VI.-Гидродинамика (1109684), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Так, для политропного газа это есть согласно (104.3) два семейства параллельных прямых (рис. 90). Рис. 90 Замечательно, что эти характерис- тики всецело определяются свойствами движущейся среды (гас!а) как таковой и не зависят от конкретного решения уравнений движения. Это связано с тем, что уравнение изэнтропического движения в переменных н, с есть (как мы увидим в следующем параграфе) линейное уравнение в частных производных второ~о порядка с коэффициентами, зависящими только от независимых переменных. Характеристики в плоскостях х1 и нс являются отображениякли друг друга с помощью заданного решения у.равнений движения.
Это отображение, однако, отнюдь не должно быть взаимно однозначным. В частности, заданной простой волне соответствует всего одна характеристика в плоскости ис, на которую отображаются все характеристики плоскости х~. Так, для волны! бегущей вправо, это есть одна из характеристик Г; характеристики С отображаются на всю линию Г ., а характеристики Сч на отдельные ее точки. 8 105. Произвольное одномерное движение сжимаемого газа Рассмотрим теперь об!цую задачу о произвольном одномерном изэнтропическом движении сжимаемого газа (без ударных волн) и покажем прежде всего, что эта задача может быть сведена к решению некоторого линейного дифференциального уравнения.
Всякое одномерное движение (движение, зависящее всего от одной пространственной координаты) непременно потенциально, 949 ИРОИЗВО1!ЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИ1КЕНИЕ так как всякую функцию п(х, 1) можно представить в видо производной И1х, 1) = д1р(х, 2)(дх. Поэтому мы можем воспользоваться в качестве первого интеграла уравнения 3!йлера уравнением Бернулли 19.3)! ~+ — +ю = О.
д! 2 С помощью этого равенства получаем для дифференциала Жр; и!р = — ~ !1т + ~ д1 = и !)х — ! — + 1и) М. де д1 ! 2 Независимыми переменными являются здесь х и 2; произведем теперь переход к новым независимым переменным, выбрав в качестве таковь!х и и ю.
Для этого производим преобразование Лс жандра;написав ар= 1(* ) —,ЬЬ вЂ” 1(С( + — ")]+11( + вЂ”Ц и введя вместо потенциала !р новую вспомогательную функцию 1~ Х=!р ' +2('+ ) 2 получаем Д '! !1,"С = — х ЕЬ + 2 !1 (и + — ) = 1 !1ю + 1И1 — х) ЕЬ, 2 где !С рассматривается как функция от и и ю. Сравнив это соотношение с равенством !1!С = — Йн + — сЬ., имеем дх дх деи дР— И8 — х = —, дх дх дю' ди! или — т, = и — — —. дх дх дх 1105.1) дю' дм дг если функция ~(п, и1) известна, то по этим формулам определится зависимость н и гн от координаты х и времени 2. Выведем теперь уравнение, определяющее !С.
Для этого исходим из неиспользованного еще уравнения непрерывности д!! д дР д!! дР— + — (РИ) = — + И вЂ” +Р— = О. д! дх д2 дх дх Преобразуем это уравнение к переменным и, аи Написав частные производные в виде якобианов, имеем ) =0 +и ' +р д1й*) д1й .) дО,, ) 550 ГД. Х ОдиОХ1ИРНОь движении с!кимлиъ!О1'О Глэл 14 /дх дх)+дх р 41Р '1ди! да1/ д1Р! При э = сопв1 имеем Г)ю = ь!р/р. Поэтому можно написать А~ 1рд р !1и! др дю с1 Окончательно получаем для т следующее уравнение: (105.2) дю1 дРГ д!Р (скорость звука с надо рассматривать здесь как функцию от Гп). Задача об интегрировании нелинейных уравнений движения приведена, таким образом, к решению линейного уравнения.
Применим полученное уравнение к политропному газу. Здесь с = (у — 1)п1, и основное уравнение (105.2) принимает вид 17 — 1)х — х+ — х:0 д' д1 д д г д1 д,,„ Это уравнение может быть проинтегрировано в общеъ1 виде эле- 3 ! ментарным образом, если число ' является целым четным числом: (105.4) (105.3) 3-ч ~ =2п, 7= .
п=011,2, ... 3-!- 2п ч — 1 2п+1 Этому условию как раз удовлетворяют одноатомный п = 1) и двухатомный (7 = 7Г!5, п = 2) газы. Вводя п переписываем (105.3) в виде 2 д х д'х дх ж — — —, + — = О. 2+1 д1 д1 д Ь=Ю, вместо у, (105.5) или, умножая на д(!! т)/д(п1, е)! д(р, х) д(й р) д(й и) +н +р д1м, в) д(!Р, Р) д(1Р, Г) При раскрытии этих якобианов надо иметь в виду следующее. Согласно уравнению состояния газа плотность р есть функция каких-либо двух других независимых тсрмодинамических величин; например, можно рассматривать р как функцию от и! и в. При а = сопв1 тогда будет просто р = р(п!); существенно при этом. что в переменных и, и! плотность оказывается не зависящей от е.
Раскрывая якобианы, получаем поэтому Г!р ди Г!р д1 д1 — — — е — — + р — = О. !1!Р дг 111Р ди дю Подставляя сюда для 1 и х выражения (105.1), получаем после сокращений: 551 пгоизнодьное одномнгпон движении или 1"-' [вб, гв ~о +о+~(,'~(~ ~о"'- )] Х— дн "-' ,/ю (105 6) где Р1, Р2---снова две произвольные функции. Будем обозначать функцию, удовлетворяющую этому урав- нению пРи заданном п, посРеДством Хп, Дла фУнкЦии Хв имеем Хо Хо Хо дно дпо дьо Введя вместо ю переменную и = ъ~2ш, получаем д'Хо д'Хо — — — = О. дпо дп2 Но это есть обычное волновое уравнение, общее решение кото- рого есть: Хе = 11(и + и) + 121и — и), где 11, 12.— произвольные функции. Таким образом, Хе = Л(Лю+ и) + ~2(ъ'2ш — е).
(105.6) Покажем тепеРь, что ес;ш известна фУнкциЯ Хп, то фУнкцию Хп.Ь1 МОЖНО ПОЛуЧИтЬ ПрОСтЫМ дИффЕрЕНцИрОВаНИЕМ. В СаМОМ деле, дифференцируя уравнение (105.5) по ю, получаем после перегру|шировки членов: Если ввести вместо е переменную 2пж3 'у' вп+ 1 то полУчим длЯ дХп/дш УРавнение совпадающее с уравнением (105.5) для функции Х, э1(ш, е'). Та- ким образом, мы приходим к результату, что Кп,~(~~~,.) = — Хп(~,.) = — Хп~~ю, ~/ ./. (105.7) д д / 2п+1 ЙХ дм Применяя эту формулу п раз к функции Хе (105.6), получаем искомое общее решение уравнения (105.5): х= [у (Д(2 +1) .~ )+л(~ 2(2 ';и — и, 552 гл.
х ОднОмвгнОв дпижяпив сжимлкыОГО глзл Если ввести вместо ш скорость звука согласно с 2иь1 2 Ю= — = с у — 1 2 то решение (105О.8) примет вид х = ( ) ~ — Г1(с+ ' ) + — Г2(с — ' )~. (105О.9) Выражения сж =еж" н., 2и+1 2 стоящие в качестве аргумента в произвольных функциях, представляют собой не что иное, как инварианты Римана 1104.3), постоянные на характеристиках. В применениях часто возникает необходимость в вычислении значений функции С(н, с) на характеристике. Для этой цели служит следукпцая формула '): ( ) ~ — Г(с~ )1 = ~ + ) (10510) при =с+а 2и+ 1 1а произвольная постоянная).
Выясним теперь, в каком взаимоотношении с найденным здесь общим решением газодинамических уравнений находится решение, описывающее простую волну. Последнее отличается тем свойством, что в нем н и ю являются определенной функцией ') Проще всего эту форлгулу можно вывести с помощью теории функций комплексного переменного, используя теорему Коши. Для произвольной функции Р1с+ и) имеем д ).-1Р'(с-Ри) ()' сдс/ с ,)' д )"-'г 1с+и) „, 1и — 1)!,~ Г1лГх-Р и) 1 доз У с 2хг 7 ЛУх(в — с')" где интеграл берется в плоскости комплексного переменного х по контуру, охватывшощему точку х = сз. Положив теперь и = с -~- а и произведя в интеграле подстановку лг'з = 24 — с,получим 1 1и — 1)! )" Г(2С т а) 2., 2., У, К,)-" где теперь контур интегрирования по С, охватывает точку 1, = с: снова применяя теорему Коши, находим, что этот интеграл совпадает с написанным в тексте выражением.
553 1ша ш оизвольнок одноык нок Лиижкник друг от друга, и = в(н>), и поэтому обращается тождественно в нуль якобиан д(в, ю) д(, «) Между тем при преобразовании к переменным в, ю нам пришлось разделить уравнение движения на этот якобиан, в результате чего решение, для которого с» = О, оказалось потерянным. Таким образом, простая волна не содержится непосредственно в общем интеграле уравнений движения, а является их особым интегралом. Для понимания природы:этого особого интеграла существенно, .однако, что он может быть получен из общего интеграла путем своеобразного предельного перехода, тесно связанного с физическим смыслом характеристик как линий распространения малых возмущений. Представим себе, что область плоскости пш, в которой функция Х(в, и>) отлична от нуля, стягивается к очень узкой в (пределе — к бесконечно узкой) полосе вдоль одной из характеристик.
Производные от х в поперечных к характеристике направлениях пробегают при этом значения в очень широком (в пределе бесконечном) интервале, поскольку Х очень быстро убывает в этих направлениях. Такого рода решения Х(в, ю) уравнений движения заведомо должны существовать. Действительно, рассматриваемые как «возмущсние» в плоскости вш они удовлетворяют условиям геометрической акустики и, как должно быть для таких возмущений, расположены вдоль характеристики. Из сказанного ясно, что при такой функции х время 1 = = дХ/дю будет пробегать сколь угодно большой интервал значений. Производная же от Х вдоль характеристики будет некоторой конечной величиной.
Но вдоль характеристики (например, одной из характеристик Г. ) имеем дв рсдс дв с дв Поэтому производная от х по и вдоль характеристики (обозначим ее как — 1 (в)) есть дХ дХ дХ дв> дХ дХ вЂ” = — + — — = — + с — = — 1(в). дв дв ди) дв дв дьв Выражая частные производные от х через т и 1 согласно (105.1), получим отсюда соотношение х = (в + с)г + 1(в), т. е. как раз уравнение (101.5) простой волны. Соотношение же (101.4), устанавливающее связь между и и с в простой волне, автоматически выполняется в силу постоянства 1 вдоль характеристики Г В 5 104 было показано, что если в некоторой части плоскости х1 решение уравнений движения сводится к постоянному те- 554 ОДНОЫВРИОВ ДВИЖВНИВ СЖИМЛКЬ|01'О ГЛЗЛ ГЛ Х чению, то в граничащих с нею областях должна иметься простая волна.
Поэтому движение, описывающееся общим решением (105.8), может следовать за постоянным движением (в частности, за областью покоя), лишь через прол|ежуточную стадию простой волны. Граница между простой волной и общим решением, как и всякая граница между областями двух аналитически различных решений, есть характеристика. При решении различных конкретных задач возникает необходимость в определении значения функции Х(ю, о) на этой граничной характеристике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
