VI.-Гидродинамика (1109684), страница 98
Текст из файла (страница 98)
1Я.Б. Зельдович, 1946) ') . Пусть т порядок величины времени релаксации. Как начальное, так и конечное состояния газа должны быть полностью равновесными; поэтому прежде всего ясно, что полная ширина ударной волны будет порядка величины тп1 расстояния, проходимого газом в течение времени т.
КроР2 ме того, .оказывается, что если интенсивность волны превышает определенный предел, то структура волны усложняется, в чем можно убедиться следующим образом. Па рис. 67 сплошной линией изображена ударная адиабата, проведенная через заданную начальную точку 1, в предположении полной равновесности конечных состояний газа; наклон касательной к этой кривой в точке 1 Рнс.
07 определяется «равновесной» скоростью звука, которую мы обозначали в 9 81 через со. Штриховой же кривой изображена ударная адиабата, проведенная через ту жс точку 1, в предположении, что рслаксационные процессы «заморожены > и не происходят вовсе; наклон касательной к этой кривой в точке 1 определяется значением скорости звука, которое было обозначено в э' 81 как с„. Если скорость ударной волны такова, что со < п1 < с, то хорда 19 расположена так, как указано на рис. 67 нижним отрезком. В этом случае мы получим простое расширение ударной волны, причем все промсжуточныс состояния между начальным состоянием 1 и конечным 9 изображаются в плоскости рГ точ- 2 ) Так, в двухатамных газах при температурах позади ударной волны порядка 1000-3000 К медленным релаксационным процессом является возбугкдение внутримолекулярных колебаний.
Нри более высоких температурах роль такого процесса переходит к термической диссоциации молекул на составлягоп2ие их атомы. изоткгми веский скачок ками на отрезке 19. Это следует из того, что (при пренебрежении обычными вязкостью и теплопроводностью) все последовательно проходимые газом состояния удовлетворяют уравнениям сохранения вещества ри = 1 = сопв$ и сохранения импульса р+1 И = = сопв$ (ср. подробнее аналогичные соображения в ~ 129). Если же п1 > с,, то хорда занимает положение 11'2'. Все точки, лежащие на ее отрезке между точками 1 и 1', вообще не соответствуют каким-либо реальным состояниям газа: первой (после 1) реальной точкой является точка 1', отвечающая состоянию с вовсе несмещенным относительно состояния 1 релаксационным равновесием.
Сжатие газа от состояния 1 до состояния 1' совершается скачком, вслед за чем уже происходит (на расстояниях о1 т) постепенное сжатие до конечного состояния 2'. Если равновесная и неравновесная ударные адиабаты пересекаются (рис. 68), появляется возможность существования ударных волн еще одного типа: если скорость волны такова, что ~2 хорда 19 пересекает адиабаты выше точки их взаимного пересечения (как на рис. 68), то ри релаксация будет сопровождаться понижением давления от значения, отвечающего точке 1' до значения, отвечающего точке й (С.П. Дьяков, 1954) ') . й 95.
Изотермический скачок Рассматривая в )) 93 строение ударной волны, мы по существу предполагали, что коэффициенты вязкости и температуропроводности величины одного порядка, как это обычно и бывает. Возможен, однако, и случай, когда;~ >> и. Именно, если температура вещества достаточно высока, то в теплопроводности будет участвовать добавочный механизм лучистая теплопроводпость, осуществляемая находящимся в равновесии с веществом тепловым излучением. На вязкости же (т.
е. на переносе импульса) наличие излучения сказывается в несравненно меньшей степени, в результате чего и и мсокет оказаться малым по сравнению с у. Мы увидим сейчас, что наличие такого неравенства приводит к весьма существенному изменению структуры ударной волны. 1 ) Такой случай мог бы, в принципе, иметь место в диссоциирующем много- атомном газе, если в равновесном состоянии за ударной волной достигается достаточно полная диссоциация ого молекул на меньшие части.
Диссоциация увеличивает значение отношения теплоемкостей Ь и тем самым уменьшает предельное сжатие в ударной волне, если только она уже настолько полна, что нагреванне газа не требует заметной затраты энергии на продолжение диссоциации. 496 УДЛРНЫЕ ВОЛНЫ 1'Л 1Х Пренебрегая членами, содержащими вязкость, напишем уравнения 193.2) и (93.3), определяюгцие структуру переходного слоя, в виде (95.3) р+12Ъ =р~ +12Ъ~ (95.1) ~„112' 1гЪ г грг — — =Ю+ — — Ю, — — '.
(95.2) г 11'х 2 2 Правая часть второго из этих уравнений обращается в нуль лип1ь на границе слоя. Поскольку температура позади ударной волны должна быть выше, чем впереди нее, то отсюда шгедует, что на протяжении всей ширины переходного стоя — >О, 1гх т, е, температура возрастает монотонно. Все величины в слое являются функцией одной переменной -- координаты х, а потому и определенными функциями друг от друга. Продифференцировав соотношение 195.1) по Ъг, получим Производная (др/дТ)и у газов всегда положительна. Поэтому знак производной дТ1 НЪ' определяется знаком суммы (др1 дЪг)т + + 12.
В состоянии 1 имеех1 12 > (др~/дЪ~), (так как гд > с1), а поскольку адиабатическая сжимаемость всегда меныпе изотер- мической. то во всяком случае и , 2 (ОР1) Следовательно, на стороне 1 производная — '(О. Коли эта производная отрицательна и на всем протяжении ши- рины переходного слоя, то по мере сжатия вещества (уменьше- ния Ъ) при переходе со стороны 1 на сторону й температура будет монотонно возрастать в согласии с неравенством (95.3). Другими словами, мы будем иметь дело с ударной волной, силь- но расширенной благодаря большой теплопроводности (распги- рение может оказаться столь большим, что самое представление об ударной волне станет условным).
Другая ситуация возникает, если 1~ ( — ( и ) (95.4) аэто неравенство отвечает достаточно большой интенсивности ударной волны-. см. ниже 195.7)). Тогда в состоянии й будем иметь дТ21РП12 > О, так что где-то между значениями Ъ' = ~~ и изоте мичвский склчок (95.5) Ъ' = Ъ2 функция Т1Ъ') будет иметь максимум (рис. 69). Ясно, что переход от состояния 1 к состоянию 9 с непрерывным изменением Ъ' станет невозможным, так как при этом неизбежно нарушилось бы неравенство (95.3). В результате мы получим шгедующую картину перехода от начального состояния 1 к конечному состоянию 9.
Сначала идет область, в которой происходит постепенное сжатие вещества от удельного объема Ъ'1 до объема Г (значение Ъ2, при котором впервые становится Т(Ъ' ) = Т2; см. рис. 69): ширина этой области, определяющаяся теплопроводностью, может быть весьма значи- 1 тельной. Сжатие же от Ъ2 до Ъ22 происходит затем скачком при постоянной (равной Т2) иг 1 температуре. Этот разрыв можно назвать иЗО2ВЕРМПЧЕСКиМ СКиЧКОМ.
Рис. 69 Определим изменения давления и плотности в изотермическом скачке, предполагая газ идеальным. Условие непрерывности потока импульса (95.1), примененное к обеим сторонам скачка. дает Р +3 Ъ Р2+3 Ъ2 Для термодинамически идеального газа пишем Ъ' = ЯТ((РР) и, имея в виду, что Т' = Т2, получим ,12ЛГ, 1" Лтг Р+, Р2+ РР РР2 Это квадратное уравнение для Р' имеет (помимо тривиального корня р' = Р2) решение 2 НР2 Выражаем 22 согласно формуле (85.6): 1 Р2 — Р1 Ъ1 Ъ2 после чего, подставив сюда Ъ2222Ъ1 из (89.1)., получим для политропного газа Р' = -1('у+1)Р1 + И вЂ” 1)Ы 2 (95.6) Поскольку должно быть Р2 ) Р', то мы находим, что изотермический скачок возникает лишь при отношениях давлений Р2 и р1, удовлетворяющих условию Р2 ~7+ (95.7) Р, З-Ч (Вид1ег86, 1910).
Это условие можно, конечно, получить и непосредственно из (95.4). 498 удлгныв Волям гл ~х Поскольку при данной температуре плотность газа пропорциональна давлению, то отношение плотностей в изотермическом скачке равно отношению давлений: (95.8) Рг и стремится при увеличении рг к значению ( у — 1)/2. 9 96. Слабые разрывы Наряду с поверхностями разрывов, на которых испытывают скачок величины р, р, ъ и т. и., могут существовать также и такие поверхности, на которых эти величины как функции координат обладают какими-либо особенностями, оставаясь сами непрерывными.
Эти особенности могут быть самого разнообразного характера. Так, на поверхности разрыва могут испытывать скачок первые производные по координатам от величин р, р, м, ... или же эти производные могут обращаться в бесконечность. Наконец, то же самое может иметь место для производных не первого, а более высоких порядков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
