VI.-Гидродинамика (1109684), страница 104
Текст из файла (страница 104)
79 1~» 07 1)рг + ггу+ 1)рз Из этих трех уравнений можно исключить удельные объемы, в результате чего получим 1рз — Рз) 'г17+ МРг + 17 — 1)рз] = (Р— Рг) ~Ь+ МР« ~- (7 — 1)Рз). Это есть квадратное уравнение для Рз, имеющее тривиальный корень рз = = Рг: после сокращения на 1рз — Рг ) получим искомую формулу Рг 737 — 1)рг — 77 — 1)Р, Рг (7 — 1)рз -~ (7 7 1)рг определяющую рз по рг и рз. В предельном случае большой интенсивности падшощей волны «досжатгге» газа отраженной ударной волаой определяется формулами Рз (3 7 — 1) Из 17 — 1) Рз 7 1 »1 В обратном предельном случае малой интенсивности: рз — рг = Рг — рг,что соответствует звуковому приближению.
2. Найти условие, определяющее результат отражения у:гарной волны от плоской гранины между двумя газами. Р е ш е н и е. Пусть рг = рз, Кг, Ц вЂ” давления и удельные объемы обеих сред до падения ударной волны (распростраггягощейся в газе 2) на их поверхность раздела, а Рг, Из - давление и удельный объем позади ударной вшгны. Усгговие того, чтобы отраженная волна была ударной, определяется неравенством (100.2), в котором надо в данном случае положить 1. Плоская ударная волна отражается от плоской поверхносги абсолютно твердого тела. Определить давление газа позади отраженной волны. 'гН.
Нибовгой 1885). Р е ш е н и е. В результате падения ударной волны на твердую стенку возникает отраженная ударная волна, распространяющаяся от стенки. Будем отмечать индексами 1, 2, 3 соответственно невозмущенный газ перед падшощей ударной волной, газ позади падающей волны (огг же является газом впереди отраженной волны) и газ позади отраженной волны грие. 79; стрелками показано направление движения ударных волн н самого газа). Газ в граничащих с твердой степкой областях 7 и 2 покоится (отггоситгглыго неподвижной стенки).
Поэтому относительная скорость газов по обе стороны разрыва друг относительно друга в обоих случаях. в падающей и отраженной ударных волнах — одинакова (равна одной и той же величине — скорости газа Я). Воспользо- 2 вавшись формулой 185.7) для относительной скорости, по- 1 лучим поэтому: 7рг РгИ1'г уз) = (Рз — Рг)% — 1'г) Уравнение же ударной а ных волн дает 524 ГЛ Х ОДНОМВРНОВ ДВИЖКНИВ СЖИМЛКМОГО ГЛЗЛ Выражая все величины через отношение давлений рг/Р! н начальные удельные объемы Р'! и )'~, получим следующее условие: 12 ( ( !!+ Мрз!Р! + (у! 1) Из+ 1)ря/Р! + Гуя ") й 101. Одномерные бегущие волны При изучении звуковых волн в ~ 64 амплитуда колебаний в волне предполагалась малой.
В результате уравнения движения оказывшГись линейными и могли быть легко решены. Решением этих уравнений является, в частности. функция от х ш с1 (плоская волна), что соответствует бегущей волне с профилем, перемещающимся со скоростью с без изменения своей формы (под профилем волны Гюнимают распределение различных величин плотности, скорости и т. п. -- вдоль направления ее распространения). Поскольку скорость и, плотность р и давление р (как и другие величины) в такой волне являются функциями от одной и той же комбинации ш ш с~, то они могут быть выражены как функции друг от друга в виде соотношений, не содержащих явно ни координаты, ни времени (например, р = р(р), и = п(р) и т, д.). В случае произвольной, не малой, амплитуды волны эти простые соотношения у.же не имеют места.
Оказывается, однако, возможным найти общее решение точных уравнений движения. !тредставляющее собой бегущую плоскую волну и являющееся обобщением решения ~(ш ш сб) приближенных уравнений, применимых в случае малых амплитуд.
Для отыскания этого решения будем исходить из требования, чтобы в общем случае волны с произвольной амплитудой плотность и скорость могли быть выражены в виде функции друг от друга. При отсутствии ударных волн движение адиабатично. Если в некоторый начальный момент времени газ был однороден (так что, в частности, было в = сопв~), то и в дальнейшем будет все время в = сопв1, что и предполагается ниже; тогда и давление будет функцией только от плотности.
В плоской звуковой волне, распространяющейся вдоль оси х, все величины зависят только от х и Гч а для скорости имеем Пв = П, ПР—— П, = О. УРаВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСтн ГЛаСИт: — Р+ ~Р) =0 д~ дт, а уравнение Эйлера де де 1 др — +н — + — — =О. д! дв рдт Воспользовавшись тем, что и может быть представлено в виде 525 1 1о1 ОДНОМВРНЫВ ЬЕГНЩИЕ ВОЛНЫ функции только от р, напип|ем зти уравнения в виде др 4( ) др — + — — =О, д1 ор дх (101.1) д«рб.~ д (101.2) Замечая,что дР!дв ( дтУ'р' получаем из (101.1) (дт) 4(рв) д1 р др а из (101.2) аналогично дв =Н+Р—, (й)„=" 2 (101.3) Но поскольку зна тение р определяет однозначным образом зна- чение и, то безразлично, берется ли производная при постоянном р или и, так что (й), = (й)в откуда х = т[н ж с(п)] + у(н), (101.
5) где 1(п) - произвольная функция скорости, а функция с(н) определяется равенством (101.4). ') В волне с малой амплитудой имеем р = ро 4- р', н (101.4) Лает в первом приближении е = сор~/ро (где са = с(ро)), т. е. обьгпьую формулу (б4.12). бо 14р с'йр ор рою р оо Таким образом, г)и(с)р = ~с/р, откуда п=ж / — с1р=~ 1 (101.4) у р у рс Этим определяется общая связь между скоростью и плотностью или давлением в волне ') . Далее, комбинируя (101.3) с (101.4), пип1ом: ((= дв1 1 др — = н + — — = е ж с(н), д1 в рдо или, интегрируя, 526 гл х Одиоывенов Движения Гжимлкъ|ого ГАЗА с=со~ п, (101.
6) 2 2 27 Р Ро( ) р ро(1 ~ ) . (101. !) Подставляя (101.6) в (101.5), получит! * =1(~ж, + "'.) + У(.). Иногда бывает удобным писать это решение в виде х = Г~х — (~со+ ~ е)й~., (101.9) где г'- опять произвольная функция. Из формул (101.6) ! (101.7) снова (как и в 2 99) видно, что скорость, направленная в сторону, противоположную направлению распространения волны (относительно самого газа), ограничена по своей абсолютной величине; для волны, распространяющейся в положительном направлении оси и, имеем — !! (— (101.10) Бегущая волна, описываемая формулами (101.4), (101,5)! существенно отличается от волны, получающейся в предельном (101. 8) Формулы (101.4), (101.5) представляют собой искомое общее решение (впсрвые найденное Рима~ом В.
Ягегпапп! 1860). Указанные формулы определяют неявным образом скорость (а с нею и остальные величины) как функцию от т и 1, т. е. профиль волны в кагкдый момент времени. Для каждого определенного значения и ггмеем т = а2+ 5, т. е. точка, в которой скорость имеет определенное значение, передвигается в пространстве с гюстоянпой скоростью; в этом смысле найденное решение представляет собой бегущую волну.
Два знака в (101.5) соответствуют волнам, распространяющимся (относительно газа) в положительном и отрицательном направлениях оси х. Движение, описываемое решением (101.4), (101.5) часто называют простой вол!!ой; ниже мы будем пользоваться этим термином. Изученное в 2 99 автомодельное движение является частным случаем простой волны, соответствующим равной нулю функции ~(!!) в (101.5). Выпишем в явном виде соотношения для простой волны в политропном газе; для определенности будем считать, что в волне есть точка, в которой п = О, как это обычно бывает в различных конкретных задачах. Поскольку формула (101.6) совпадает с формулой (99.6), то аналогично формулам (99.14) (99.16) имеем 527 1 гог одиомкгныв Бегущие Волны случае малых амплитуд.
Скорость, с которой перемещаются точки профиля волны, равна (101.11) и=и~:с; ее можно рассматривать наглядно как результат наложения распространения возлгущеггия относительно газа со звуковой скоростью и перемещения самого газа со скоростью ш Скорость и является теперь функцией плотности и поэтому различна для разных точек профиля. Таким образом, в общем случае плоской волны произвольной амплитуды не существует определенной постоянной скорости волны. Благодаря различию в скоростях точек профиля волны последний не остается неизменным и меняет со временем свою форму.
Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х;, для нее и = и + с. В 8 99 была вычислена производная от о + с по гглотности (см. (99.10)). Мьг видели, что с1иггс1Р > О. Таким обРазом, скоРость Распространения заданной точки профиля вол- р ре ны тем больше, чем больше плотность. Если обозначить через со скорость звука для плотности, равной равновесной плотности ро, то в местах, где имеется сжатие, р > ро и с > со; в точках разрежения, напротив, р < ро и с < со. Неодинаковость скорости перемещения точек профиля приводит к изменению его формы со временем; точки сжатия выдвигаются вперед, а точки разрежения оказываются отставшими (рис. 80 б). В конце концов профиль волны может настолько выгнуться, что кривая р(т) (ггри заданном 1) оказывается неоднозначной-. некоторым я со- Рис.
80 ответствует по три различных зна гения р (рис. 80 в, штриховая линия) ') . Физически, разумеется, такое положение невозможно. В действительности, в местах неоднозначности р возникают разрывы, в резулыате чего р оказывается везде 1за исключением самих точек разрыва) однозначной функцией.
Профиль волны приобретает при этом вид, изображенный на рис. 80 и сплошной линией. Поверхности разрыва возникают, таким образом, на протяжении каждой длины волны. После возникновения разрывов волна перестает быть простой. Наглядная причина этого заключается в том, что при наличии поверхностей разрыва происходит отражение волны от этих поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в ) О такой деформации ирофиля волны часто говорят как о его оггрока0вг- еаиоо.
528 ГЛ Х ОДНОЫЕРНОК ДВИЭКЕНИК Г>КИМЛКМОГО ГЛЗЛ одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода предположение об однозначной зависимости между различными величинами не имеет, вообще говоря, места. Наличие разрывов (ударных волн) приводит, как было указано в 8 85, к диссипации энергии.
Поэтому возникновение разрывов приводит к сильному затуханию волны. Наличие такого затухания видно уже непосредственно из рис. 80. При возникновении разрыва как бы отсекается наиболее высокая часть профиля волны. С течением времени, по мере продолжающегося выгибания профиля, его вышина все более уменьшается. Происходит сглаживание профиля с уменьпюенисм его амплитуды, что и означает постепенное затухание волны. Из сказанного выше ясно, что образование в конце концов разрывов должно произойти во всякой простой волне, в которой имеются участки, па которых плотность убывает в направлении распространения волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
