VI.-Гидродинамика (1109684), страница 108
Текст из файла (страница 108)
544 гл. х одномегнов двнжянив ГжиылемОГО Глзл получим дя Вы — Ай 41 С. — Вй' а исключая отсюда с помощью того жс соотношения Й,упу, мы снова придем к уравнению (103.5). Задача Найти уравнение второго семейства характеристик в цептрированной простой волне в политропном газе. Р е ш он и е. В центрированной простой волне, распространяющейся в сторону находящегося справа от нее неподвижного газа, имеем т у-с1 — =г-гс=соз- о.
2 Характеристики Ст изображаются пучком прямых х = сопке й Характеристики же С определяются уравнением Ых 3 — уя 4 — = е — с= — — — — со. у+11 з-~-1 Интегрируя, находим з — ч у+1 х = — со1-~- со1е ~ — ') ~1.) где постоянная интегрирования выбрана так, чтобы характеристика С проходила через точку х = созе, 1 = уо на характеристике Ст (х = со8), граничной между простой волной и областью покоя. «Линии тока» в плоскости я1 даются уравнением откуда для характеристик Со: у+1 (1'1,41 х = — — соу+ — 'соуо ~ — ) — у — 1 й 104. Инварианты Римана Произвольное малое возмущение распространяется, вообще говоря., по всем трем характеристикам (С+, С ., Се), исходящим из данной точки плоскости хй Можно, однако, разложить произвольное возмущение на такие части, каждая из которых распространяется лишь по одной из характеристик. Рассмотрим сначала изэнтропическое движение газа. Напишем уравнение непрерывности и уравнение Эйлера в виде др, др 2де — + о — + рс — = О, ду дт д.
де де 1 др — +н — + — — =О; ду д* р дя 545 1 1ол инвлгилнтш иимлнл в уравнении непрерывности мы заменили производные от плотности на производные от давления согласно др (ду'1 др 1 др ду 1 др дс 'тдр)а д~ с' д~ дт с' ди Разделив первое уравнение на ~рс и сложив его со вторым, по- лучим (104.2) [ — +и — ]бв = О, (104.6) 18 Л. д. Ландау и Е.Ы.
Лифшиц, тои Ш вЂ” ~ — — Р + ( — ~ — Р1(п ш с) = О. (104.1) Ж р:а~ ~дт рва*, Далее, введем в качестве новых неизвестных функций величины рс „с' называемые инвирпинтами Римвни Напомним, что при изэнтропическом движении р и с являются определенными функциями от р, и потому стоящие здесь интегралы имеют определенный смыгж Для политропного газа Хг — — и + — с, Х = п — — с. (104.3) ч — 1' ' ч — 1 После введения этих величин уравнения движения приобретают простой вид [ — + (и + с) — ] Хг — — О, [ — + (п — с) — ] Х = О. (104.4) Дифференциальные операторы, действующие на Хг и Х, представляют собой не что иное., как операторы дифференцирования в плоскости я1 вдоль характеристик С.ь и С .
Таким образом, мы видим, что вдоль каждой из характеристик Сг и С остается постоянной соответственно величина Хэ или Х . 51ы можем также сказать, что малые возмущения величины Хг распространяются только вдоль характеристик Сл, а возмущения Х вдоль С В общем случае неизэнтропического движения уравнения (104.1) пе могут быть написаны в виде (104.4), так как др/(рс) пе является полным дифференциалом. Эти уравнения, однако, по- прежнему позволяют выделить возмущения, распространяющиеся по характеристикам лишь одного семейства.
Таковыми являются возмущения вида 6п ш бр,1(рс), где бп и бр -- произвольные малые возмущения скорости и давления. Распространение этих возмущений описывается линеаризованными уравнениями [ — + (п шс) — ] (бп ш Р) = О. (104.5) Полная система уравнений движения малых возмущений получается добавлением сюда еще и уравнения адиабатичности 546 ГЛ Х ОДНОМЕРНОК ДКИЖКНИК ГЖИМЛКМОГО ГЛЗЛ показывающего, что возмущения бв распространяются вдоль характеристик Со. Произвольное малое возмущение всегда можно разложить па независимые части указанных трех видов.
Сравнение с формулой (101.4) показывает, что инварианты Римана (104.2) совпадают с теми величинами, которые в простых волнах постоянны вдаль всей области движения в течение всего времени: в простой волне, распространяющейся вправо, постоянно 1, а в волне, бегущей влево, Гсостоянно,УК. С гиатематической точки зрения это есть основное свойство простых волн. Из него следует, в частносги, и указанное в предыдущем параграфе свойство прялсолинейность одного из семейств характеристик. Пусть, например, волна распространяется вправо. Каждая из характеристик СР несет свое постоянное значение 1Р и, кроме того, на ней постоянна являющаяся постоянной во всей области величина 1 . Но из постоянства двух величин .7~ и .1 следует, что постоянны также и и и р (а с ними и все остальные величины), и мы приходим к найденному в 8 103 свойству характеристик Сж, непосредственно ведущему к их прямолинейности.
Если в двух смежных областях плоскости х1 течение описывается двумя аналитически различными решениями уравнений движения, то граница между этими областями есть характеристика. Действительно, эта граница представляет собой разрыв производных каких-либо величин, т. е. некоторый слабый разрыв:, последние же непременно совпадают с какой-либо характеристикой. Весьма существенное значение в теории изэнтропического одномерного движения имеет следующее свойство простых волн; течение в области, граничащей с областью гюстоянного течения 1течения с н = сопк1, р = сон8$), есть непременно простая волна. Доказательство этого утверждения очень Ь Простая вояиа просто. Пусть интересующая нас область 1 плоскости х1 граничит справа с областью к постоянного течения (рис. 88). В последней, очевидно, постоянны оба инварианта,УР 'с и 1, а оба семейства характеристик прямо- линейны.
Граница между обеими областя- 2 Постояккое тряское МИ ЕСГЬ Олив ИЗ характеристик СЖ, И ЛИ- пии СЖ одной области не переходят в другую Рис. 88 область. Характс.ристики же С непрерывно продолжаются из одной области в друтую и, покрывая область 1, приносят в пес из области й постоянное значение 1 . Таким образом, вели сина о будет постоянна и вдоль всей области 1, так что последняя есть простая волна. Свойство характеристик переносить вдоль себя постоянные значения определенных величин проливает свет на общую постановку вопроса о задании начальных и граничных ус.ювий к 547 З >О4 инвлшзлнты гимлнл уравнениям гидродинамики.
В различных конкретных физических задачах выбор этих условий обычно не вызывает сомнений и диктуется непосредственно физическими соображениями. В более сложных случаях могут., однако, оказаться полезными и чисто математические соображения, основанные на общих свойствах характеристик.
Будем для определенности говорить об изэнтропическом одномерном движении газа. С чисто математической точки зрения постановка газодинамической задачи сводится обычно к определению двух искомых функций (например> и и р) в области плоскости х~, лежащей между двумя заданными кривыми (ОА и ОВ на рис. 89 а), на которых задаются граничные значения. Вопрос закл>очается в том, значения скольких величин долж- !ее«. ~~' ~еа». зее«.
2«е« ны быть заданы на этих кривых. В этом смысле существенно, как Расположена кажДаЯ кРиваЯ по а б в отношению к направлениям исходящих ') из каждой ее точки двух ветвей характеристик С Рис. 89 и С (показа>и>ым иа рис. 89 стрелками). Могут представиться два случая: либо оба направления характеристик лежат по одну сторону от кривой, либо кривая расположена между ними. На рис. 89 а кривая ОА относится к первому, а ОВ --. ко второму случаю. Ясно, что для полного определения искомых функцвй в области АОВ на кривой ОА должны быть заданы значения двух величин (например, обоих инвариантов,7ь и,7 ), а на кривой ОВ всего одной.
Действительно, значения второй величины будут перенесены па кривую ОВ с кривой ОА характеристиками соответствующего семейства и потому не могут быть заданы произвольным образом ') . Аналогично, иа рис. 89 6, е изображены с >учаи, когда на обеих граничных кривых должны быть заданы по одной или по две величины. Следует также указать, что если граничная кривая совпадает с какой-либо характеристикой, то на пей вообще невозможно произвольное задание двух независимых величин, так как их ') В плоскости х1 «исходящими» из заданной точки ветвями характеристик являются ветви, направленные в сторону возрастания К е) для иллюстрации укажем пример такого случая: задача о движении газа при вдвигании или выдвигании поршня из бесконечной трубы.
Здесь речь идет о нахождении решения газодинамических уравнений в области плоскости кг между двумя линиями. правой полуосью т и линией т = Х)г), изображающея движение поршня (см. рисунки 86, 87). На первой линии задаются значения двух величин (начальные условия е = О, р = ре при» = 0), а на второй — всего одной величины (е = и, где иф — скорость поршня). 548 гл х ОднОмкРнОк дкиЭккник с'жик!лкк!ОРО слал значения связаны друт с другом одним условием условием постоянства соответствующего инварианта Римана.
Аналогичным образом может быть разобран вопрос о задании граничных условий в об!нем случае неизэнтропического движения. Выше мы говорили везде о характеристиках одномерного движения как о линиях в плоскости я1. Характеристики могут, однако! быть определены и в плоскости любых других двух перекюнных! описывающих движение. Можно, например, рассматривать характеристики в плоскости переменных ис. Для изэнтропического движения уравнения этих характеристик даются просто равенствами Г, = сопэ$, 1 сопк1 с произвольными постоянными в их правых частях (будем называть их усаовно характеристиками Гч и Г ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
