VI.-Гидродинамика (1109684), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Пусть эта область (1 на ) Это движение может возникнуть лишь в результате наличия некоторой особенности в начальных условиях (так, в примере с поршнем в момент г = О скачком меняется скорость поршня). Обратное движение могло бы происходить лишь под действием сжимающего поршня, движущегося по вполне определегтому закону. 513 ОднОмеРнОе АВ'ГОМОдсльнОН двнжвннв Величина с не может быть, по самому своему существу, отрицательной. Поэтому из формулы (99.14) можно сделать существенное:заключение, что скорость должна удовлетворять нера- венству ( (< 2со (99.18) Задачи 1. Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с лругой.
В начальный момент времени поршень начинает вдвигаться в трубу с постоянной скоростью С. Определить возникающее движение газа, в считая газ политропным. Р е ш е н и е. Перед поршнем возникает ударная волна, передвигающаяся вперед по трубе. В начальный момент времени положения этой волны и поршня совпадают, а в дальнейшем волна «обгоняеть поршень и возникает область газа между Х ней и поршнем (область 2).
В области впереди от и г ударной волны (область 1) давление газа равно его первоначальному значению рм а скорость (относиРис. 76 тельно трубы) равна нулю. В области же 2 газ движется с постоянной скоростью, равной скорости поршня С (рис. 75). Разность скоростей газов 1 и 2 равна, следовательно, тому жо С и согласно ') Упомянем об аналогичной трехмерной автомодельной задаче: центрально-симметрическом движении газа, создаваемом равномерно расширяющейся сферой (У7.И. Седов, 1946; С.
Тиу1ог, 1946). Перед сферой возникает сферическая же ударная волна, распространяющаяся с постоянной скоростью. В отличие от одномерного случая скорость движения газа между сферой и ударной волной не постоянна; уравнение, определяющее ое как функцию отношения г71 (а вместе с тем и скорость распространения ударной волны), не может быть проинтегрировано в аналитическом виде.
См. Седов Л.И. Методы подобия и размервости в механике. — М.. Наука, 1981, гл. 1У, 6 6; Тау1ог Сдй О Ргос. Воу. Яос. 1946. Ъ'. А186. Р. 273. 17 Л. Д. Ландау и Е.м. Лифшиц, том У1 при достижении скоростью этого предельного значения плотность газа (а также р и с) обращается в нуль. Таким образом, первоначально покоившийся газ при нестационарноы расширении в волне разрежения может ускориться лишь до скорости, пе превьппающей 2со / ( у — 1) . Мы уже упомянули в начале параграфа простой пример автомодельного движения, возникающего в цилиндрической трубе, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью.
Если поршень выдвигается из трубы, он создает за собой разрежение, и возникает описанная выше волна разрежения. Если же поршень вдвигается в трубу, он производит перед собой сжатие газа, а переход к более низкому первоначальному давлению может произойти лишь в ударной волне, которая н возникает перед поршнем, распространяясь вперед по трубе (см. задачи к этому параграфу) ') . 514 гл х ОДНОМВРНОК ДВИЖКННВ С'ЖИМЛКМОГО ГЛЗЛ формулам (85.7) и (89.1) можно написать! ! = ~Ы:!!Р -! ! = ! — ! Отсюда получаем для давления рз газа !!ежду поршнем и ударной волной р, , уеду 4- 1)П' 777 , (7 -Р Ц'ие р! 4с; 'с! 16с! Зная рм можно вычислить согласно формулам (89.4) скорость ударной волны относительно газов впереди и позади нее.
Поскольку пщ 1 покоится, то скорость волны относительно него есть скорость ее распространения по трубе. Ею!и координата х вдоль длины трубы отсчитывается от начю!ьного места нахождения поршня (причем газ находится со стороны х > О), то для положения ударной волны в момент 1 получим 4 16 (положение же поршня есть х = 771). 2. То же, если поршень выдвигается нз трубы со скоростью П.
Р е ш е н и е. К поршню примыкает область газа (1 на рнс. 76 а), движущегося в отрицательном направлении оси х с постоянной скоростью — 17, равной скорости поршня. Далее следует волна разрежения 2, в которой газ движется в отрицатель- 1 ном направлении осн х со скоростью, меняющейся от значения — 77 до нуля по линейному закону (99.17). Давление же меняется по закону (99.16) от значения -У уэ1 21 1с — 2 17) Т ) 7 — 1чч — ! -Ю 2 са б Р! =Ро 1— 1 2 3 в газе 1 до ре в неподвижном газе Х Граница области 2 с областью ! определяется условием п = — 17; согласно !99.17) получим -У -2се — х = ~се — — 17)1 = (с — 11)1 с 7+1 1-1 Т 2 (с — скорость звука в газе 1).
На границе жо с обРис. 76 пастью Я е = О, откуда х = се1. Обе зти границы представляют собой слабые разрывы, нз которых второй всегда распространяется вправо (т. е. в сторону от поршня); первый же (граница 1 — 2) может распространяться как вправо !как это изображено на рис. 76 а), так и влево — если скорость поршня Г! > 2сеДЗ + Ц. Описанная картина может иметь место только при условии 77 ( 2сеД7 — 1). Если же ГГ > 2сеД ! — 1), то перед поршнем образуется область вакуума !газ как бы не успевает двигаться за поршнем), простирающаяся от поршня до точки с координатой х = — 2се1Д7 — 1) (1 на рис.
76 б). В этой точке и = — 2сеД7 — 1); за ней следует область 2, в которой скорость падает до нуля (в точке т = са1), а дальше область 3 неподвижного газа. 3. Газ нжсодится в цилиндрической трубе, не ограниченной с одной стороны 1х > О) и закрытой заслонкой с другой (х = О). В момент времени 1 = 0 заслонка открывается, и газ выпускается в наружную среду, давление р, которой меньше первоначального давления ре в трубе.
Определить возникая>щее движение газа. 615 одномьгноь лвтомодвлыюв движкпиь у.л1 со- 2 юе Рис. 77 лП / т — = ро(1— ой ~, 2 со) Г -- скорость поршня, ги — масса, приходящаяся на единицу его площади). 1нтегрируя, получим 7 1 о(о = 1 — 1 ~ ~ 2шсо 5. Определить движение в изотермической автомодельной волне разрежения. Р е ш е н и е. Изотермическая скорость звука и при постоянной температуре ст = сопэО = сто. Согласно 199.0). 199.6) находим поэтому: р р х. о = сг !п — = ст 1и — = — — ст .
о о — о. ро Ро 6. С помощью уравнения Бюргерса Я 93) определить связанную с диссипацней структуру слабого разрыва между волной разрежения и неподвижным газом. Р е ш е н и е. Пусть — о, есть скорость газа, соответствующая по формуле 199.16) впошпему давленило р,; при х = О, 1 > 0 должно быть о = — о,. Если и, < 2со/(1 + Ц, то получается картина распределения скорости, изображенная на рис. 77 а. При о, = = 2соД~-Ь 1) 1что соответствует скорости вытекания, равной местной скорости звука на выходе трубы, — в этом легко убедиться, положив о = с в формуле 199.14)) область постоянной скорости исчезает и получается картина, изображенная 2со — о на рис.
77 б. Величина представляет со- у+1 бой наиболыпую возможную скорость вытекания газа из трубы в рассматриваемых условиях. Если внешнее давление а 2 со ,,<,.(') -', (ц ( ) то соответствующая ему скорость е, сделалась 2со бы больше, чем 2со/17 + 1). В действительно- у — 1 сти при этом давление на выходе трубы будет продолжать оставаться равным предельно- е х му значению 11), а скорость вытекания -- ран- г ной 2со Дух Ц; остальное падение давления 1до р,) происходит во внешней среде. 4. Бесконечная труба перегорожена поршнем,по одну сторону от котоРого 1х < 0) в начальный момент вРемсни находитсЯ газ под давлением Ро, а по другую сторону 1х > 0) — вакуум.
Определить движение поршня под влиянием расширяющегося газа. Р е ш е н и е. В газе возникает волна разрежения, одна из границ которой перемещается вместе с поршнем вправо, а другая — влево. Уравнение движЕния поршня 2з 516 гл. х ОДНОМЕРИОК ДВИ1ККПИК Г1КИМЛКМОГО ГЛЗЛ Р е ш е н н е. 11усть неподвижный газ находится слева, а волна разрежения — справа от слабого разрыва (тогда последний движется влево). Без учета диссипапии, в первой из этих областей имеем о = О, а во второй движение описывается уравнениями (99.5), (99.6) (с обратным знаком перед с), причем вблизи разрыва скорость о мала; с точностью до членов первого порядка по о имеем 1' Ро 4(со 1 — = о — с — со+ (1-Р— — ] = — со Ч-Оаг, са дро гдо О определено в (102.2), а индекс О указывает значения величин при о = О (ниже этот индекс опускаем).
С точностью до величин второго порядка малости скорость в волне, распространяюнгейся влево, подчиняется полученному в задаче 1 6 93 урав- нению (6), или уравнонию Бк>ргерса ди ди ди — -1- и — = Р, аг ас = 'ас ' где Р = ос, а неизвестная и = ае выражена в функции от 1 и С = х -1- сй переменная С измеряет расстояние от слабого разрыва в каждый момент времени й Требуется найти непрерывное решение этого уравнения с гра- ничными условиями К=С,41 при С вЂ” гсо, К=О при С-+-сс, отвечающими движению без учета днссипации. В соответствии с законом расширения слабого разрыва (96.
Ц, переменная 1 должна входить в решение в комбинапии - = С/ьгг с переменной С. Такое решение может удовлетворять поставленным граничным условиям, если и(й с) = — 6( — ). Функция 6 связана с введенной в задаче 2 3 93 функцией 4о соотношением 4(С 4 1(х — 2р 1пэо = / 4Р(х) — = ! 414(х) —, ./ так что 1Р зависит только от х,причем 1Р(х) = — 2дх — 1и Оо(х). 4(Х Уравн41ние (3) ука:ганной задачи принимает вид 2141РР = — КР', откуда 1Р(х)=/е" Рй.
Решение, удовлетворяющее граничным ушювиям: и(х,С)= е ~Р/ е ~ "гЬ~ 2дх ~, 4 /' , 4 с ~ нли окончательно для скорости е(С, 1)1 122 2 3 — 1 СДООШ1> чем и определяется структура слабого разрыва. г17 Е 1ОО РАЗРЫВЫ В ПА'1АЛЬВЫХ УСЛОВИЯХ З 100. Разрывы в начальных условиях Одной из важнейших причин возникновения поверхностей разрыва в газе могут являться разрывы в начальных условиях движения. Начальные условия (т.
е. начальные распределения скорости, давления и т. п.) могут быть заданы, вообще говоря, произвольным образом. В частности, эти начальные распределения отшодь не должны быть непременно везде непрерывными функциями и могут испытывать разрывы на некоторых поверхностях. Так, если в некоторый момент времени привести в соприкосновение две массы газа, сжатые до различных давлений, то поверхность их соприкосновения будет поверхностью разрыва в начальном распределении давления.
Существенно, что скачки различных величин в разрывах начальных условий (или, как мы будем говорить, в начальных разрывах) могут быть совершенно произвольными; между ними не должно сусцествовать никаких соотношений. Между тем, мы знаем, что па поверхности разрывов, которые могут существовать в газе в качество устойчивых образований, должны соблюдаться определенные условия; так, скачки плотности и давления в ударной волне связаны друг с другом ударной адиабатой.
Поз гому ясно, что если в начальном разрыве эти необходимые условия не соблюдаются, то в дальнейшем он во всяком случае не сможет продолжать существовать как таковой. Вместо этого начальный разрыв, вообще говоря, распадается на несколько разрывов, каждый из которых является какинс-нибудь из возможных типов разрывов (ударная волна, тангенциольный разрыв., слабый разрыв); с течением времени эти возникшие разрывы будут отходить друт от друга ') . В течение малого промежутка времени, начиная от начального момента г = О, разрывы, па которые распадается начальный разрыв, еще не успеют разойтись на большие расстояния друг от друга, и потому вся исследуемая картина движения будет ограничена сравнительно узким объемом, прилегаюпцсхс к поверхности начального разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
