VI.-Гидродинамика (1109684), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Повторяя все изложенные выше для цилиндрического случая рассуждения, получим для скорости перемещения точек профиля волны и=с+ (102.10) после чего найдем смещение дг точки профиля па пути от г1 до г; (102.11) с г1 Мы видим, что искажение профиля сферической волны растет с расстоянием лишь логарифмически гораздо медленнее, чем в плоском и даже цилиндрическом случаях. Сферическое распространение звукового импульса сжатия должно сопровождаться, как и в цилиндрическом случае, следующим за сжатием разрежением (схь 8 70).
Поэтому и здесь должны образоваться два разрыва (сферический одиночный импульс может, однако, иметь задний фронт и тогда во втором разрыве н возрастает скачком сразу до нуля) ') . Тем же способом найдем предельные законы возрастания длины импульса и убывания интенсивности ударной волны: 1а 1п —, Ьна г 1 а г у'ппЯа~ (102.12) где а — некоторая постоянная размерности длины ') . Задачи 1. В начальный момент профиль волны состоит из неограниченного ряда зубцов, изображенных на рис. 85 4) . Определить изменение профиля и энергии волны современем. Р е ш е н и е.
Заранее очевидно,что в последующиемоменты времени г профиль волны будет состоять нз зубное такого же вида, с той же длиной 1е, но меньшей высотой еь Рассмотрим один из зубцов: в момент г = О абсцисса ) Речь может идти, например, об ударной волне, возникающей при взрыве, и рассматриваемой на больших расстояниях от источника. в) Поскольку фактически в газе всегда имеет место обычное поглощение звука, связанное с теплопроводпостью и вязкостью, то ввиду медленности искажения сферической волны она может поглотиться прежде, чем успеют образоваться разрывы. з) Эта посгоянпая не совпадает, вообщо говоря, с гь Дело в том, что аргумент логарифма должен быть безразмерным и потому при г» г1 нельзя просто пренебречь 1Вг1 в П02л1).
Определение же коэффициента при г в большом логарифме тробует более точного учета первоначальной формы профиля. ~) Такой профиль — асимптотическая форма профиля любой периодической волны. 540 гл х Одномвгнок двнжяннв Гжнмлвмого Газа точки профиля с е = е~ отсекает часть оА,ооо от основания треугольника. В течение же времени $ эта точка выдвигается вперед на расстояние ос~ к ословие неизменности длины основания треугольника дает йе~/о~ + о1о~ = 1ь откуда е ео = е1Д1 э; спл1,Ч1). При 1 -э оо амплитуда волны затухает э как 1/~. Для энергии находим Е = Ео(1+ оо11,Ч1) она затухает прн 1 -э со как 1 2. Определить интенсивность вто- рой гармоники, возникающей в монохроРис.
85 матической сферической волне благода- ря искажению ее профиля. Р е ш е н н е. Написав волну в виде ги = А соэ1йг — оо1), мы можем учесть искажение в первом приближении, прибавив бг к г в правой части равенства и разлагая по степеням бг. Это дает с помощью 1102.1Ц: ой, г ги = А сов 1'кг — ~Л) — — А 1п — э!и [21lог — ~Л)) 2с г1 1под г1 надо понимать здесь расстояние, на котором волну можно еще рассматривать с достаточной точностью как строго монохроматическую).
Второй член в этой форьгуле определяет вторую гармонику спектрального разложения волны. Ее полная 1средняя по времени) интенсивность 1э равна .,= '",э (1.")'2;, где 11 = 2хсрА есть интенсивность основной, первой, гармоники. э й 103. Характеристики Данное в 2 82 определение характеристик как линий, вдоль которых распространяются 1в приближении геометрической акустики) малые возмущения, имеет общее значение, и не ограничено применением к плоскому стационарному сверхзвуковому течению, о котором речыпла в 5 82. Для одномерного нестационарного движения можно ввести характеристики как линии в плоскости щ1, угловой коэффициент которых дт/М равен скорости распространения малых возмущений относительно неподвижной системы координат.
Возмущения, распространяющиеся относительно газа со скоростью звука в положительном или отрицательном направлении оси х, перемещаются относительно неподвижной системы со скоростью п + с или е — с. Соответственно дифференциальные уравнения двух семейств характеристик, которые мы будем условно называть характеристиками Сь и С, гласят: ( — ) = и+ с, ( — ) = и — с. 1103.1) Возл~ущения же, переносящиеся вместе с веществом газа, «распространяютсяэ в плоскости щ1 по характеристикам третьего 541 1 гоз ххглкткиистики семейства Со, для которых ( — ) =и.
(103.2) Это просто елинии тока» в плоскости х1 (ср. конец 0 82) ') . Подчеркнем, что для существования характеристик здесь отнюдь не требуется, чтобы движение газа было сверхзвуковым. Выражаемая характеристиками направленность распространения возмущений соответству.ет здесь просто причинной связи движения в последукпцие моменты времени с предыдущим движением. В качестве примера рассмотрим характеристики простой волны. Для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, имеем согласно (101.5): х = 1(п + с) + у (п).
Дифференцируя это соотношение,. получаем дх = (и + с) Ю + дп(4 + 1с'(и) + ('(и)]. С другой стороны, вдоль характеристики Ст имеем дх = (с+ с)Ж; сравнивая оба равенства, найдем, что вдоль характеристики й)(1+ 1с'(с) +1'(р)] = О. Выражение в квадратных скобках не может быть равно нулю тождественно. Поэтому должно быть йс = О, т. е. п = сопэ1. Таким образом, мы приходим к выводу, что вдоль каждой из характеристик Сь остается постоянной скорость, а с нею и все остальные величины (в волне, распространяющейся влево, таким же свойством обладают характеристики С ). Мы увидим в следующем параграфе, что это обстоятельство не случайно, а органически связано с математической природой простых волн. Из этого свойства характеристик Сь простой волны можно в свою очередь заключить, что они представляют собой семейство прямых линий в плоскости х1 скорость имеет посто- поря нь гижоя янные значения вдоль прямых х = 1(с + с(п)] + )'(п) (101.5).
В частности, в ввтомодельной волне разрежения (простая волна с 1(п) = 0) эти прямые образуют пучок с общей точкой пересечения началом координат плоскости хй Ввиду этого свойства автомодельную простую волну называют центриронаннойб На рис. 86 изображено семейство характеристик Сь для простой волны разрежения, образующейся при ускоренном выдви- ) Точно такими же уравнениями (103.1), (103.2) определяются характеристики и для нестационарного сферически симметричного движения, причем надо только заменить х на сферическую координату г (характеристики будут тспсрь линиями в плОСкоСти г1).
542 гл х Одиомввиов двигквник с'жиылиыогО глзл гании поршня из трубы. Это есть семейство расходящихся прямых, начинающихся на кривой х = Х(г), изображающей движение поршня. Справа от характеристики х = со1 простирается область покоягцегося газа, в которой все характеристики параллельны друг друту. На рис. 87 дан аналогичный чертеж для простой волны сжатия, образующейся при ускоренном вдвигании поршня в трубу. В этом случае характеристики представляют собой сходящийся пучок прямых, которые в конце концов должны пересечься друг с другом. Поскольку каждая характеристика несет свое постоянное значение и, ! их пересечение друт с друтом означает физически бессмысленную многозначПоргиеиь ность функции е(щ! 1) .Это геометрическая интерпретация результата о невозможности неограниченного существования простой волны сжатия и неизбежности возникновения в ней ударной волны, к которому мы пришли уже аналогичным путем в 8 101.
Геометрическое же истолкование условий (101.12), определяющих время и Рис. 87 место образования ударной волны, заклю- чается в следующем. Пересекающееся семейство прямолинейных характеристик имеет огибаюшую, заканчивающуюся со стороны малых 1 угловой точкой, которая и определяет первый момент возникновения многозначности. Если уравнения характеристик заданы в параметрическом виде х = х(е) ! 1 = г(п), то положение угловой точки как раз и определяется уравнениями (101.12) ') . Покажем теперь коротко., каким образом данное нами физическое определение характеристик как линий распространения возмущений соответствует известному из теории дифференциальных уравнений в частных производных чисто математическому аспекту этого понятия. Рассмотрим уравнение в частных производных вида д' дг, дг А — г'+2 — '~ +С вЂ” 'е+Р = О, (103.3) дх' дх дС дег линейное по вторым производным (коэффициенты же А, В, С, Р могут быть любыми функциями как от независимых переменных х, 1, так и от неизвестной функции ьг и ее первых произ- ) Вся область между двумя ветвями огибающей трижды покрыта харакгеристиками — в соответствии с трехзначностью величин, возникающей при опрокидывании профиля волны.
Особому случаю, когда ударная волна возникает на границе с областью покоя, соответствует вырождение одной из ветвей огибающей в отрезок характеристики х = сой 543 1 гоз хлглкткгистики водных) '). Уравнение (103.3) относится к эллиптическому типу, если везде В~ — АС ( О, и к гиперболическому, если Вз — АС ) О. В последнем случае уравнение Айс — 2Вс1тс1с+ Сс4х~ = О, (103.4) или с~х й х ссЪе — Аб' (103.5) 1г С определяет в плоскости х4 два семейства кривых характеристик (для заданного решения ср(х, у) уравнения (103.3)). Укажем, что если коэффициенты А, В, С в уравнении являются функциями только от х, 1, то характеристики не зависггг от конкретного решения уравнения. Пусть данное течение описывается некоторым решением ср = = ср(ст, 1) уравнения (103.3) с и наложим на пего малое возмущение сдг.
Это возмущение предполагаем удовлетворяющим условиям, соответствующим геометрической акустике: оно слабо меняет движение (ссог мало вместе со своими первыми производными), но сильно меняется на протяжении малых расстояний (вторые производные от срг относительно велики). Полагая в уравнении (103.3) ср = ссоо + сры получим тогда для срг уравнение дхе дх д8 дР причем в коэффициентах А, В, С положено ср = ссоо. Следуя методу, принятому для перехода от волновой к геометрической оптике, пишем сдг в виде сдг = аестс где функция гр (эйконал) большая величина, и получаем для последней уравнение А( ~) +2 — ' и + С( ~) = О. (103.6) Уравнение распространения лучей в геометрической акустике получается приравниванием Алсос групповой скорости: ссх 4~ Ж сйс где ы= —— дс,Сс О1' й = — '~, дх Дифференцируя соотношение Ак~ — 2Вйсэ+ Ссп~ = О, ) Для одномерного нестадионарного движения уравнению такого вида удовлетворяет потенциал скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
