VI.-Гидродинамика (1109684), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Если бы значение 1, плотности потока было достигнуто не в самом узком месте трубы, то в сечениях с меньшим о было бы 1 ) 1'„, что невозможно. Поэтому значение 1 = у„может быть достигнуто только в самом узком месте трубы, площадь сечения которого обозначим через Я,„;„. Таким образом, верхняя граница полного расхода газа есть 1 ) Г)~пах = Р!в*~ты = ъЯрвРв ) Квш ° (97.2) 2 1 г(т — П ; -~-1 502 ГЛ Х ОднОмеРнОк дкиженик ГжимлкмОГО Глэл Рассмотрим сначала сопло, монотонно суживающееся по направлению к своему внешнему концу, так что минимальная площадь сечения достигается па этом конце (рис. 70).
В силу (97.1) плотность потока 7' монотонно возрастает вдоль трубы. То же самое касается скорости газа н, а давление соответственно монотонно падает. Наибольшее возможное значение 1' будет достигнуто, если скорость и достигает значения с как раз на выходном конце трубы, т. е. если будет И1 = с1 = н, (буквы с индексом 1 обозначают значения ве— — — — — — — личин на выходном конце трупы).
Одновремснно будет и р = р,. Проследим за изменением режима вытекания газа при уменьшении давпения р, внешней среды, в которую газ выпускается. При уменьшении внешнеРис. 70 го давления от значения, равного давлению ро в сосуде, и вплоть до значения р, одновременно с ним падает также и давление р1 в выходном сечении трубы, причем оба эти давления (р1 и рс) остаются равными друг другу, другими словами, все падение давления от ро до внешнего происходит внутри сопла. Выходная же скорость н~ и полный расход газа 17 = 713,И1н монотонно возрастают.
При р, = р, выходная скорость делается равной местному значению скорости звука, а расход газа — . значению Яи,лх. При дальнейшем понижении внешнего давления выходное давление перестает падать и остается все время равным р,; падение же давления от р„до р, происходит уже впе трубы, в окружающем пространстве. Другими словами, ни при каком внешнем давлении падение давления газа в трубе не может быть ббльшим, чем от ро до р„; так, для воздуха (р„= 0,53ро) максимальное падение давления составляет 0,47ро. Выходная скорость и расход газа тоже остаются (при р, ( р,) постоянными. Таким образом, при истечении через суживаю! щееся сопло газ не может приобрести -- сверхзвуковой скорости.
Невозможность достижения сверхзвуковых скоростей при выпускании газа через суживающееся сопло связана с тем, что скорость, равная Рис. 71 местной скорости звука, может достигаться только на самом выходном конце такой трубы. Ясно, что сверхзвуковая скорость сможет быть достигнута с помощью сопла сначала суживающегося, а затем вновь расширяющегося (рис.
71). Такие сопла называются соплилт, Лаваля. Максимальная плотность потока у„если и достигается, то опять-таки только в наиболее узком сечении, так что н в таком 503 нгтячнннь газл 1егнз сон1!О р Ре Рис. 72 а давление соответствующее этому потоку значение, обозначенное на рис. 72 символом р1 (некоторая точка д на кривой). Если жс в сечении Я 1„достигается лишь некоторая точка е, то в расширяющейся части сопла давление будет возрастать соответственно обратному перемещению по кривой вниз от точки е.
На первый взгляд могло бы показаться, что с ветви с6 кривой можно перейти на ветвь а6 скачком, минуя точку 6, посредствоъ1 образования ударной волны, однако это невозможно, так как евтекающийа в ударную волну газ не может иметь дозвуковой скорости. Имея в виду все эти замечания, проследим теперь за изменением режима вытекания по мере постепенного увеличения внешнего давления р,. При малых давлениях, начиная от пуля и до значения ре = р'и устанавливается режим, при котором в сечении Баян доестнгается давление р„и скорость н„= с„. В расширяющейся части сопла скорость продолжает расти, так что осуществляется сверхзвуковое течение газа, а давление продолжает соответственно падать, достигая на выходном конце значения р1 вне зависимости от величины р,. Падение давления от р1 до р, происходит вне сопла, в отходящей от края его отверстия волне разрежения (как это будет описано в 8 112).
Когда р, начинает превышать значение р', появляется отходящая от края отверстия сопла косая ударная волна, сжимающая газ от выходного давления р1 до давления ре Я 112). Мы увидим, однако, что стационарная ударная волна может отхо- ') Согласно формулам 183.15) — 183.17) уравнение этой зависимости: сопле расход газа нс может превьппать значения Я 1„2,. В суживающейся части сопла плотность потока возрастает (а давление падает); на кривой рис.
72, изображаюшей зависимость у от р '), это соответствует передвижению от точки с по направлению к 6. Если в сечении Янин достигается максимальный поток 1точка 6 на рис. 72), то в расширяющейся части сопла давление будет продолжать падать и начнет падать также и у соответственно перемещению по кривой рис. 72 от точки 6 по наврав- ь лени1о к а. На выходном конце . ь и е трубы поток у' приобретает тогда вполне определенное значение, равное о р 504 гл. х ОДНОМВРИОВ ДВИЖНПИВ ОЖИМЛВМОГО ГЛЗЛ дить от твердой поверхности лишь постольку, поскольку она не обладает слишком большой интенсивностью Я 111).
Поэтому при дальнейшем повышении внешнего давления ударная волна скоро начинает передвигаться внутрь сопла, причем перед ией, на внутренней поверхности сопла, возникает отрыв. При некотором значении р, ударная волна достигает наиболее узкого сечения сопла и затем исчезает; течение становится всюду дозвуковым с отрывом на стенках расширяющейся (диффузорной) части сопла. Все эти сложные явления имеют уже, разумеется, существенно трехмерный характер. Задача На малом участке длины трубы к стапионарно текущему по ней газу подводится небольшое количество тепла.
Определить изменение скорости газа при прохождении им этого участка. Газ предполагается политропным. Р е ш е н и е. Пусть 5д есть подводимое в единицу времени количество тепла 1Π— площадь сечения трубы в данном ее участке). На обеих сторонах участка подогрева одинаковы плотности потока массы 1 = рг и потока импульса р + 1е; отсюда гор = †узап, где Л обозначает изменение величины при прохождении этого участка. Разность же плотностей потока энергий (ш + Рэ/2)1 равна е. Написав ш в вцде ур урс 11 — 1), Ь вЂ” 1). получим (считая Ье и Глр малыми): суйте + (рЬе -Р ислр) = о.
у — 1 Исключая Сгр из этих двух соотношений, найдем 1ч — 1)ч '"- р1с —.е) Мы видим, что при дозвуковом течении подвод тепла ускоряет поток (Ье > > О), а при сверхзвуковом — замедляет. Написав телгпсратуру газа в виде Т = рр/Лр = рри) (ЛУ) (Л вЂ” газовая постоянная), найдем для ее изменения выражение ~ХТ = — 1иглр -~- ргх в) = — — е и уг( у — 1)д / с Лу ЛЯсе юз)~,З При сверхзвуковом движении это выражение всегда положительно — температура газа повышается; при дозвуковом же движении оно может бьггь как положительг|ымб так и отрицательным.
й 98. Вязкое движение сжимаемого газа но трубе Рассмотрим течение сжимаемого газа по трубе (постоянного сечения) настолько длинной, что нельзя пренебрегать трением газа о стенки, т. е. вязкостью газа. Стенки трубы мы будем предполагать теплоизолированными, так что никакого обмена теплом между газом и внешней средой не происходит. 506 гл. х ОДИОЫКРНОК ДКИЖКНИК СЖИМЛКЪ|ОГО ГЛЗЛ Коэффициент теплового расширения газов положителен. Поэтому в силу (98.3) заключаем, что положительно также и все выражение в левой части равенства (98.5). Знак же производной др/дх совпадет, следовательно, со знаком выражения Мы видим, что д~~ — <О при в<с! — >О при п>с.
(986) !5! НК !!Х Таким образом, при дозвуковом течении давление падает вниз по течению (как и для несжимаемой жидкости). При сверхзвуковом же движении давление возрастает вдоль трубы. Аналогичным образом можно установить знак производной дв!!а!х, Ввиду того., что у = !!!!Г = сопй, знак и!!)г!я совпадает со знаком производной !Лг/дт. Последняя же может быть выражена через положительную производную дк/дт с помощью (98.4), (98.5). В резульгате найдем, что ~Ь вЂ” <О при в<с, — >О при в>с! (98.7) ~Ь КК Йг т.
е. скорость возрастает вниз по течению при дозвуковом и падает при сверхзвуковом движении. Любые две термодинамические величины текущего вдоль трубы газа являются функциями друг от друга, совершенно не зависящими, в частности, от закона сопротивления трубы. Эти функции зависят как от параметра от значения постоянной ~ н определяются уравнением ю + уя1'т/2 = сопв$, получающимся путем исключения скорости из уравнений сохранения массы и энергии газа.
Выясним характер, который имеют кривые зависимости, например, энтропии от давления. Переписав (98.5) в виде КК 1 Р /с — 1 4' т+рг ( — ) мы видим, что в точке, где е = с, энтропия имеет экстремум. Легко видеть, что этот экстремум является максимумом. Действительно, для значения второй производной от к по р имеем в этой точке: Л!Р' !ю!=К т к~;! ~~» ! +' ~ ) !да~Р (что связано с предполагающейся везде положительностью производной (д~~'/др~),). 507 ИЯЗКОЯ ДЯИ1ККИИЯ С!КИМАЯМОГО 1'А:ЗА ИО ТРУБИ Таким образом., кривые зависимости в от р имеют вид, изображенный на рис. ?3.
Справа от максимумов лежит область дозвуковых, а слева---сверхзвуковых скоростей. При увеличении параметра у мы переходим от более высоких к более низко расположенным кривым. Действительно, продифференцировав уравнение (98.2) по ! при постоянном р, получим — — О. " Я'( — ".) ди Р Ргз полученных результатов можно сделать интересный вы- вод. Пусть на входе трубы скорость газа меньше скорости звука. По направлению вниз по течении! энтропия растет, а давление падает; это « о соответствует передвижению по правой и»«! И<« ветви кривой а = я(р) по направлению от В к О (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
