VI.-Гидродинамика (1109684), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Соотношения между значениями этих величин по обе стороны разрыва можно |юлучить с помощью условий непрерывности потоков массы и импульса жидкости. Плотность потока массы (отнесенная к 1 см ширины канала) ость « = рь6. Плотность же потока импульса получается интегрированием р+ ро2 по глубине жидкости и равна Г + 2) ! Ркд + 26 2 о Поэтому условия их непрерывности дают два уравнения: 1» 6' |Ф6| = е21|2! К~|ЬГ! + " = к2ЬГК+ (108.5) 2 2 Эти соотношения устанавливают связь между четырьмя величинами; Кы ь2! 6|, 62, две из которых могут бьггь заданы произвольно.
Выражая скорости о|, о2 через высоты 6|, 62! получим о| = — — (6! + 62), п2 = — — (6! + 62) (108.6) 26! 2 6| 869 '1КОРИЯ «Ь1ВЛКОЙ ВОДЫ 1 198 Потоки же энергии по обо стороны разрыва неодинаковы; их разность определяет количество энергии, диссипируемой (в 1 с) в разрыве. Плотность потока энергии вдоль капала равна и = ~(Р + — ) ри е12 = -2(фг + и ). 2 р 2 2 о Воспользовавшись выражениями (108.6), получим для искомой разности 91 112 1п1 + 112) 1112 о1) .
4й1 г Пусть жидкость движется через разрыв со стороны 1 на сторону В. Тогда тот факт, что энергия диссипиру.ется, означает, что должно бьггь 91 — 92 > О,. и мы приходим к выводу, что 112 > 111~ (108. 7) т. е. жидкость движется со стороны меньшей на сторону большей высоты. Из (108.6) можно теперь заключить, что (108.8) в полной аналогии с газодинамическими ударными волнами. Неравенства (108.8) можно было бы найти и как необходимое условие устойчивости разрыва, подобно тому как это было сделано в 8 88. Задача Найти условие устойчивости тангенциального разрыва на мелкой воде— линии, вдоль которой жидкость по обе стороны от нее движется с различными скоростями (С.В.
Бегденкоо, О.П. Погуце, 1983). Р е ш е н и е, Ввиду указанной в тексте аналогии между гидродинамикой мелкой воды и динамикой сжимаемого политропного газа, поставленная задача эквивалентна 'задаче об устойчивости тангенциального разрыва в сжимаемом газе (задача 1 к з 84). Отличие состоит, однако, в том, что в случае мелкой воды должны рассматриваться возмущения, зависящие лишь от координат в плоскости жидкого слоя 1вдоль скорости и и перпендикулярно к ней), но не от координаты г вдоль глубины слоя Н приближению мел- 1Р кой воды отвечают возмущения с длиной волны Л » Ь.
Поэтому найденная в задаче к 8 84 скорость оь оказывается теперь границей неустойчивости: разрыв устойчив при г > гг, (г †скач скорости на разрыве). Поскольку плотность и глубина жидкости по обе стороны разрыва одинаковы,то роль звуковой скорости по обе стороны от него играет одна и та же величина с~ = сг = ~ЯЬ, так что разрыв устойчив при г > 2ь/281г. ') В задаче к э' 84 ей соответствовала координата р. ГЛАВА Х1 ПЕРЕСЕх1ЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА й 109. Волна разрежения Линия пересечения двух ударных волн является в математическом отношении особой линией двух функций, описывающих движение газа. Такой же особой линиой является край всякого острого утла на поверхности обтекаемых газом тел. Оказывается возможным исследовать движение газа вблизи особой линии в самом общем виде (1. Ртапг(11, ТЬ.
Меует, 1908). Рассматривая область вблизи небольшого участка особой линии, мы можем считать последшою прямой, которую мы выберем в качестве оси з цилиндрической системы координат г, оз, ж Вблизи особой линии все величины существенным образом зависят от угла:р. Напротив, от координаты т они зависят лишь слабо, и при достаточно малых т зависимостью от т можно вообще пренебречь.
Несущественна также зависимость величин от координаты з, изменением картины те гения вдоль небольшого участка особой линии можно пренебречь. Таким образом, мы должны исследовать стационарное движение, при котором все величины являются функциями только оз. (Ь Уравнение сохранения энтропии»'» з = 0 дает и — ' = О, откуда г)1г з = сопв$ ') ., т. е.
движение изэнтропично. Поэтому в уравнении Эйлера можно писать»'ю вместо згр/р: (»те)» = — '»'гл. В цилиндрических координатах получаем три уравнения: ге ~Ь„и, е. нее и„ее 1 Ню 2 — е —" — — в=О, — ' е+ " ' = — — —, о,,— '=О. а., г Ф г ' 7 Ф ' гг'д Фд'д Из последнего имеем п, = сопв1; без ограничения общности можно положить пь = 0 и рассматривать движение как плоское, --. это сводится просто к соответствующему выбору скорости движения системы координат вдоль оси ж Первые два уравнения ') Если положить е = О (вместо пв/Иу = О), то, как легко заклк>нить из написанных ниже у равнений движения, получится е, = О, е. ~ О.
1акое движение соответствовало бы пересечению поверхностей тангенпиальных разрывов (со скачком скорости ев) и ввиду неустойчивости таких разрывов не представляет интереса. 571 1 гоэ Волил Рлэев>кквия переписываем в виде л'и Ну' 1 ф~ 1109.1) ет( + ет)— 1109.2) Подставляя 1109.1) в 1109.2), получаем Ие, Не, Ню и р + е~ дф ' ьг или,интегрируя ;С = ~р + агс$6 — '. 1109.6) Дифференцируя это выражение по ~р и используя 1109.
Ц, 1109.2), г и+ ' " = сопвФ. 1109.3) 2 Заметим, что равенство 1109.1) означает, что го1 ч = О, т. е. движение потенциально; в связи с этим и имеет место уравнение Бернулли (109.3). Далее, уравнение непрерывности г11г(рч) = 0 дает рвг+ — (ребр) = р) пг+ ) +ее — — — О. (109.4) Используя 1109.2), получим отсюда ( + )(1 — — ) — О Но производная пр/др, которую правильнее писать в виде 1др/др),„есть квадрат скорости зву.ка.
Таким образом, ( — ' + е„) (1 — — '," ) = О. (109.5) Этому уравнению можно удовлетворить двумя способами. Вовервых, может быть дпла †' + е, = О. Нд Тогда из 1109.2) имеем р = сопвС, р = = сопв1, а из 1109.3) получаем, что и е = е„ + е„ = сопв1, т. е, скорость по- т х стоянна по абсолютной величине. Легко видеть,что и направление скорости Рис. 96 в этом случае постоянно. Угол г, образуемый скоростью с некоторым заданным направлением в плоскости движения, равен (рис.
96) 572 ПЕРЕСЕ 1Е11ЕЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА ГЛ Х1 получаем после простого преобразования: (109. 7) 4э1 11ВРВ' 111Й При р = сопв1 имеем, действительно, т = сопИ. Таким образом, приравнивая нулю первый множитель в (109.5), мы получаем просто тривиальное решение -" однородный поток. Во-вторых, уравнению (109.5) можно удовлетворить, положив 1 = е~~))с~, т. е. е = ~с. Радиальная же скорость определится из (109.3).
Обозначая в этом уравнении сопэ1 символом п)ш получаем , = ~,12), — )— В этом решении перпендикулярная к радиус-вектору составляю- ЩаЯ ет скоРости в кажДой точке Равна по величине местной скорости звука. Полная же скорость н = ~))г~ + э~, следовательно, больше скорости звука. Как абсолютная величина скорости, так и ее направление меняются от точки к точке. Поскольку скорость звука не может пройти через нуль, то ясно, что непрерывная функция нй()р) должна быть равна везде +с или же везде — с. Выбирая соответствующим образом направление отсчета угла 1р, мы можем условиться считать, что в = с. Что касается выбора знака у СГ, то мы увидим ниже, что он диктуется физическими соображениями и должен быть положитш)ьным.
Таким образом, , = ,~ 2 ) — ) — .'. (109.8) Из уравнения непрерывности (109.4) имеем Гйр = — Г1(ро,.) )(рег). Подставив сюда (109.8) и интегрируя, получим 11(РС) (109.9) г '21,— ) Если известно уравнение состояния газа и уравнение адиабаты (напомним, что в = сопв1), то с помощью этой формулы можно определить зависимость всех величин от угла )д. Таким образом, формулы (109.8), (109.9) полностью определяют движение газа,. Займемся теперь более подробным изучением полученного решения. Прежде всего заметим, что прямые )д = сопэ1 пересекают в каждой точке линии тока под углом Маха (его синус равен ет,)е = с))э), т. е. являются характеристиками.
Таким образом, одно из двух семейств характеристик (в плоскости лу) представляет собой пучок выходящих из особой точки прямых и обладает в данном случае важным свойством вдоль каждой из них все величины остаются постоянными. В этом смысле рассматриваемое решение играет в теории плоского стационарного бу73 1 10э ВОЛНЛ РЛЗРЯУКВИИЯ движения такую же роль, какую играет изученное в З 99 авто- модельное движение в теории нестационарных одномерных течений. Мы вернемся еще к этому вопросу в ~ 115. Из (109.9) видно, что (рс)' < 0 (штрих обозначает дифференцирование по ур).
Написав (рс) = — р 4(рс) 71р и замечая, что производная 71(рс)/др положительна (см. (99.9)), мы находим, что производная р' < 0; вместе с пею отрицательны и производные р = с р, ш = р,уур. Далее, из того, что производная и' отрицательна, следуец что абсолютная величина скорости =,~2( — ) р: щ фу «ц р. Н щ (199.7) следует, что 2С' > О. Таким образом, получаем следующие неравенства: — "<01 — Р<0, — >01 — '" >О. (109.10) 47Р ' 4Р ' дЦР ' дР Другими словами, в направлении обхода вокруг особой точки, совпадающем с направлением обтекания, плотность и давление падают, а вектор скорости возрастает по абсолютной величине и поворачивается в направлении обхода.
Описапное движение часто называют волной разрежения; ниже мы будем пользоваться этим термином. Легко видеть, что волна разрежения не может иметь места во всей области вокруг особой липин. Действительно, поскольку с есть монотонно возрастающая функция ур, то при полном обходе вокруг начала координат (т. е. при изменении ур на 277) мы получили бы для н значение, отличное от исходного, что нелепо. Ввиду этого истинная картина движения вокруг особой линии должна представлять собой совокупность секториальных областей, разделенных плоскостями ур = сопМ, являющимися поверхностями разрывов.
В каждой из таких областей происходит либо движение, описываемое волной разрежения, либо движение с постоянной скоростью. Число и характер этих областей для различных конкретных случаев будут установлены в следующих параграфах. Сейчас укажем лишь, что граница между волной разрежения и областью однородного течения должна быть непременно слабым разрывом. Действительно, эта граница нс может быть тангенциальным разрывом (разрывом скорости ну), так как на ней не обращается в нуль нормальная к ней компонента скорости и„. = с, Она не может также быть ударной волной, так как нормальная компонента скорости (с ) по одну сторону от такого разрыва должна была бы быть больше, а по другую меньше скорости звука, между тем как в данном случае с одной из сторон границы мы во всяком случае имеем е = с. 574 11ЬРЕОЕЧЕ1!ВЕ ПОВЕРХВОГ1'ЕЙ РЛЗРЫВЛ 1'Л Х! (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
