VI.-Гидродинамика (1109684), страница 101
Текст из файла (страница 101)
73). Так может, однако, продолжаться лишь до тех пор, пока эн- л в тропия не достигнет своего максимального значения. Дальней!пес передвиже! ние по кривой:за точку О (т. е, в область сверхзвуковых скоростей) невозможно, так как оно соответствовадо бы уменьРис.
73 шснию энтропии газа по мере его течения по трубе. Переход с ветви ВО на ветвь ОА кривой не может произойти также и посредством возникновения ударной волны, так как скорость «втскающего» в ударную волну газа не может быть дозвуковой. Таким образом, мы приходим к выводу, что если на входе трубы скорость газа меньше скорости звука, то движение остает- ся дозвуковым и на всем дальнейшем ее протяжении. Скорость, равная местной скорости звука, если и достигается вообще, то только на выходном конце трубы (при достаточно низком давле- нии во внешней среде, в которую выпускается газ).
Для того чтобы осуществить сверхзвуковое течение газа по трубе, необходимо впускать газ в трубу уже со сверхзвуковой скоростью. В связи с общими свойствами сверхзвукового движе- ния (невозможностью распространения возмущений вверх по те- чению) дальнейшее течение газа будет происходить совершенно независимо от у!шовий на выходе из трубы. В частности, будет происходить совершенно определенным образом возрастание эн- тропии вдоль длины трубы, и максимальное ее значение будет достигнуто на определенном расстоянии х = 1ь от входа.
Если полная длина трубы 1 ( 4, то течение будет сверхзвуковым на всем ее протяжении (чему соответствует перемешение по ветви АО по направлению от А к О). Если же 1 ) 1ы то течение пе 508 гл. х ОДНОМВРНОВ ДВИ1КВНИВ С'1КИМЛКМО!'О ГЛЗЛ может быть сверхзвуковым на всем протяжении трубы и в то же время не может перейти плавным образом в дозвуковое, так как передвигаться по ветви ОВ кривой можно лишь в направлении, указанном стрелкой.
Поэтому в этом случае неизбежно возникновение ударной волны, переводящей движение скачком из сверх- в дозвуковое. При этом давление возрастает, мы переходим с ветви АО на ветвь ВО, минуя точку О, и на всем остальном протяжении трубы течение будет дозвуковым. 8 99. Одномерное автомодельное движение Важную категорию одномерных нестационарных движений сжимаемого газа составляют течения, происходящие в условиях, характеризующихся какими-либо параметрами скорости, но не длины. Простейший пример такого движения представляет движение газа в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с друтой, возникающее, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью.
Наряду с параметром скорости такое течение определяется еще и параметрами, дающими, скажем, давление и плотность газа в начальный момент времени. Однако из всех этих параметров нельзя составить никаких комбинаций с размерностью длины или времени. Отсюда следует, что распределения всех величин могут зависеть от координаты х и времени 1 только в виде их отношения х/1, имеющего размерность скорости. Другими словами, эти распределения в различные моменты времени будут подобны друг другу, отличаясь лишь своим масштабом вдоль оси х, увеличивающимся пропорционально времени. Можно сказать, что если измерять длины в единицах, растущих пропорционально 1, то картина движения вообще не будет меняться —.
движение автомодельно. Уравнение сохранения энтропии для движения, зависящего только от одной координаты х, гласит: да да — +и,— = О. д1 ад Считая, что все величины зависят только от переменной С = х/1, и замечая, что при этом д 19 д (11 дт 1сК~' д« ~Ц~' будем иметь (п — с)а' = 0 (штрих означает здесь дифференцирование по ~). Отсюда а' = О, т. е. л = сопв1 '); таким образом, 1 ) Предположение же в — У = 0 противоречило бы остальным уравнениям движения; иэ (99.3) получилось бы вь = соней по не соответствовало бы сделанному предположению.
309 ОДНОМЕРНОЕ ЯВТОМОДСЛЫ!ОЯ ДВИЖЮ1ИЕ автомодсльное одномерное движение не только адиабатично, но и изэнтропично. Аналогично из у- и х-компонент уравнения Эйлера до„до ° до, до, †" + о, †" = О, †' + „ †' = О д~ ' дх д~ ' дх найдем, что о„и ~1, постоянны; не ограничивая общности, мы можем положйть их в дальнейшем равными нулю. Далее, уравнение непрерывности и х-компонента уравнения Эйлера ~~ею~ вид — + р — -~- о — = О, др до др д1 дх дх (99.1) до до 1 до — +о — = — —— д1 дх рдх (99.2) (здесь и ниже вместо о пишем о). После введения переменной ( они примут вид (о — ~)р' + ро' = О, (99.3) 2 1 Р С Р Р (99.4) (99.5) (выбор знака означает, что мы принимаем определенное условие для выбора положительного направления оси х, смысл которого выяснится ниже).
Наконец, подставляя о — с = — с в (99.3), получим ср = ро1 или сир = р11о. Скорость звука является функцией термодинамического состояния газа: выбрав в качестве основных термодинамических величин энтропию з и плотность р, мы можем представить скорость звука в виде функции плотности с(р) при заданном постоянном значении энтропии. Подразумевая под с такую функцию, пишем на основании 1юлученного равенства о = (99.6) (Имея в виду постоянство энтропии, пишем во втором уравнении Р = (ядр) р'=г'р') Эти уравнения имеют, прежде всего, тривиальное решение о = сопвФ, р = сопвФ однородный поток с постоянной скоростью.
Для нахождения же нетривиального решения исключаем из уравнений р' и о и получаем равенство (о — С) = с, откуда С = о ~ с. Будем писать это соотношение со знаком плюс: 510 ОЛЛЛОЛЛКР7ЛОК ЛВИ9ККПИК С9КИМЛКМОГО ГЛЗЛ ГЛ. Х Эту формулу можно написать также и в виде = /,7 — 999Р, 799.7) где не предрешается выбор независимого переменного. Формулы (99.5) 7 (99.6) определяют искомое решение уравнений движения.
Если функция с(р) известна, то по формуле (99.6) вычисляем скорость о как функцию плотности. Уравнение (99.5) определит тогда в неявном виде зависимость плотности от х/1, после чего определится зависимость также и всех остальных величин от х/й Выясним некоторые общие свойства полу ленного решения. Дифференцируя уравнение (99.5) по х, получаем др 77(х+ с) (99.8) дх 71р Для производной от и+ с имеем с поклоп1ью (99.6) 71(с + с) с с)с 1 71(рс) Глр Р 7)Р Р др Но др 1 рс=р др,/ — др/д р дифференцируя это выражение, получим Таким образом, (99.9) (99.10) Из (99.8) следует поэтому., что при 1 > 0 будет — > О.
Замечая, др дх др 2др др дс что — = с —, заключаем, что и — > О. Наконец, имеем — = дх дх' ' дх дх ° др дс = — —, так что — > О. Таким образом, имеем неравенства,: р д'' дх — Р)0, — ")07 — >О. (99. 11) дх ' дх ' дх Смысл этих неравенств становится более ясным, если следить не за изменением величин вдоль оси х (при заданном 1), а за их изменением с течением времени у данного Глередвигающегося в пространстве элемента газа.
Эти изменения определяются полными производными по времени:, так, для плотности имеем, вослюльзовавшись уравнением непрерывности: др др др д. — = — + И вЂ” = — Р—. 711 дл дх дх Одномьгнок Автомодельнов движение Согласно третьему из неравенств (99.11) эта величина отрицательна: вместе с ней, разумеется, отрицательна и производная ог — ~<О, — "<О. (99.12) д* ' дх Аналогичным образом (используя уравнение Эйлера (99.2)) можно убедиться, что де/Ж < О; это, однако, не означает, что абсолютная величина скорости падает со временем, так как и может быть отрицательной.
Неравенства (99.12) показывают, что плотность и давление каждого элемента газа падают по мере его передвижения в пространстве. Друтими словами, передвижение газа сопровождается его монотонным разрежением. Поэтому рассматриваемое движение можно назвать неглппционариой волной разрежения ') . Волна разрежения может простираться лишь на конечное расстояние вдоль оси х; это видно уже из того, что формула (99.5) привела бы при х — ь шоо к бессмысленному результату бесконечной скорости.
Применим формулу (99.5) к плоскости, ограничивающей занимаемую волной разрежения область пространства. При этом х/г будет представлять собой скорость движения этой границы относительно выбранной неподвижной системы координат. Скорость же ее относительно самого газа есть разность х/1 — е и согласно (99.5) равна как раз местной скорости звука. Это значит, что границы волны разрежения представляют собой слабые разрывы. Картина автомодельного движения в различных конкретных случаях складывается, следовательно, из волн разрежения и областей постоянного течения, разделенных между собой поверхностями слабых разрывов (кроме того, конечно, могут иметься и различные области постоянного течения, разделенные между собой ударными волнал1и).
Сделанный нами выбор знака в формуле (99.5) соответствует, как теперь видно, тому, что эти слабые разрывы предполагаются движущимися относительно газа в положительном направлении оси х. Неравенства (99.11) связаны именно с таким выбором; неравенства же (99.12), разумеется, от выбора направления оси х вообще не зависят. Обычно приходится иметь дело с такой постановкой конкретных задач, при которой волна разрежения с одной стороны граничит с областью неподвижного газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
