VII.-Теория-упругости (1109685), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Š— — ~*+ г +2— 211+.) Р (8.19) Е Компоненты Р,, Ру, Р, внешних сил, приложенных к поверхности, являются заданными функциями координат л, у, обращающимися в нуль на бесконечности. Формулы, с помощью которых введены вспомогательные величины дх, Яу, 1„У!, не опРелелЯют их вполне оДнозначным образом; в их выборе остается еще некоторый произвол. Поэтому можно наложить на зти величины еще какое-либо произвольное дополнительное условие. В качестве такового удобно потребовать обращения в нуль величины, стоящей в фигурных скобках в уравнениях (8.9) "); (1 — 2с!)~, — ~' + з + 4(1 — о) М = О. (8.11) дх дУ/ дх Тогда условия (8.9) упрощаются и дают д е 2(1-Р о) р д ез 2(1+о)Р дх' с=О Е дхе х=О Е Х! у' Уравнения (8.10), (8.12) достаточны для полного вычисления гармоническллх функллилл 8х, 8у.
Ух, Ф. Для упрощения записи дальнейших формул мы рассмотрим случай, когда на свободную люверхность упругого полупространства действует сосредогпоченнпя сила й, т. е. сила, приложенная к весьма малому участку поверхности, который можно считать ) Мы не доказываем здесь возможности на,ложення такого условия> она будет явствовать из того,что в результате мы не придем ни к каким противоречиям. 1 8 глвноввсив тгемгоа гтвды, огглпичкнной плоакостью 43 точечным. Действие этой силы может быть описано как действие поверхностных сил, распределенных по закону Р = Рб(х)б(у), где б обозначает б-функцию, а начало координат выбрано в точке приложения силы.
Зная решение задачи для сосредоточенной силы, можно непосредственно построить решение для произвольного распределения сил Р(х, у). Именно, если и, = Сгь(х, у, х)г"ь (8.13) есть деформация под действием сосредоточенной силы Р, приложенной в начале координат, то деформация под действием сил Р(т, у) дается интегралом ') и,, = Ць',ь(х — х', у — у, х)Рь(х', у') дт'ду'. (8.14) Из теории потенциала известно, что гармоническая функция 1", обращающаяся на бесконечности в нуль и обладающая заданной нормальной производной дОдх на плоскости х = О, определяется формулой 1 ( 1 д1(х,у,х) Йх Йу у(х,угх) = — — д 2я .// дх х=о г Поскольку величины ддх/дх, д8у/дх и величина, стоягцая в фи- гурных скобках в уравнении (8.10), удовлетворяют уравнению Лапласа, а равенства (8.10) и (8.12) как раз определяют значе- ния их нормальных производных на плоскости х = О, имеем — ах+ ~" ) +2 — У= 11 '(х'У)с( 'с( '= ) дх ду / дх яЕ // г яЕ (8.15) дЬЧ 1-ЬоЕ„ (8.16) дх яЕ г ~.*-4" = Гхстгс~ Г В выражения для компонент искомого вектора и входят не самые величины 8;, ну, а только их пРоизводные по х, У, х.
Дла вычисления дя /дх, д8у/ду дифференцируем равенства (8.16) соответственно по х и по у: д'К, 1+о Е х д'д„1+в Е„у дх дх;гЕ га ду дх яЕ га дуг 1+оЕ дх яЕ ) Согласно математической терминологии С,г есть тензор Грина Лля уравнений равновесия полубесконечной среды. г'л. ! ОСНОВИЫВ УРЛВИЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Интегрируя теперь по с1л в пределах от ОО до л, получаем ду, 1+ а Р.в д8„1+ а Рту 18 17) дт кЕ т1т; — з) ду:тЕ тле+ з) Мы не станем производить здесь дзльнейгпих простых, но довольно громоздких вычислений.
Из уравнений 18.11), (8.1от) и 18.17) определяем 7", и дф/дл. Зная дф/дз, легко вычислить дф/дх, дф/ду, интегрируя сначала по я, а затем дифференцируя по т и по д. Так мы получим все величины, нужные для вычисления вектора деформации согласно 18.2), 18.5), 18.7).
В результате получим следующие окончательные формулы: 211 — а)т -~- е т(т+ з) ~2т1ат 4- з) -~- вз)т г теет+ з)з + ~ ) Гу + 18.18) т1т 4- з) '12т1ат -~- з) + з)У г тзгт + )з + ~' "+М(.У'+уГ)) 1+ а ( ~уз 11 — 2а)у~ 2кЕ тз т1т -Р е) и,= — (~ ~ )+ —,)Г, В частности, смещение точек самой свободной поверхности сре- ды дается формулами, получающимися отсюда при л = О: 2тЕ т( т 1+а1( 11 — 2е)УГ +2г1 )Г +2ау( Г + Г)) 2яЕ т ы, = ~а — (2(1 — о)Г + (1 — 2т) — (гвГ + уГу)) .
(8.19) 2тЕ т т ) Аналогичная задача Лля произвольной неограниченной анизотроппой среды решена 7з.М. ЛИ1бшияем и Л.Н. Розенцоейгом ЛЖЭТФ. 1947. Т. 17. С. 783). Задача Определить деформацию неограниченной упругой среды, к леазлолзу участку которой приложена сила Р 1 т1т. ТЬотзов, 1848) '). Решение. Рассматривая деформацию на расстояниях т, больших по сравнению с разллералли участка приложения силы, мы можем считать, что 45 8 глвссоввоин япгягой сеиды, огглсси сяссной гслоокостью сила приложена в точке.
Убравпение равновесия гласит (ср. (7.2)): схи+ 8гадс1гви = — Г6(г) 1 . 2(1+ гт) (1) 1 — 2сг Е (где 6(г) = 6(х)6(гу)6(х), а начало координат выбрано в точке приложения силы). Ищем решение в виде и = ио + ис, где ио удовлетворяет уравнению типа Пуассона: Ьио = — Г6(г). (2) Е Соответсгтвеняо для ид получим уравнение 7 с11т ит + (1 — 2а)Ьит = — ~сс11гпо. (3) Обращающееся на бесконечности в нуль регненне уравнения (2) есть 1-8 сг Г ио = 2пЕ г Применив к уравнению (3) операцию го1, получим Ьгос из = О.
На бсскансчнОСти дОЛжнО быть гос ис = О. Но функция, гармоническая во всем пространстве н обращающаяся в нуль на бесконечностиг равна нулю тождественно. Таким образом, го1 ид = О и соответственно атому можно писать ид в виде ид = йгад сг. Из (3) получаем T(2(1 — а)Ьггт+ ббт по) = О. Отсюда следует, что стоящая в скобках величина есть постоянная, н поскольку она должна исчезать на бесконечности, то во всем пространстве с)1т по 1 -~- гт 1 Лр— 2(1 — сг) 4пЕ(1 — а) г. Если й — решение уравнения Лй = 1)г, то 1 -~- а 'гт = ГРвс 4пЕ(1 — а) Выбрав не имеющее особенностей решение й = г)2, получим 1 Ч- а (Гп)гг — Г ид= TЗт= 8пЕ(1 — гт) где п -- единичный вектор в направлении радиус-вектора г.
Окончательно имеем 1+ сг (3 — 4а)Р Ч- п(пГ) и— 8пЕ(1 — т) г Представив зту формулу н виде (8.13) г получим тензор Грина уравнений равновесия неограниченной изотропной среды '): 1+ ст 1 1 г6,с 1 д С,ь = ~(3 — 4а)6гь -Ь п,пь)- = — ~— г]. 8пЕ(1 — а) г 4пд г 4(1 — а) дх, дхь ) Тот факт, что компоненты тензора С,ь — однородные функции первого порядка от координат хг у, х, заранее очевиден из соображений однородности в связи с видом уравнения (1), в левой части которого стоит линейная комбинация вторых производных от компонент вектора и, а в правой— однородная функция третьего порядка (6(аг) = и ~6(г)).
Это свойство остается и в общем случае произвольной анизотропной среды. ГЛ ! ОснОВныв уРлвпвния "!'еОРии упРуГОсти 8 9. Соприкосновение твердых тел з = згад вопд! (9 1) где по дважды повторяющимся индексам сг, ~3 подразумевается суммирование по значениям 1, 2 (х! = т, т2 = 9), а згад Рис. 1 есть двумерный симметрический тепзор, характеризующий кривизну поверхности (главные значения тензора зс д равны 1л!2Лл и 1/2Вя, где Л1, Лв главные радиусы кривизны поверхности в точке касания). Аналогичное соотношение для поверхности второго тела вблизи точки соприкосновения напишем в виде ! ! = згодшолд.
(9.2) Предположим тенер!И что оба тела сдавливаются прллложенными к ним силами, в результате чего они сближаются на некоторое малое расстояние г! ). Тогда вблизи точки первоначального соприкосновения на поверхности тел возшлкает вмятина, и тела будут соприкасаться уже не в одной точке, а по некоторому малому, но конечному участку их поверхности. Пусть ив и и', -- компоненты (соответственно по осям з и з ) векторов смещения точек поверхностей обоих тел при сдавливании.
На рис. 1б штриховыми линиями изображены поверхности тел, какими они были бы при отсутствии деформации, а сплошной линией поверхности сдавленных тел: буквы з и з' обозначают длины, определяемые равен- ' ) Излагаемая так называемая каитактиал задача теории упругости была впервые решена Герцем (Н. Нег!а 1882). Пусть два твердых тела соприкасалотся друг с другом в точке, нс являющейся особой точкой их поверхностей (на рис. 1а изображен разрез через обе поверхности вблизи точки соприкосновения 0).
В этой точке обе поверхности имеют общую касательную плоскость, которую мы выберем в качестве плоскости шу. Положительное же направление оси г! з условимся считать различным для обоих тел, -- для каждого из них будем отсчитывать и-координату по направлению в глубь тела, обозначая ее соответственно ! каквиз. Как известно, вблизи обыкновенной в точки касания координатной плоскости (плоскости шр) уравнение поверхности может быть написано в виде 47 СОИРИКССИСВВНИВ ТВЕРДЫХ "1'ВЛ (В+ и,) + (х + и,) = 6, нли (Рг„у + РА„Д)х„хд + и, + и„= 6.
(9.3) В точках же вне этой области, где обе поверхности не соприкасаются4 имеет место неравенство х+ х + и, + и, ( 6. 1 1 Выберем направ.ления осей х, у таким образом, чтобы тензор Рг у + РА4 д был приведен к главным осям. Обозначая главные значения этого тензора через А и В, перепишем равенство (9.3) в виде Ах~ + Ву2+ и, + и1, = 6. (9.4) 1 1 Величины А и В связаны с радиусами кривизны Л1, Лз и В1, Лз обеих поверхностей следующими формулами, которые приведем без вывода; 2(А+ В) = — + — + —, + —, 1 1 1 1 Е) ЕА Е1, Н', 2 4)А — В)' = (— Г1 11)'1 + 2сов2)р ( — — — ) (,л, й.,) ~л, Е.,) где )А) — угол между теми нормальными сечениями поверхностей, в которых радиусы кривизны - Л1 и Л1,. Знаки радиусов кривизны предполагаются положительными, если соответствующие центры кривизны расположены внутри соответствующего тела, и отрицательными в обратном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
