и говорить о них просто как о смектиках).
Во всех известных смектиках А, помимо аксиальной симметрии вокруг оси В, имеет место также и эквивалентность обоих направлений оси в. Если смектик обладает еще и центром инверсии, то его макроскопическая симметрия (т. е. точечная группа симметрии) такая же., как у нематиков; микроскопическая же симметрия, а с нею и механические свойства, конечно, совершенно разные. По поводу сказанного до сих пор надо сделать следующую очень важную оговорку.
Существование структуры с непостоянной вдоль объема тела функцией плотпости предполагает достаточную малость смещений, испытываемых малыми участками тела в результате тепловых флуктуаций. Между тем для структуры с р = р(В) эти флуктуационные смещения неограниченно растут при увеличении размеров тела (суь 1У, 2 137). Строго говоря, это означает невозможность существования одномерной периодической структуры в неограниченной по своим размерам среде.
Фактически, однако, смысл этого утверждения оказывается весьма условным ввиду медленности (всего логарифмической) возрастания флуктуаций при увеличении размеров тела. Оценки (использующие типичные значения материальных констант известных смектиков) показывают, что разрушение одномерной периодической структуры могло бы произойти лишь при практически нереачьных огрохшых размерах и, таким образом, в любой реальной постановке вопроса структура р (В) оказывается осуществимой. Подчеркнем в то же время, что с разрушенной флуктуациями структурой р1В) (т. е. в которой стало уже р = сопв1) среда отнюдь не становится обычной жидкостью.
Принципиальное отличие состоит в свойствах корреляционной функции флуктуаций плотности в различных точках пространства: (др(г1) др(гз)). В обычной жидкости эта функция изотропна и убывает при ~ = ~гв — г1~ — Р ос по экспопенциальному закону (суь Ъ', З 116). В системе же с р = р(В) корреляционная функпия остается (при увеличении размеров тела) анизотропной и убывает при г — ~ сс лишь по медленному, степенному закону, причем тем медленнее, чем ниже температура (см. 'у', 3 138). Приступая к построению механики смектических сред, надо начать с отыскания выражения для плотности свободной энергии их деформации. Ввиду микроскопической однородности среды в плоскости лп смещения ее точек в этой плоскости связаны с изменением энергии лишь постольку, поскольку они приводят к изменению плотности вещества. Имея это в виду, выберем в качестве основных гидродинамических переменных (помимо температуры, предполагающейся постоянной вдоль среды) плотность р и смещение и,: — и точек среды вдоль оси В.
Энергия 242 <э! ч! мехлиикл !Кидких кгистлллов деформации зависит от изменения плотности р — ро (ро плотность недеформированной среды) и от производных смеп1ения и по координатам. При этом первые производные ди<<дх, ди7<ду вообще не могут входить в квадратичную часть свободной энергии; если повернуть тело как целое вокруг осей х или у, то эти производные изменятся, между тем как энергия должна остаться неизменной ). Как всегда в теории упругости, изменения всех величин в пространстве будут предполагаться достаточно медленными, так что энергия деформации определяется первыми неисчезающими членами разложения по степеням пространственных производных. Кроме того, однако, будет предполагаться еще и более далеко иду<цее условие: сами смещения и предполагаются настолько малыми, что слои остаются везде почти параллельными одной и той же плоскости ху ).
В этих предположениях и с учетом симметрии среды свободная энергия деформации смектика дается с<<едующим выражением: Гй = à — г'о1'1') = В дят2 = — 1Р - Ро) 2 + С1Р— ро) — и + " (~" ) + ~' (Ьли) 2, 2ро дх 2 !дс 2 7)э Д2 , + —. (44.1) Член вида в) (ди7<дз)Ьти запрещается предполагаемой здесь эквивалентностью обоих направлений оси з, т. е. симметрией по отношению к преобразованию и э — и, в — э — г! х, у э х, у (отражение в плоск<жги ху) или и э — и, в — э — в, у э — у, х — э х (поворот вокруг горизонтальной оси второго порядка оси х); по этой жо причине отсутствует член вида (р — ро)Ьти.
Учет первого члена разложения по вторым прог<зводным (отсутствующий в теории упругости твердых тел) необходим ввиду отсутствия в Рй первых производных по х и у. Условия устойчивости недеформированпого состояния, т. е. условия положительности энергии (44.1), гласят А>0, В>0, АВ>С2. (44.2) ) В упругую энергию твердых тел эти производныс входят в комбинациях и„и и„, с производными от и и в<Л эти комбинации при указанном повороте не изменятся.
~) В этом смысле область применимости развиваемой здесь механики смектиков более узка, чем для рассмотренной выше механики нематиков, в которой допускались поля директора п(г), сколь угодно сильно отличающиеся от недеформированного однородного распределения. ) Такой член фигурировал в у, Э 137. 243 упРуГие своЙства смвктикоВ Обозначение коэффициента КГ в (44.1), совпадающее с обозначением в (36.1), выбрано не случайно. Действительно, деформацию слоистой структуры смектиков люжно описывать распределением директора п(г), понимая его как нормаль к деформированным слоям, задаваемым уравнениями п(г) = соггв$.
При малом искажении слоев ди ди и,= — и, = — и =1 х д ~ 'В д х р и тогда (Ьти) = (с)1уп), т. е. как раз та величина, которая фигурирует в соответствующем члене в (36.1). Коэффициенты же В и С в (44.1) характерны для специфической кристаллической природы смектиков, отличающих их от нематиков ). Обратим внимание на то, что в приближении (44.3) и гоФ и = гоФ, п = О. Поэтому член вида и го1 и в свободной энергии (а тем самым и холестеричес кое искажение структуры 3 43) в смектиках отсутствует вне зависимости от наличия или отсутствия среди ого элементов симметрии центра инверсии.
Уравнения равновесия смектика получаются минимизацией полной свободной энергии по переменным р и и при дополнительном условии ) рЛ' = соггэ1, выражающем сохранение полной массы тела. Минимизируя разность ~ Еда%' — Л ~ рсЛ1 (где Л постоянный множитель Лагранжа) по р, получим равенство ~(р — р,)+с — '= л. Ро дя связывающее изменение плотности с деформацией слоев. Полагая, что ро есть плотность прн ди/дя = О, имеем Л = О, и тогда р — ро = — рот —, кп = ди Сро (44.4) дя А (44.3) ю ) Подчеркнем, что директор и (пониу1аемый как избранное направление ориентации молекул в слоях) не является в смектнках (смектиках А) независимой гидродинамической переменной. Для переменной и в гидродинамике пематиков харакгерно, что однородный поворот поля п(г) во всем теле не связан с изменением энергии.
Именно поэтому медленное изменение и вдоль тела связано лишь с малым изменением энергии, последняя зависит только от производных от и и может быть разложена по ним. В смектиках же всякий такой поворот меняет ориентацию относительно слоисгой структуры и был бы связан со значительным изменением энергии. Отметим, что в смектиках С, где директор наклонен к нормали под некоторым определенным углом, однородный поворот направлений и вокруг нормалей с сохранением величины угла наклона снова не был бы связан с изменением энергии.
Поэтолсу здесь снова появляется новая гидродинамическая переменная— проекция и на плоскость слоев. 244 мьхАиикА окидких кгистоллов ГЛ РЛ и, сравнив с определением (5.4): и= (41 5) 2 При гп = О коэффициент о принимает характерное для жидкости значение а = 1/2. Исключив из (44.1) изменение плотности с помощью (44.4), получим свободную энергию, выраженную только через ьи 2РР 2 ук = р' ( — ) + — '(ьти) (44.6) Где В' =  — —. (44.7) Варьируя полную свободную энергию по и, найдем теперь после нескольких интегрирований по частям; Д ) Е~ о1 ' = — ~ Г, оп Р1 '»; (44.8) где о ~' = роВ~ ", — К1~ (44.9) Очевидно, что Р, есть (отнесенная к единице объема) сила, действующая в направлении оси В в деформированном смектикс при условии, что изменение плотности уже оподстроилось» под деформацию. В равновесии Г, = О, так что смещение и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (44.10) Если па тело действуют еще и приложенные к нему объемные внешние силы, то они должны быть добавлены к левой части уравнения (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
