VI.-Гидродинамика (1109684), страница 95
Текст из файла (страница 95)
6. Р. 1366 это показано для области (90,13). Более общее рассмотрение, вклю.1аю1цее и область (90.12), дано Нузнецоел1м Н.М. // ~КЭТ!и. 1985. Т. 88. С. 470; там же рассмотрены УдаРные адиабаты с наРУшением УсловиЯ (д')г/дРэ)л ) О, когда Распадные решения складываются из других совокупностей воли. ) По-видимому, область неоднозначности простирается на ударной адиабате несколько за пределы области неустойчивости, определяемой этими условиями. См. об этом указанную выше статью Н. М. Кузнецова. РАОПРООТРАпьние удлРнОЙ ВО1шы пО '1'Рувк и коэффициент прохождения бром 11т м,)е ~, ч-1(, бр1е~ 1+2Ме-РМ,~~ 1+11, М1/ ~ й 91. Распространение ударной волны по трубе Рассмотрим распространение ударной волны по среде, зазюлпяющей длинную трубку с переменным сечением. Наша цель состоит при этом в выяснении влияния, оказываемого изменением площади ударной волны на ее скорость (С.В. Ич111Ьаш, 1958).
Будем считать, что площадь О(х) сечения трубки лишь медлепно меняется вдоль ее длины (ось х)-. мало на расстояниях порядка ширины трубки. Это дает возможность применить приближение (его называют гидравлическим), которое уже было использовано в 2 77: можно считать все величины в потоке постоянными вдоль каждого поперечного сечения трубки., а скорость направленной вдоль ее оси; другими словами, течение рассматривается как квазиодпомерное. Такое течение описывается уравне- ниями (91. 1) д1 дх Рдх — +о — — с ~ — +н — )=О, др др,21 дР дР ' де дх де дх Я вЂ” Р+ — (роЯ) = О. (91.3) Первое из них уравнение Эйлера, второе уравнение адиабатичности, а третье уравнение непрерывности, представленное в виде (77.1).
Для выяснения интересующего нас вопроса достаточно рассмотреть трубку, в которой изменение площади Я(х) не только медленно, но и по абсолютной величине остается относительно малым на протяжении всей длины. Тогда будут малы и связанные с непостоянством сечения возмущения потока, и уравнения (91.1) — (91.3) в1огут быть линеаризованы.
Наконец, должны быть поставлены начальные условия, исключающие появление каких- (91. 2) При слабой интенсивности ударной волны отсюда получается бром 7 -ь 1 рз — р1 -1+ бр<о) 2 1 р1 а в обратном случае большой интенсивности: брно 1 "' + ф(,:1) В обоих случаях амплитуда давления в прошедшей звуковой волне возрастает по сравнению с давлением в падающей волне. 480 удлгныв Волны гл ~х [ — + (о + с) — ] (бр + рсдо) = — ' . (91.4) Общее решение этого у.равнения дается суммой общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью.
Первое есть Г(х — об — сб), где г' - произвольная функция; оно описывает звуковые возмущения, приходящие слева. Но в однородной области, при х ( О, возмущений нет; поэтому надо положить Г = О. Таким образом, решение сводится к интегралу неоднородного уравнения: бр+ рсбо = —— рсс' бд с-ьс Я (91.5) Ударная волна движется слева направо со скоростью о1 ) с1 по неподвижной среде с заданными значениями рм рь Движение же среды позади ударной волны (среда 2) определяется решением (91.5) во всей области трубки слева от точки, достигну.той разрывом к данному моменту времени. После прохождения волны все величины в каждом сечении трубки остаются постоянными во времени, т.
е. равными тем значениям, которые они получили в момент прохождения разрыва; давление рс, плотность рз и скорость о1 — оз (в соответствии с принятыми в этой главе обозначениями, оэ обозначает скорость газа относительно движущейся ударной волны; скорость же его относительно стенок трубки есть тогда о1 — оз). В этих обозначениях (и снова выделив переменные .либо посторонних возмупцеиий, которые могли бы повлиять на движение ударной волны; нас интересуют только возму|цения, связанные с изменением Я(х). Эта цель будет достигнута, если принять, что ударная волна первоначально движется с постоянной скоростью по трубе постоянного сечения, и площадь сечения начинает меняться только вправо от некоторой точки (которую примем за х = 0) . Линсаризованные уравнения (91.1) — (91.3) имеют вид дбо дбо 1 дбр 0 д~ дх р дх дб„ дбг в б дбр дбрМ вЂ” +о — — с' ( — +о — ) =О,.
д~ дх (, д~ дх,) дбр дбр дбх ри дбд +о +р — +— д1 дх дх Я дх где буквы без индекса обозначают постоянные значения величин в однородном потоке в однородной части трубки, а символ б обозна гает изменение этих величин в трубке переменного сечения. Умножив первое и третье из этих уравнений соответственно на рс и с и сложив затем все три уравнения, напишем следующую их комбинацию: РЛСПРООТРЛПЬНИВ УДЛРНОЙ ВО>ШЫ НО '1'РУВК части этих величин) равенство (91.5) запишем в виде — —, 21брг + ргсг(би1 — бог)).
(91.6) о Р2(с1 — е2)с> Все величины бп1, .бег, брг можно выразить через одну из них, наприхиер1 бп1. Для этого запишем варьированные соотношения (85.1), (85.2) на разрыве (при заданных р1 и р1): р1 бп1 = пгбрг + ргбиг, 2>'(бп1 — бег) = брг + пгбрг (гдР у = р101 = ргпг невозм)'щепное зна1ение потока); к ним надо еще присоединить соотношение брг = †бр «Р2 «Р> где производная берется вдоль адиабаты Гюгонио. Вычисление приводит к следуюп1сму окончательному соотношению, связываю>цему изменение бп1 скорости ударной волны относительно неподвижного газа перед ней, с изменением бЯ площади сечения т бки: ру 1 бЯ о1 — о2 -Р с> ~1 -Р 2в2/с2 — й~ о оо1 е1с2 1 -~- 11 где снова введено обозначение 2 « (91.8) У> «Р> "Р> Коэффициент при квадратной скобке в (91лт) положителен.
??оэтому знак отношения бп1/бЯ определяется знаком выражения в этой скобке. Для всех устойчивых ударных волн этот знак положителен, так что бп1/бЯ < О. Но при выполнении какого-либо из условий (90.12), (90.13) гофрировочной неустойчивости выражение в скобках становится отрицательным, так что бп1/бЯ > О. Этот результат дает возможность наглядного истолкования происхождения неустойчивости. На рис. 62 изображена вгофрированпаяа поверхность ударной волны, перемещающаяся направо; стрелками схематически показано направление линий тока. При перемещении ударной волны на выдавшихся вперед участках поверхности площадь бЯ растет, а на отставших участках.
- уменьп>астся. При бп>/бЯ < 0 это приводит к замедлению выступивших участков и ускорению отставших, так что поверхность стремится сгладиться. Напротив, при бп1/бЯ ) 0 возмущение формы поверхности будет усиливаться: выступающие участки будут уходить все дальше, а отставшие все более отставать ') . ') Выражение (91.7) для произвольной (не политропной) среды и его связь с условиями гофрировочной неустойчивости ударных волн указаны Снп Сяеакол2, В.Е. Фортпоеыл2, А.Л. Ни (1981). 16 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том У1 482 удлРныь волны гл ~х 8 92. Косая ударная волна Рассмотрим стационарную ударную волну, отказавшись при этом от подразумевавшегося везде вьппе выбора системы координат, в которой скорость газа направлена перпендикулярно к данному элементу поверхности волны.
Линии тока могут пересекать поверхность такой ударной волны наклонно, причем пересечение сопровождается преломлением линий тока. Касательная составляющая скорости газа не меняется при прохождении через ударную волну, а нормальная составляющая согласно (87.4) падает: ПП П2М П!п > П2п Поэтому ясно, что при прохождении через ударную волну линии тока приближаются к ней (как это показано на рис.
63). Таким образом, преломление линий тока на ударной волне происходит всегда в определенном направлении. Выберем направление скорости у1 газа у) перед ударной волной в качестве оси я, и пусть «а угол между поверхностью разрыва и осью х (рис. 63). Возможные значения а2 угла «2 ограничены лишь условием, чтооы х нормальная составляющая скорости У1 пров — — вышала скорость звука с1.
Поскольку пш = Ч' = пвш~р, то отсюда следует, что «2 может иметь произвольные значения в интервале Ударпаа между х/2 и углом Маха сп валпа с«1 «р ( х/2, айпс«1 = с1 /п1 = 1/Мп Движение позади ударной волны может Рнс. 63 быть как до-, так и сверхзвуковым (меньше скорости звука св должна быть лишь нормальная компонента скорости); движение же перед ударной волной непременно сверхзвуковое. Если движение газа по обе стороны от ударной волны является сверхзвуковым, то все возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности лишь в ту сторону, куда направлена касательная к ней составляющая скорости газа. В этом смысле можно говорить о «направлении» ударной волны и различать по отношению к какому-либо месту «исходящиен из него и «приходящиеа волны (подобно тому как мы это уже делали для характеристик, вокруг которых движение всегда является сверхзвуковым: см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
