VI.-Гидродинамика (1109684), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Как обычно, достаточно рассматривать в общем соучае отдельные участки поверхности начального разрыва, каждый из которых можно считать п.инским. Поэтому можно ограничиться рассмотрением плоской поверхности разрыва. Мы выберем эту плоскость в качестве плоскости ув. Из соображений симметрии очевидно, что разрывы, на которые распадется начальный разрыв при 1 ) О, будут тоже плоскими и перпендикулярными к оси ах Вся картина движения будет зависеть только от одной координаты л (и времени), так что задача сводится к одномерной. Благодаря отсутствию каких бы то ни было характеристических параметров длины и времени, задача ') Общее исследовапие этого вопроса дано О.е.
1с ояияыА1 с1926). 518 гл х ОДИОмкгнОк дкижкник ГжимлкмОРО Глэл автомодельна, и мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе результатами. Разрывы, возникающие при распаде начального разрыва, должны, очевидно, двигаться от места их образования, т. с. от места нахождения начального разрыва. Легко видеть, что при этом в каждую из двух сторон (в положительном и отрицательном направлениях оси т) может двигаться либо одна ударная волна, либо одна нара слабых разрывов, ограничивающих волну разрежения.
Действительно, если бы, скажем, в положительном направлении оси х распространялись две образовавшиеся в одном и том же месте в момент 1 = О ударные волны, то передняя из них должна была бы двигаться со скоростью большей, чем скорость задней волны. Между тем согласно общим свойствам ударных волн первая должна двигаться относительно остающегося за ней газа со скоростью, меньшей скорости звука с в этом газе., а вторая должна двигаться относительно того же газа со скоростью, превышающей ту же величину с (в области между двумя ударными волнами с = сопэ1), т. е.
должна догонять первую. По такой же причине пе могут следовать друг за другом в одну и ту же сторону ударная волна и волна разрежения (достаточно заметить, что слабые разрывы движутся относительно газов впереди и позади них со звуковой скоростью). Наконец, две одновременно возникшие волны разрежения не могут разойтись, так как скорость заднего фронта первой равна скорости заднего фронта второй. Наряду с ударными волнами и волнами разрежения при распаде начального разрыва должен, вообще говоря, возникнуть так же и тангснциальный разрыв. Такой разрыв во всяком случае необходим, если в начальном разрыве испытывали скачок поперечные компоненты скорости и„, н,.
Поскольку. эти компоненты скорости не меняются ни в ударной волне, ни и волне разрежения, то их скачок будет всегда происходить на тангенциальном разрыве, остающемся на том же месте, где находился начальный разрыв: с каждой стороны от этого разрыва ню н, будут оставаться постоянными (в действительности, конечно, благодаря неустойчивости тангенциального разрыва со скачком скорости оп, как всегда, с течением времени размоется в турбулентную область).
Тапгенциальный разрыв, однако, должен возникнуть даже и в том случае, когда нк, н, не имеют скачка в начальном разрыве (не ограничивая общности, можно считать в этом случае, что постоянные нк и и, равны нулю, что и будет подразумеваться ниже). Это показывают следующие соображения.
Возникающие в результате распада разрывы должны дать возможность перейти от заданного состояния 1 газа с одной стороны начального разрыва к заданному состоянию 2 с другой стороны. Состояние газа 1 1да РАЗРЫВЫ В ПА'1АЛЬВЫХ УСЛОВИЯХ определяется тремя независимыми величинами, например, р., р и и = о. Поэтому необходимо иметь в распоряжении три произвольных параметра для того, чтобы посредством некоторого набора разрывов перейти, скажем, от состояния 1 к произвольно заданному состоянию М. Но мы знаем, что ударная волна (перпендикулярная к направлению потока), распространяющаяся по газу, термодипамическое состояние которого задано, полностью определяется одним параметром 1З 85).
То же самое относится к волне разрежения (как видно из формул (99.14) — (99.16), при заданном состоянии входящего в волну разрежения газа состояние выходяще- з з' го газа полностью определится заданием 2 одной из величин в нем). С другой стороны, мы видели, что в результате распада в каждую сторону может пойти не более одной волны .. ударной или разрежения. а 2 Таким образом, мы будем иметь в нашем распоряжении всего два параметра, что недостаточно. Возникающий на месте начального разрыва тангенциальпый разрыв как раз и представляет этот недостающий третий параметр.
На этом разрыве остает- а',: ; 4 ся непрерывным давление; плотность же , .'3 з' (а с ней и температура, энтропия) испытывает скачок. Тангенциальный разрыв н,.р тр неподвижен относительного газа по обе- 2 им его сторонам., и потому к нему нс относятся использованные выше соображе- в' ния о взаимном обгоне двух распространяющихся в одном направлении волн.
х Газы, находящиеся по обе стороны н Р вР тапгепциального разрыва, не перемеши- — Ударная вална ваются друг с другом., так как движения газа через тангенциальный разрыв нет Слабъ1я разрыв во всех перечисленных ниже вариантах эти газы могут быть даже газами различных веществ. На рис. 78 схеъзатически изображены все возъюжные типы распада начального разрыва. Сплошной линией изображен ход изменения давления вдоль оси х (изменение плотности изобразилось бы линией такого же характера, с той лишь разницей, что имелся бы скачок также и на тангенциальном разрыве).
Вертикальные отрезки изображают образовавшиеся разрывы, а стрелками указаны направления их распространения и направления движения газа. Система координат выбрана везде та, в которой 020 одномвгнов дннжгннн ажннсявмого глзл гл х тангснциальный разрыв покоится; вместе с ним покоится также и газ в прилегающих к нему областях 3, 3'. Давления, плотности и скорости газов в крайних слева и справа областях 1 и в -. зто те значения соответствующих величин, которые онн имеют в момент времени 1 = 0 на обеих сторонах начального разрыва. В первом случае (который мы ус"совно записываем в виде Н вЂ” +У, ТУ „рис. 78 а) из начального разрыва Н возникают две ударные волны У, распространяющиеся в противопсложные стороны, и рассюложенный между ними тангенциальный разрыв Т.
Этот есучай осуществляется при столкновении двух масс газа, движущихся с болыпой скоростью навстречу друт другу. В случае Н вЂ” >У, ТР (рис. 78 б) по одну сторону от тангенциального разрыва распространяется ударная волна., а по другую --. волна разрежения Р. Этот случай осуществляется, ссасс1>имер, если в начальный момент времени приводятся в соприкосновение две неподвижные;трус относительно друга мясты гязя (ов — ос = О), сжатые до различных давлений. Действительно, из всех четырех случаев, изображенных на рис. 78, только во втором из них газы 1 и 3 движутся в одинаковом направлении и потому может быть ос = ов.
Далее, в третьем слусяе (Н вЂ” +Р, ТР ) в обе стороны от тангенциального разрыва распространяются по волне разрежения. Если сизы 1 и Я разлетаются друг от друга с достаточно большой скоростью оз — оы то в волнах разрежения давление лсожет достичь при своем падении значения нуль. Тогда возникает картина, изображенная на рис. 78 г; между областями ~ и ~' образуетс:я область вакуума Х Выведем аналитические условия, определяющие характер распада начального разрыва в зависимости от его параметров.
Будем считать во всех случаях, что рг > рс, а положительное направление оси:г выбираем везде в направлении от области 1 к области 8 (в соответствии с рис. 78). Имея в виду, что газы по обеим сторонам начального разрыва могут быть газами различных веществ, будем различать их, называя соответственно газами 1 и 3. 1. Распад Н-+У, ТУ .
Если рз = р!и оз = оз, 1'з 1сз давление, скорость и удельные обьемы в образовавшихся после распада областях 3 и 3', то имеелс рз > рв > рм а объемы гз и гз определяются как абсциссы точек с ординатами ря на ударных адиабатах, проведенных соответственно через точки рм 'гс и рсп ~'2 в качестве исходных. Поскольку газы в областях 3 и 3' в выбранной системе координат неподвижны, то согласно формуле (85.?) можно написать для скоростей ос и ог, направленных соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси ах 921 1 1оо РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ НСЛОВНЯХ Наименьшее значение., которое может иметь давление рз при заданных р1 и р2 так, чтобы не противоречить исходному предположению (Рз ) Р2 ) Р1), есть рз = р2. Имея также в виду, что разность В1 — В2 ость монотонно возрастающая функция рз, находим искомое неравенство 'В1 'В2 ) (100.1) где символом Г' обозначен объем, являкпцийся абсциссой точки с ординатой р2 на ударной адиабате газа 1, проведенной через точку Рм р~ в качестве начальной.
Вычислив Р' по формуле (89.1) (написав в ней $" вместо У2), получим для политропного газа условие (100.Ц в виде (100.2) В1 В2 > (Р2 Р1) Отметим, что условия (100.1), (100.2), устанавливающие границу возможных значений разности скоростей В1 — в2, не зависят, очевидно, от выбора системы координат. 2. Распад Н вЂ” РУ 7Р,. Здесь Р1 < Рз = РЗ < Р2. Для скорости газа в области 1 имеем опять В1 = а полное изменение скорости в волне разрежения ~ равно согласно (99.7) РЗ В2 = / А( — ЗРЮ. РЗ При заданных р1 и Р2 значения Рв могут лежать в пределах от Р1 до Р2. Заменяя Рз в разности В2 — п1 один раз на рм а другой.— на Р2 получим условие РЗ вЂ” / ту — пР~Й' < г~ — п2 < (Р2 — Р1)(Ъ1 — Г~).
(100.3) Здесь Г имеет тот же смысл, что и в предыдущем случае: выражение, определяющее верхний предел разности В1 — В2, должно вычисляться для газа 1, а нижний предел для газа 9. Для политроппого газа получим (100.4) < (Р2 Р1) где с2 = х772Р2И2 --скорость звука в газе 9 в состоянии Р2, У2. 523 1 790 Разгывы в НА гллыгых г'с,''гениях Задачи диабаты 189.Ц для каждои из ударгу+1)Р +Ь вЂ” 1)рз 2 07 — 1)рг + ггу + 1)рг уз Гу + 1)рг + (7 — 1)рз Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
