VI.-Гидродинамика (1109684), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Умножихт уравнение (93.2) на (Г + 1тт)тт2 и вычтем его из уравнения (93.3). Тогда получим (ит — щт) — — (р — рт)(И + 1'т ) = — — ' (93.4) 2 1 дх (здесь опущен член, содержащий (т' — 1'т)Л'/т4х, являющийся малой величиной третьего порядка). Разложим выражение в левой части (93.4) по степеням р — рт и з — вы выбрав давление и энтропию в качестве основных независимых переменных. Члены первого и второго порядка по р — рт в этом разложении выпадают (ср. вычисления при выводе формулы (86.1)) и, опустив члены более высокого порядка, получим просто Т(з — зт). Производную же ЙТ1т4х пишем в виде Далее, плотность потока энергии., обусловленного теплопроводностью, есть — тгдТ(дх. Поток же энергии, связанный с внутренним трением, есть шиеинл валеных волн Член с производной дв/дх можно опустить как малую величину третьего порядка (см. ниже), и в результате находим формулу, выражающую функцию в(х) через функцию р(х): Т(я — в1) = — ( — ) (93.6) др' др' з дтр' — — с — = ас' д1 дх дх' (93.6) где р' переменная часть давления.
Для учета слабой нелинейности надо ввести в это уравнение член вида р'др'(дх: др др ядр зд Р— — с — — арр — = ас дс дх " дх дх' (93. 7) ') Этот выбор направления распространения связан с замечанием, сделанным в примеч. на с. 487 Обратим внимание на то, что разность в — вс внутри переходного слоя оказывается величиной второго порядка малости, между тем как полный скачок во — я1 является (как было показано в 8 86) величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления рз — ры Это связано с тем, что (как будет показано ниже) давление р(х) меняется в переходном слое монотонно от одного предельного значения р1 до другого ргб энтропия же в(х), определяясь производной ар/ах., проходит через максимум, достигая наибольшего значения внутри переходного слоя. Уравнение, определяющее функцию р(х), можно было бы получить путем аналогичного разложения уравнений (93.2), (93.3) и их комбинирования друг с другом.
Мы, однако, изберем другой, более поучительный способ, позволяющий более ясно понять происхождение различных членов в уравнении. В 8 79 было показано, что монохроматическое слабое возмущение состояния газа (звуковая волна) затухает по мере своего распространения с декрементом, пропорциональным квадрату частоты: у = ашя; положительный коэффициент а выражается через коэффициенты вязкости и теплопроводности согласно формуле (79.6). Там же было показано, что это затухание может быть описано (для произвольной плоской звуковой волны) введением дополнительного члена в линеаризованнос уравнение движения см. (79.9).
Заменив в этом уравнении вторую производную по времени второй производной по координате и изменив знак перед производной др'/дх (что отвечает распространению волны в отрицательном направлении оси х ') ), запишем его в виде 490 ХДЛРНЫЕ ВОЛНЫ гл 1х Коэффициент ыр в нелинейном члене определяется путем со- ответствующего разложения гидродинамических уравнений иде- альной (без диссипации) жидкости и оказывается равным 21ш ( дрз ) з 193.8) 1см.
задачу) ') . Уравнение 193.7) описывает распространение возмущений в слабо диссипирующей, слабо нелинейной среде. В применении к слабой ударной волне опо описывает ее распространение в системе отсчета, в которой невозмузценный газ 1перед волной) неподвижен. Требуется найти решение со стационарным 1не зависящим от времени) профилем, в котором вдали от волны, при ж — э шоо, давление принимает заданные значения р2 и р1, разность р2 — р1 есть скачок давления в разрыве ') . Волна со стационарным профилем описывается решением вида р 1т, 1) = р 1л + п11), 193.9) где н1 -- скорость распространения такой волны.
Подстановка в 193.7) приводит к уравнению — ~(п1 — с)р — — р — ас — ~ = О, С = т, +п11, / ОР /2 зс)р 1 2 первый интеграл которого: ас — = — — р + 1п1 — с))р + сопв1. здр' ое гя / с~б 2 193.10) Квадратный трехчлен в правой части равенства должен обращаться в нуль при значениях р', отвечающих предельным условиям на бесконечностях, где производная г)р'7с)с обращается в ') Введя новую неизвестную функцию и = — р'О„, новую 1вместо х) независимую переменную С = в + с1 и обозначив и = асз, приведем уравнение 193.7) к виду ди д ди — -Р и — = и 193.7а) де д1 дбе в котором его называют уравнением Бюргерса 1У.М.
Ввгяегд 1940). е) Мы увидим в дальнейшем Я 102), что в отсутствие диссипации эффекты нелинейности приводят к искажению профиля волны по мере ее распространения — посс епенному возрастанию крутизны фронта волньь В свою очередь, это возрастание приводит к усилению диссипативных эффектов, стремящихся уменьшить крутизну профиля 1т. е. уменьшить градиенты меняююихся величин). Именно взаимная компенсация этих противоположных тенденций приводит к возможности распространения волн со стационарным профилем в нелинейной диссипативной среде. шигинл мдлгных волн нуль. Эти значения равны р2 — рг и О, если условиться отсчиты- вать р' от невозмущенного давления р1 перед волной.
Это значит, что указанный трехчлен может быть представлен в виде 2 ПРИЧЕМ КОНСтаНта П1 ВЫРажаЕтСЯ ЧЕРЕЗ Рг И Р2 СОГЛаСНО в1 = с + — Р(уг2 — Р1). (93.11) 2 Для самого же давления р уравнение (93.10) принимает вид ас — = — —" 1р — р1) (р — р2) . 45 2 Решение этого уравнения, удовлетворяющее требуемым условиям есть з Рг + Рг Рг — Р П 0» — Рг)1* + сг1) 2 2 4асг ггар Этим решается поставленная задача. Возвратившись снова к системе отсчета, в которой ударная волна покоится, напишем формулу, определяющую ход изменения давления в ней в виде Рг -Ьрг Рг -Рг 1 х 2 2 6 (93.12) де д= (93.13) (Р -Р,)1агг!ар ).' Практически все изменение давления от р1 до р2 происходит на расстоянигл б ширине ударной волны. Мы видим, что ширина волны уменьшается с увеличением ее интенсивности -.
скачка давления р2 — Р1 ) . Для хода изменения энтропии внутри разрыва имеем из (93.5) и (93.12) Отсюда видно, что энтропия меняется не монотонно, а имеет максимум внутри ударной волны (при ш = О). При ш = шсо эта формула дает одинаковые значения я = в1г это связано с тем, что 1 ) Для ударной волны, распространяюшейся в смеси, определенный вклад в ее ширину возникаег также и от процессов диг1гфузии в переходном акое. Вычисление этого вклада см.
Дьяков С.17. гг,г ЖЭТФ. 1954. Т. 27. С. 283. Упомянем также, что ударные волны слабой интенсивности остаются устойчивыми по отношению к поперечной модуляции (ср. примеч. на с. 475) и при учете их диссипативной структуры; см. Спектор М.Д. /гг Письма ЖЭТФ. 1983. Т. 35. С. 181. 492 УДЛРНЫЬ ВОЛНЫ ГЛ 1Х полное изменение энтропии В2 — а1 является величиной третьего порядка по р2 — р1 (ср. (8б.1)), в то время как з — в1 второго. Формула (93.12) применима количественно только при достаточно малых разностях р2 — р1. Однако качественно мы можем применить формулу (93.13) для определения порядка величины ширины ударной волны и в тех случаях, когда разность рй — р1 порядка величины самих давлений р1, р2.
Скорость звука в газе порядка величины тепловой скорости п молекул. Кинематическая же вязкость, как известно из кинетической теории газов, и Ь 1с, где 1 длина свободного пробега молекул. Поэтому и 1/с (оценка члена с теплопроводностью дает то же самое). Наконец, (дх1~~др2), Ъ'1р~ и рГ с2. Внося эти выражения в (93.13), получаем (93 13) д 1. до 1 др' /д Р'1, др' дх Рс дс (, дрв,), дх (4) 1 ) Сильная ударная волна сопровождается значительным увеличением температуры: под 1 надо понимать длину пробега, соответствующую некоторой средней температуре газа в волне. Таким образом, ширина ударных волн болыпой интенсивно- сти оказывается порядка величины длины свободного пробега молекул газа ') .
Но в макроскопической газодинамике, тракту- кпцей газ как сплошную среду, длина свободного пробега долж- на рассматриваться как равная нулю. Поэтому., строго говоря, чисто газодинамические методы непригодны для исследования внутренней структуры ударных волн большой интенсивности. Задачи 1. Определить коэффициент нелинейности пг в уравнении (93.7) для распространения звуковых волн в газе. Р е щ е н и е.
Точные гидродинамическне уравнения одномерного дви- жения идеального (без диссипации) газа: до дс 1 др др д — +с — = — — —, — + — РВ= О. (1) д1 дх, р дх' д1 дх Произведем их разложение с учетом членов второго порядка малости. Для этого полагаеч р=ре-ьр, Р=ре+ —,-Ь вЂ” ( —,) (2) с 2 (,др1,),' Члены второго порядка в уравнениях можно упростить, приведя их всех к одинаковому виду - содержащему произведение р'др'/дхь Для этого заме- чаем, что для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х (со скоростью с) дифференцирование по 1 эквивалентно дифференци- рованию по х/с; при этом с = — р~11(сро).
После всех этих замен получим из (Ц и (2) следующие уравнения: — -Р— — = О, до 1 до (3) д1 рдх шигинл кдлгных волн (индекс 0 у постоянных равновесных значений величин опускаем); здесь ис- пользовано также равенство (5) (Р = 1/р--удельный объем). Дифференцируя уравнения (3) и (5) соответ- ственно по х и по ! и вычтя одно из другого, получим где Величина и, безразмерна; для политропного газа о„= (7+ 1)/2. 2. Путем нелинейной подстановки привести уравнение Бюргерса (93.7а) к виду линейного уравнения теплопроводности (Е. Нору, 1950).
Р е ш е н и е. Подстановкой д и(5, 1) = — 2р — !пх(с, 1) дб уравнение (93.7а) приводится к виду откуда д д ~ Ф(1) д! РдР 31 ' где через д! /г(! обозначена произвольная функция й переобозначонием ээ -э — э !эеУ (не меняющим искомой функции и(5, !) это уравнение преобразуется к требуемому виду (3) д! дС' Решение этого уравнения с начальным условием ф(, О) = !эе(С) дается формулой (51.3): эгя7,) ( 4 1 ] (4) С той же точностью заменим в левой части этого уравнения д/дх+ д/сд! на 2д/дх. Наконец, вычеркнув в обеих частях уравнения дифференцирование по х и сравнив получившееся уравнение с (93.7), найдем для ар значение (93.8).
Уравнение для скорости е можно получить непосредственно из (93.7), пе повторяя заново вычислений, подобных произведенным выше. Действительно, сумма членов первого порядка в левой части (93.7) содержит оператор д/д! — сд/дх, который надо рассматривать как малый член первого порядка: он обращает в нуль функцию р'(т,, 1) в ее линейном приближении.
Поэтому мы получим уравнение для функции и(х, 1) в требуемом приближении, заменив в (93.7) р' согласно линейному соотношению р' = — рсн: дн д. д.,дз в — — с — +п„ш — = ас —, (6) д! дх дт дхе ' 494 УДЛРНЫЬ ВОЛНЫ Гл гх Начальная же функция уо(() связана с начальным значением искомой функции 221(, 1) равенством 1 Г 1пдо(() = — — 11 ио©4( 2р о 1выбор нижнего предела в интеграле произволен). 9 94. Ъдарные волны в релаксирующей среде К значительному расширению ударной волны может привести наличие в газе сравнительно медленно протекающих релаксационных процессов медленно протекающие химические реакции, замедленная передача энергии между различными степенями свободы молекулы и т. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
