VI.-Гидродинамика (1109684), страница 112
Текст из файла (страница 112)
(107.11) Пройдя через особую точку, интегральная кривая устремляется в начало координат (точка 0), отвечающее предельным значениям (107.4). Для уяснения математической ситуации, опишем кратко картину распределения интегральных кривых уравнения (107.8) на плоскости $'Я (при «правильном» значении о), не проводя соответствующих вычислений а) . ') Это обстоятельство выражает собой просто тот факт,что скорость газа на задней стороне поверхности разрыва меныпе скорости звука вием. ») Исследование производится общими методами качественной теории дифференциальных уравнений.
Классификацию типов особых точек уравнения первого порядка мох!но найти в кнз В.В. Сщепанов. Курс дифференциальных уравнений, гл. И. СХОДЯЩЛЯС'Я СФВРИЧКСКЛЯ УДЛРИЛЯ ВОЛИЛ 565 1 107 Кривые (107.9) и (107.10) пересекаются, вообще говоря, в двух точках кружки на рис. 95 (помимо несущественной точки Г = = 1, Е = 0 на оси абсцисс). Кроме того, уравнение имеет особую точку с в пересечении кривой (107.10) с прямой (3 у — 1)Ъ' = 271сг (обращение в нуль второго множителя в числителе в (107.8)). Точка ач через которую проходит еправильнаяа интегральная кривая точка типа седла: точки 5 и с уз.лы.
Узловой особой точкой является также и начало координат О. Вблизи последнего уравнение (107.8) принимает вид и 2г ор Г -~- лгл Элементарное интегрирование этого однородного уравнения показывает, что при 17 — ~ 0 функция ю(17) стремится к нулю быстрее, чем 17, а именно ю = сопэ1. 1' . (107.12) Таким образом, из начала координат выходит бесконечное множество интегральных кривых (отличающихся значением сопе$ в (107.12)). Все эти кривые входят затем в узел 5 или узел с —.за исключением лишь одной, входящей в седловую точку а (одна из двух сепаратрис единственных интегральных кривых, проходящих через седло) ') .
Началу координат отвечает С = оо, т. е. момент фокусировки ударной волны в центре. Определим предельные распределения всех величин по радиальным расстояниям в этот момент. С учетом (107.12) из уравнений (107.6), (107.7) найдем, что Г = сопе1. С 7, 2 = сопв1. С 7, ст = сопе1 при ( -+ сс (107.13) (значения постоянных коэффициентов могут быть найдены только путем фактического численного определения интегральной кривой на всем ее протяжении). Подставив эти выражения в определения (107.2), получим е) р = сопя$, р сс г ~01о ц. (107.14) ~е~ схссс г Эти законы можно было бы найти и прямо из соображений размерности (после того, как стала известной размерность А).
) Описанная картина, как оказывается, имеет место лишь при т < щ = 1,87... При т = т1 и «правильном» О точки а и Ь сливаются, а при т ) 71 картина распределения интегральных кривых меняется и требуется более глубокое исследование. Папомниьб однако, что в физически реальных случаях у < 5/3 (ср. примеч. Иа с. 560). ') Предельное значение отношения р/р1 в момент фокусировки равно 20,1 для т = 7!5 и 9 55 для з = 5!3. 566 ГЛ Х ОДНОМЯРНОВ ДВИЖВНИВ С'ЖИМЛКМОГО ГЛЗЛ В нашем распоряжении имеется два параметра, р1 и А, и одна переменная г; из них можно составить всего одну комбинацию раЗМЕрНОСтИ СКОрОСтИ: Амнг' 11о; ВЕЛИЧИНОЙ жс С раЗМЕрНОСтЬЮ плотности является лишь само р1.
Найдем еще закон, по которому меняется со временем полная энергия газа в области автомодельпого движения. Размеры (по радиусу) этой области-- порядка величины радиуса Л ударной волны и уменыпаются вместе с ним. Примем условно за границу автомодельной области некоторое определенное значение г/Л = (1. Полная энергия газа в сферическом слое между радиусами Л и (1Л после введения безразмерных переменных выражается интегралом (ср. (106.11)). Интеграл здесь постоянное число '). Поэтому находим, что Е Лб — 2/о ( ~)ба — 2 (107.15) Для всех реальных значений 7., показатель степени здесь положителен. Хотя интенсивность самой ударной волны растет 1ю мере ее приближения к центру, но в то же время уменьшается объем области автомодельного движения и это приводит к умепьшениго полной заключенной в ней энергии.
После фокусировки в центре возникает «отраженная» ударная волна, расширяющаяся (при 2 ) О) навстречу движущемуся к центру газу. Движение в этой стадии тоже автомодельно, с тем же показателем автомодсльности ст, так что закон расширения Л х 5 . Более подробным исш1едованием этого движения мы здесь заниматься пе будем е) . Таким образом, рассмотренная задача дает пример автомодельного движения, в котором, однако, показатель автомодельности (т. е, вид автомодельной переменной ~) не может быть определен из соображений размерности; он определяется лишь в результате решения самих уравнений движения, с учетом утловий, диктуемых физической постановкой задачи.
С математической точки зрения характерно, что эти условия формулируются как требование прохождения интегральной кривой дифференциального уравнения первого порядка через его особую точку. При ') Интеграл расходится при (~ -г оо. Это обстоятельство — следствие неприменимости автомодельного режима на расстояниях г 'Р) й. е) укажем лишь, что отражение ударной волны сопровождается дальнейшим сжатием вещества, достигающим 145 для у = 7/5 и 32,7 для у = 5/3. 567 '1ЕОРИЯ «МЕЛКОЙ ВОДЫ 1 1оз этом показатель автомодсльности оказывается, вообще говоря, иррациональным числом ') . 8 108. Теория «мелкой воды» Замечательную аналогию движению сжимаемого газа представляет движение в поле тяжести несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, если глубина слоя жидкости достаточно мала (мала по сравнению с характеристическими размерами задачи, например, по сравнению с размерами неровностей дна водоема).
В этом случае попере гной компонентой скорости жидкости можно пренебречь по сравнению с продольной (вдоль слоя) скоростью, а последнюю можно считать постоянной вдоль толщины слоя. В этом приближении (пазывае»1ом гидравлическим) жидкость можно рассматривать как «двумерную» среду, обладаюшую в каждой точке определенной скоростью зг и, кроме того, характеризующуюся в каждой точке значением величины 6— толщины слоя. Соответствующие общие уравнения движения отличаются от уравнений, полученных в 8 12, лишь тем, что изменения величин при движении не должны предполагаться малыми, как это делалось в 8 12 при изучении длинных гравитационных волн малой амплитуды; в связи с этим в уравнении Эйлера должны быть сохранены члены второго порядка по скорости.
В частности, для одномерного движения жидкости в канале, зависящего только от одной координаты х (и времени), эти уравнения имеют вид дс дх ' дс дх дх (глубина 6 предполагается здесь постоянной вдоль ширины канала). Длинные гравитационные волны представляют собой, с общей точки зрения, малые возмугцения движения рассматриваемой системы. Результаты 8 12 показывают, что такие возмущения распространяются относительно жидкости с конечной скоростью, равной с = ~lд6. (108.2) Эта скорость играет здесь роль скорости звука в газодинамике. Так же., как это было сделано в 8 82, мы можем заключить., что 1 ) Другой пример автомодельного движения такого рода представляет задача о распространении ударной волны, создаваемой в результате короткого сильного удара по полупространству, заполненному газом (Зельдавв 1 Я.Б.
,1/ Акустич. журнал. 1986. Т. 2. С. 29). Изложение этой задачи можно найти также в указанной на с. 459 книге Я.Б. Зельдовича и Ю.П. Райнера Сгл. ХП) и в книге Баренблашта ГИ. Подобие, автомодельносзеч промежуточная асимптотика. — Мл Гидрометеоиздат, 1982, гл.
4. 568 ГЛ Х ОДИОК|КРИОК ДКИЖКНИК СЖИМЛК! |01'О ГЛЗЛ если жидкость движется со скоростями и ( с (так называемое спокойное течение)! то влияние возк|ущений распространяется на весь поток как вниз, так и вверх по течению. При движении же со скоростями |! > с (с|прел|иГГ|ельное течение) влияние возмущений распространяется лишь на определенные области потока вниз по течению. Давление р 1отсчитываехлое от атмосферного давления на свободной поверхности) меняется по глубине жидкости согласно гидростатическому закону р = р8(6 — я), где к высота точки над дном. Полезно заметить, что если ввести величины Л р = 86, р = / р|Ь = -р862 = ~ р2, (108.3) 2 2р о то уравнения (108.1) примут вид — Р+ — нр = О, — +е — = — — — "., (108.4) д| дк д«дк рдк' формально совпадающий с видом уравнений адиабатического точения политропного газа с у = 2(р сх р2).
Это обстоятельство позволяет непосредственно переносить в теорию «мелкой воды» все газодинамические результаты, относящиеся к движению без образования ударных волн. Два последних соотношения в теории мелкой воды отличаются от газодинамических соотношений для идеального газа. «Ударная волна» в текущей по каналу жидкости представляет собой резкий скачок высоты жидкости 6, а с пею и ее скорости н (так называемый прьикох воды).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
