VI.-Гидродинамика (1109684), страница 99

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 99)

Все такие поверхности мы будем называть поверхноситма слабого разрыва в противоположность сильным разрывам (ударным волнам и тангенциальным разрывам)., в которых испытывают скачок сами указанные величины. Отметим, что ввиду непрерывности самих этих величин па поверхности слабого разрыва, непрерывны также и их тангенциальные производные; разрыв непрерывности испытывают лишь нормальные к поверхности производные. Легко убедиться простыми рассуждениями, что поверхности слабого разрыва распространяются относительно газа (по обе стороны поверхности) со скоростью, равной скорости звука. Действительно, поскольку функции р, р, м, ...

сами не испытывают скачка, то их можно сгладить, заменив функциями, совпадающими с ними везде, кроме окрестности поверхности разрыва, а в этой окрестности отличающимися лишь на сколь угодно малые величины, но так, что сглаженные функции не имеют уже никаких особенностей. 1Лстинное распределение, скажем, давления, можно, таким образом, представить в виде наложения совершенно плавного распределения рв без всяких особенностей и очень малого нарушения р' этого распределения вблизи поверхности разрыва. Последнее же, как и всякое малое возмущение, распространяется относительно газа со скоростью звука.

Подчеркнем, что в случае ударной волны сглаженные функции отличались бы от истинных на величины, вообще говоря, отнюдь не малые., и предыдущие рассуждения поэтому неприменимы. Однако если скачок величин в ударной волне достаточно мал, то эти рассуждения вновь делаются применимыми, и такие слАВыв Рлэгывы разрывы тоже должны распространяться со скоростью звука,— этот результат был уже получен в З 86 другим способом.

Если движение стационарно относительно данной системы координат, то поверхность разрыва неподвижна относительно этой системы, а газ протекает через нее. При этом нормальная к поверхности разрыва компонента скорости газа должна быть равна скорости звука. Если обозначить буквой а утол между направлением скорости газа и касательной плоскостью к поверхности, то должно быть пл = п в1по = с, или вшсг = с/п, т.

е. поверхность слабого разрыва пересекает линию тока под углом Маха. Другими паовами, поверхность слабого разрыва совпадает с одной из характеристических поверхностей, --результат вполне естественный, если иметь в виду физический смысл последних как поверхностей, вдоль которых распространяются малые возмущения Я 82). Ясно, что при стационарном движении газа слабые разрывы могут появиться только при скоростях, равных или превышающих скорость звука. В отношении способов возникновения слабые разрывы существенно отличаются от сильных. Мы увидим, что ударные волны могут образовываться сами по себе, непосредственно в результате движения газа, при непрерывных граничных условиях (например, образование ударных волн в звуковой волне; з 102). В противоположность им слабые разрывы не могут возникать сами по себе; их появление всегда связано с какими-либо особенностями в граничных или начальных условиях движения.

Особенности эти могут быть, как и сами слабые разрывы, самого различного характера. Так, причиной образования слабого разрыва может являться наличие углов на поверхности обтекаемого тела; на возникающем в этом случае слабом разрыве испытывают скачок первые производныс скорости по координатам. К образованию слабого разрыва приводит также и скачок кривизны поверхности тела без угла на пей (причем испытывают разрыв вторые производные скорости по координатам) и т. п. Наконец, всякая особенность в изменении движения со временем влечет за собой возникновение нестационарного слабого разрыва. Касательная к поверхности слабого разрыва компонента скорости протекающего через пес газа направлена всегда по направлению от того места (например, угла на поверхности тела), откуда исходят возмущения, вызывающие возникновение этого разрыва; мы будем говорить, что разрыв «исходит» из этого места.

Это есть одно из проявлений направленности распространения возмущений вниз по течению в сверхзвуковом потоке. Наличие вязкости и теплопроводности приводит к возникновению ширины у слабого разрыва, так что слабые разрывы, как и сильные, представляют собой в действительности некото- 500 удлгныь волны гл ~х рые переходные слои. Однако в отличие от ударных волн, ширина которых зависит только от их интенсивности и постоянна во времени, ширина слабого разрыва растет со временем, начиная с момента образования разрыва.

Закон, по которому происходит это возрастание, легко найти (качественно) исходя из аналогии между перемещением слабого разрыва и распространением малых звуковых возмущений. При нани гии вязкости и теплопроводности возмущение, сконцентрированное первоначально в малом элементе объема (волновой пакет), по мере своего перемещения с течением времени расширяется; закон этого расширения был определен в 9 79. Из него можно сразу заключить, что ширина 6 слабого разрыва б (всз2)1/2 (9б.1) где 2 — время, прошедшее с момента его возникновения, а и †.

коэффициент при квадрате частоты в формуле (79.6) для поглощения звука. Если мы имеем дело со стационарной картиной, в которой разрыв покоится, то вместо времени 1 надо говорить о расстоянии 1 от места, из которого исходит разрыв (например, для слабого разрыва, возникаюгцего от угла на поверхности обтекаемого тела, 1 есть расстояние от вершины угла); тогда б (пс22)1/2 1) В заключение этого параграфа необходимо сделать замечание, аналогичное замечанию в конце 9 82.

Там бьгло отмечено., что среди различных возмущений состояния движущегося газа исключительными по своим свойствам являются возмущения энтропии (при постоянном давлении) и ротора скорости. Эти возмущения покоятся относительно газа, а не распространяются со скоростью звука. Поэтому поверхности, па которых испытывают какой-либо слабый разрыв непрерывности энтропия и ротор скорости '), покоятся относительно газа, а относительно неподвижной системы координат переносятся вместе с самим газом. Такие разрывы мы будем называть гпанаеийиальныл1п слабыми разрывами; они проходят через линии тока и в этом отношении вполне аналогичны есильнымь тангенциальным разрывам.

1 ) Подчеркнем, однако, что для количественного определения структуры слабого разрыва аналогия со звуком была бы недостаточна. Дело в том, что при определении закона затухания звука его амплитуду можно предполагать сколь угодно малой и соответственно этому исходить нз линеаризованных уравнений движения. Для ы|абых же разрывов (как и для ударных волн слабой интенсивности — 9 93) должна у.читываться нелинейность уравнений, поскольку без нее отсутствовали бы и самые разрывы. Пример такого исследования дан в задаче 6 к З 99. е) Слабый разрыв ротора скорости означает слабый разрыв касательной к поверхности компоненты скорости.

Например, могут испытывать скачок взятые по направлению к нормали к поверхности производные от тангендивльной скорости. ГЛАВА Х ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ С2КИМАЕМОГО ГАЗА 9 97. Истечение газа через сопло Рассмотрим стационарное вытекание газа из большого сосуда через трубку переменного сечения, или, как говорят, через сопло. Мы будем предполагать., что движение газа можно считать в каждом месте трубы однородным по ее сечению, а скорость -- направленной практически вдоль оси трубы.

Для этого труба должна быть не снишком широка, и площадь л ее сечения должна достаточно медленно меняться вдоль ее длины. Таким образом, все величины, характеризующие течение, будут функциями только ог координаты вдоль оси трубы. При этих условиях можно применять полученные в 3 83 соотношения, имеющие место вдоль линии тока, непосредственно к изменению величин вдоль длины трубы.

Количество (масса) газа, проходящего в единицу времени через поперечное сечение трубы, или, как говорят, расход газа, равно Ц = роо': эта величина должна, очевидно, оставаться постоянной вдоль всей трубы: Я = Рпо' = сопз$. (97.1) Линейные размеры самого сосуда предполагаются очень большими по сравнению с диаметром трубы. Поэтому скорость газа в сосуде можно считать равной нулю, и соответственно этому все величины с индексом нуль в формулах 3 83 будут представлять собой значения соответствующих величин внутри сосуда. Мы видели, что плотность потока 1 = рп не может превышать некоторого предельного значения 1,. Ясно поэтому, что и возможные значения полного расхода газа Я будут иметь (для данной трубы и при заданном состоянии газа внутри сосуда) верхнюю границу Я„,~х, которую легко определить.

Характеристики

Список файлов книги