VI.-Гидродинамика (1109684), страница 93
Текст из файла (страница 93)
С другой стороны, число необходимых граничных условий, которым должно удовлетворять возмущение на поверхности разрыва, равно трем (условия непрерывности потоков массы., энергии и импульса). Во всех изображенных на рис. 57 случаях, за исключением лишь первого, число имеющихся независимых параметров превышает число уравнений. Мы видим, что эволюционны лишь ударныс волны, удовлетворяющие условиям (88.1).
Эти условия, такгллл образом, пеобходиллы для существования ударных волн, вне зависимости от термодинамических свойств среды. Искусственно созданный разрыв, пе удовлетворяющий этим условиям, немедленно распался бы на другие разрывы ') . Эволюционная ударная волна устойчива по отношению к рассмотренному типу возмущений и в обычном смысле этого слова. Если искать смещение ударной волны (а с ним и возмущения всех остальных величин) в виде, пропорциональном е '", то заранее очевидно, что однозначно определяемое граничными условиями ') Во всех перечисленных на рис.
57 неэволюционпых случаях возмущение недоопределено число произвольных параметров превышает число уравнений. Упомянем, что В магнитной гидродинамике ударные волны могут быть неэволюционнычи в силу как недоопределенности, так и переопределенности Возл1у1цений (см. У|П, 8 73). 468 УДЛРНЫЕ ВОЛНЬ1 1'Л 1Х значение 62 может быть только нулем уже хотя бы из тех соображений, что в задаче нет никаких параметров размерности обратного времени, которые могли бы определить отличное от нуля значение 62. Мы вернемся к вопросу об устой 1ивости ударных волн в 2 90. й 89.
Ъдарные волны в политропном газе Применим полученные в предыдущих параграфах общие соотношения к ударным волнам в политропном газе. Тепловая функция такого газа дается простой формулой (83.11). Подставив это выражение в (85.9)1 получим после простого преобразования следующую формулу; 4 1'2 (ь+1)р +(з-1)Р2 (89 ц (з — 1)р + (т + 1)р По этой формуле можно определить по трел1 из величин р1, )2м ря, Г2 четвертую. Отношение 1'2/Р'1 является монотонно убывающей функцией отношения ре/р1, стремящейся к конечному пределу (у — 1)/( у + 1).
Кривая, изображающая зависимость между р2 и Р2 при заданных р1, 121 (ударная адиабата), представлена на рпс. 58. Это равнобочная гипербола с асимптотами -12'6 12 т — 1 Р2 т -ь 1' р, т -ь 1' 22 Р2 )Р(т+ 1)Р, + (7 — ПР21 2) р ).(т — 1)р + (з -ь 1)р ) (89.2) Для потока 2 получаем из (85.6) и (89.1): 2 (7 МР1 Р (з -ь 1)Р2 2Ъ'1 (89.3) и отсюда для скорости распространения ударной волны относи- Реальным смыслом обладает, как мы знаем, только верхняя чаСть кривОй пад тОчкОй Р2/'Р'1 = р2/р1 = 1, иЗОбражЕнная па рис. 58 (для .у = 1,4) сплошной линией. Для отношения температур с обеих сторон разрыва имеем согласно уравнению состояния термодинамически идеального газа Т2/Т1 — — р2Ъ2/(р1 1'1), так что 469 8 89 удлРныв ВОлны В ИОлитРОП!игм глзе тельно газов впереди и позади нее: †((7 1)Р1 + (7 + 1)Р2) = — [(7 1) + (7 + 1) — ~ (89.4) 1'! [(7+ ЦР1+(7 — Црг)2 бг [( ) ( 1)р 1[ 2 [('у' — Црг -!.
( у+ Црг) 2'у [ рг) — „у — 1+ у+ 2 П1 и для разности скоростеи (89.6) (89.8) (89.10) лу2И (рг — рг) (89 5) [(7 — Цр! + (7+ Црг) '" В применениях полезны формулы,. выражающие отноппгния плотностей, давлений и температур в ударной волне через число М1 = пуугс1, зти формулы без труда выводятся из полученных выше соотнопусний и гласят: Рг 111 (у ~- ЦМг Р, г (у- ЦМ', +2' 2'у М2 (89. 7) р! 7+1 'у+1 22 [2уМ2 — (у — Ц][(у — ЦМ2 -!-2) Т! (у; Ц'МЧисло же М2 = Пзуусз выражается через число М1 с помощью соотношения Ме 2+ (7- ЦМ' (89.9) 2уМг — (у — Ц Это соотношение симметрично относительно М1 и Мг, как это становится очевидным, если записать его в виде уравнения 2'уМ1М2 — (7 — 1) [Мд + М2) = 2.
Выпишем предельные формулы для ударных волн очень большой интенсивности (требуется, чтобы было ( у — 1)р2 » ( у+ 1)р1) . Имеем из (89.1), (89.2); 1'г Р! -У вЂ” 1 7 У вЂ” 1Рг Р2 у+1 Т5 у+1Р1 Отношение Т2[Т1 неограниченно растет вместе с рзуур1, т. е. скачок температуры, как и скачок давления, в ударной волне может быть сколь угодно большим.
Отношение же плотностей стремится к постоянному пределу; так, для одноатоь!ного газа предельное значение р2 = 4р1, для двухатомного рг = бр1. Скорости распространения ударной волны большой интенсивности равны П1 Р2 21 ! !12 Ц2 Р21'1 . (89.11) 2 ' 2(у+И Они растут пропорционально корню из давления р2. 470 УДЛРНЫЕ ВОЛНЫ 1'Л 1Х Наконец, приведем соотношения для ударных волн слабой интенсивности, представляющие собой первые члены разложений по степеням малого отношения я = (р2 — р1)у'Р11 М11 =1мг=з2=1+в~=1+з 4у с1 2у р1 у 2уг (89.12) Здесь сохранены члены, дающие первую поправку к значениям, отвечающим звуковому 11риближению.
Задачи 1. Получить формулу огог = сгм где с — критическая скорость (Ь. РгапЩ. Р е ш е н и е. Поскольку величинам л- пгу'2 непрерывна на ударной волне, можно ввести критическую скорость, одинаковую для газов 1 и 8 согласно ур п1 уР1 г2 у Р 1 2 — — с, (З вЂ” 1)Р1 2 (З вЂ” 1)рг 2 2Ут — 1) * (ср. (83.7)). Определяя из этих равенств рг/Рг и р122р1 и подставляя их в уравнение Рг Р1 С1 Юг г Л (результат комбинирования (85.1) и (85.2)), получим у+1 / с.' 1 (ог — ог)11 — " ) = О. 2у С1 С2 Ввиду того что сг ~ ог, отсюда следует искомое соотношение. 2.
Определить отношение Р22УР2 по заданным температурам Т1, Т для ударной волны в термодинамически идеальном газе с непостоянной тепло- емкостью. Р е ш е н и е. Для такого газа можно лишь утверждать, что 1л 1как и е) есть функция только от температуры н что Р, *г', Т связаны уравнением состояния РР = ЯТ!11. Рошая уравнение (85.9) относительно Рг/Р1, получаем Рг Р Т вЂ” Т вЂ” (шг — ш1)— Р, йт, 2Т1 где ш1 = шг (Т1 )., шг = юг (Тг). 8 90.
Гофрировочная неустойчивость ударных волн Соблюдение условий эволюционности само по себе необходимо, но еще недостаточно для гарантирования устойчивости ударной волны. Волна может оказаться неустойчивой по отношению к возмущениям, характеризующимся периодичностью вдоль поверхности разрыва и представляющим собой как бы «рябь>, или егофрировкуь, на этой поверхности (такого рода возмущения 1'ОФРиРОВОчнвя нвустОЙчиВОсть удвРиых ВОлн 471 рассматривались уже в з 29 для тангенциальных разрывов) ') .
Покажем, каким образом исследуется этот вопрос для ударных волн в произвольной среде (С.П. Дьякон, 1954). Пусть ударная волна покоится, занимая плоскость х = 0; жидкость движется сквозь нее слева направо, в г!оложительном направлении оси х. Пусть поверхность разрыва испытывает возмущение, при котором ее точки смещаются вдоль оси л на малую величину — (~и- О (90.1) где кр — волновой вектор «ряби». Эта р!!бь на поверхности вызывает возмущение течения позади ударной волны, в области х ) 0 (течение жс перед разрывом, т ( О, не испытывает возмущения в силу своей сверхзвуковой скорости).
Произвольное возмущение течения складывается из энтропийно-вихревой волны и звуковой волны (см. задачу к з 82). В обоих зависимость величин от времени и координат дается множителем вида ехр [»(1«г — о!1)] с той же частотой о1, что и в (90.1). Из соображений симметрии очевидно, что волновой вектор 1« лежит в плоскости ху; его у-компонента совпадает с кр в (90.1), а змкомпонента различна для возмущений двух типов. В энтропийно-вихревой волне 1ог2 = оэ, т.
с, к = оз/п2 (п2 невозмущенная скорость газа за разрывом). В этой волне возмущение давления отсутствует, возмущение удельного обьема связано с возмущением энтропии, Я'(энт) = (ду",!'дз)р бз, а возмущение скорости подчинено условию 1«5 1'ИΠ— б ~м'О + и б ~'ВΠ— 0 (90.2) У ПУ В звуковой волне в движущемся газе связь между частотой и волновым вектором дается равенством (оз — Ку) = с к (см.(68.1)); поэтому и, в этой волне определяется уравнением (Оэ вэ П2) С2(вз + ву). (90.3) Возмущения давления, удельного объема и скорости связаны соотношениями; 1»в) 1 сз 1 дг(зв1 р (90.4) (оз — и2И»)бтг!'~ = 121«бр('"~). (90.о) Возмущение в целом представляется линейной комбинацией возмущений обоих типов; бп бои»нт) + бп(эв) яг я, (энт) + я!0»в) бр бр(»в) (90 б) ) Неустойчивость по отношению к таким возмущениям называют гофрировочпой (соггпйаиоп !Вэ«аь!Ч!Чу по английской терминологии).
472 УДЛРНЫЕ ВОЛНЬ1 1'Л 1Х Оно должно удовлетворять определенным граничным условиям на возмущенной поверхности разрыва. Прежде всего, па этой поверхности должна быть непрерывна тангенциальная к ней составляющая скорости, а скачок нормальной составляющей должен выражаться через возмущенные давление и плотность равенством (85.7). Эти условия записываются как ч2С = (222 + бч)С, чг п — (ч2+ бч)п = [(р2 — р2 + бр)(122 — 122 — б12))'1 бггк — — 2К(112 — Н2), бп„= ' ' [ " — 1. (90.7) 2 !.22! — рг $; — Угг Далее, возмущенные значения р2 + бр и 222 + Я'2 должны удовлетворять тому же уравнению адиабаты Гюгонио, что и не- возмущенные р2 и 222.
Отсюда получаем условие, связывающее бр и бг. бр = — 'б1г, ггг'г (90.8) где производная берется вдоль адиабаты. Наконец, еще одно соотношение возникает из связи между потоком вещества через поверхность разрыва и скачками давления и плотности на ней. Для невозмущенного разрыва это соотношение выражается формулой (85.6), а для возмущенного аналогичное соотношение есть — 2(222П вЂ” ПП) 1 2 Р2 221 Р бр 2! ггг мг Р! где и скорость точек поверхности разрыва. В первом приближении по малым величинам имеем пп = — 2ьгг,; разлагая написанное равенство также и по степеням бр и бСг, получим 211 .
др 612 В! Р2 — Р1 211 — р2 (90.9) Равенства (90.2), (90.4), (90.5), (90.7) — (90.9) составляют систему восьми линейных алгебраических уравнений для восьми где С и п единичные векторы касательной и нормали к поверхности разрыва (рис. 59). С точностью до величин первого порядка малости компоненты этих векторов (в плоскости ту) равны С(гк~, 1) и п(1, — 2кг,'); выражение гйС возникает как производная д~/ду. С этой же точностью граничные условия для скорости принимают вид 1'ОФРНРОВОч1!АВ пяустОЙчнВОсть удяРиых ВОлн 4У3 величин 1,! др, д1г!зпз), д1'!зв), дел~"~'). дп~~;~ ') . Условие совмест- ности этих уравнений <выражаемое равенством нулю определи- теля их коэффициентов) имеет вид <90.11) 1ш оз > О, 1ш йт > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
