VI.-Гидродинамика (1109684), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Исследование уравнения <90.10) на предмет выяснения условий существования таких решений довольно громоздко. Мы не будем производить его здесь, ограничившись указанием окончательного результата ') . Гофрировочная неустойчивость ударной волны возникает, если 2 1!Р2 2' — ( — 1, 1р2 <90.12) или ,2ВУ2 > 1 С1Р2 С2 <90.13) напомним, что производная берется вдоль ударной адиабаты (при заданных р1, 1'1) 2) .
Условия <90.12), <90.13) отвечают наличию у уравнения (90.10) комплексных корней, удовлетворяющих требованиям <90.11). Но в определенных условиях это уравнение может иметь также и ') Все зги равонства берутся при х = О, и под перечисленными воличинами в них могут подразумеваться постоянные амплитуды, без переменных зкспоненциальных множителей. 2) Это исследование можно найти в оригинальной статье: Дьяков С.П.,1У ЖЭТФ. 19В4. Т.
27. С. 288. В следующем параграфе будет приведено еще и менее строгое, но более наглядное обоснование условий (90.12), (90.13). ) Отметим, что при выводе (90.12), (90.13) используется только обязательное условие (88.1), но не используется неравенство рз > р!. Поатому зги усаовия неустойчивости относятся и к ударным волнам разрежения, которые могли бы существовать при (д21'/др2), ( О. где для краткости введено обозначение 1! = 22<!11'2Яр2), а у имеет обычный смысл: 2 = Н121~'"1 = 02/122. Величину й в <90.10) надо понимать как функцию йу и ш, определяемую равенством <90.3). Условие неустойчивости состоит в существовании возмущений, экспоненциально возрастающих со временем, причем они долукны зкспоненциально убывать с удалением от поверхности разрыва <т.
е. при Ва — Р ОО); последнее условие означает, что источником возмущения является сама ударная волна, а не какойто внешний по отношению к ней источник. Другими словами, волна неустойчива,. если уравнение <90.10) имеет решения, у ко- торых 474 удлгныь волны ГЛ 2Х КОРНИ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ О2 И Йт, ОтВЕЧаЮЩИЕ ЕУХОДЯЩИМ» От Раэ- рыва реальныгя незатухающим звуковым и энтропийным волнам, т.е. спонтанному излучению звука поверхностью разрыва. Мы будем говорить о такой ситуации как об особом виде неустойчи- вости ударной волны, хотя неустойчивости в буквальном сгиысле здесь нет, —.
раз созданное на поверхности разрыва возмущение (рябь) неограниченно долго продолжает излучать волны, не за- тухая и не усиливаясь при этом, энергия, уносимая излучаемыми волнами, черпается из всей движущейся среды ') . Для определения условий возникновения этого явления, пре- образуем уравнение (90.10) 2 введя угол О между )с и осью я; тогда сзьт = о29 сов О, сгИц = о29 вшО, о2 = Д29(1+ — ' сов О), о29 — — с2'1кт + к, ) (90.14) Се (о29 частота звУка в системе кооРДинат, ДвижУЩейсЯ вместе с газом за ударной волной), и получаем квадратное относительно сов О уравнение: 2~1-ь(е2/с2)~) ( 2Д222') (90 1+й 1 с, 'l Скорость распространения звуковой волны в движу.щемся со скоростью п2 газе, по отношению к неподвижной поверхности разрыва, есть пй + с2 сов О.
Звуковая волна будет уходящей, если эта сумма положительна, т. е. если — п2/с2 < сов д < 1 (90.16) (з2гачения совО < 0 отвечают случаям, когда вектор 1с направлен в сторону разрыва, но снос звуковой волны движущимся газом делает ее все же «уходящей»). Спонтанное излучение звука ударной волной возникает, если уравнение (90.15) имеет корень, лежащий в этих пределах. Простое исследование приводит к следуюп1им неравенствам, определяющим область этой неустойчивости 2): 1 — с21с2 — е2и2/с» 2о122 1 + 2е2 (90.17) 1 — с2/с2 + е1е2!с2 ор2 с2 (нижний и верхний пределы здесь фактически отвечают нижнему и верхнему пределам в усювиях (90.16)). Область (90.17) примыкает к области неустойчивости (90.13), расширяя ее.
) Сравните с аналогичной ситуацией для тангенциальных разрывов— задача 2 9 84. 2) Эта неустойчивость тоже была указана С.П. Дьяковым (1954); правильное значение нижней границы в (90.17) найдено В.М. Канторовичем (1957). 1"ОФРНРОВОЧНАЯ НКУСГОЙЧИВООГЬ УДАРНЫХ ВО!!Н 475 К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90.17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нес со сверхзвуковой скоростью, то в этот газ звук не проникает.
В газе же позади волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исгшедовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с подлежащими определению аьшлитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систеалу неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны.
Решение этой системы дается выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений, как раз тот, приравпивание которого нулю дает дисперсионное уравнение спонтанных возмущений (90.10). Тот факт, что в области (90.17) это уравнение имеет вещественные корни для сов О, означает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это другая формулировка возможности спонтанного излучения звука, т. е.
излучения без падающей извне звуковой волны. То же самое относится и к коэффициенту прохождения звука, падающего на поверхность разрыва спереди, навстречу ей. В этом случае не существует отраженной волны, а позади поверхности разрыва возникают прошедшие звуковая и эптропийновихревая волны. В области (90.17) возможно обращение коэффициента прохождения в бесконечность ') . Скажем несколько слов о некоторых возможных, в принципе, типах ударных адиабат, содержащих области рассмотренных неустойчивостей '). ') Вычисление коэффициентов отражения и прохождения звука на ударной волне при произвольных направлениях падения в произвольных средах смс Дьчкое С.П.
О ~КЭТФ. 1957. Т. 33. С. 948, 962; Коссгоорооич В.М. 1с,с ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 1527; Акустический журнал. 1959. Т. 5. С. 314. е ) В политропном газе 6 = — !сс/ес), в чем легко убедиться с помощью полученных в 3 89 формул. Ни одно из условий 190.12), !90.13) и 190.17) при этом заведомо но выполняется, так что ударная волна устойчива. Устойчивы, конечно, также и ударные волны слабой интенсивности в произвольной среде. 476 УДЛРНЫЕ ВОЛНЬ$ гл ~х Условие (90.12) требует отрицательной производной дрз/Лз, причем ударная адиабата должна быть наклонена (к оси абсцисс) в точке 2 менее круто, чем проведенная в нее хорда 12 (т.
е. обратно тому, что имеет место в обычных случаях рис. 53). Для этого адиабата должна перегнуться, как показано на риг. 60; условие неустойчивости (90.12) выполняется на участке аЬ. Рис. 60 Рис. 61 Условие (90.13) требует положительности производной с1р2/Ж'з, причем наклон адиабаты должен быть достаточно мал. На рис.
60 это условие выполняется на определенных отрезках адиабаты, непосредственно примыкающих к точкам а и Ь и расширяющих, таким образом, область неустойчивости. Ушювие (90.13) может оказаться выполненным и на участке (сс1 на рис. 61) адиабаты, не содержащей участка типа аЬ. Условие (90.17) еще менее жестко, чем (90.13) и еще дополнительно расширяет область неустойчивости на адиабатах Гюгонио с дрз/сй~~ ) О.
Более того, нижний предел в (90.17) может быть отрицательным, так что неустойчивость этого типа может, в принципе, иметь место и в некоторых участках адиабат обычного вида, со всюду отрицательной производной дрз/Л'~. Вопрос о судьбе гофрирово шо-неустойчивых ударных волн тесно связан со следующим замечательным обстоятельством: при выполнении условий (90.12) или (90.13) решение гидродинамических уравнений оказывается неоднозначным (С.Я. Сагс1пег, 1963). Для двух состояний среды, 1 и 2, свя:занных друг с другом соотношениями (85.1) — (85.3), ударная волна является обычно единственным решением задачи (одномерной) о течении, переводящем среду из состояния 1 в 2. Оказывается, что если в состоянии 2 выполнены условия (90.12) или (90.13), то решение указанной гидродинамической задачи не однозначно: переход из состояния 1 в 2 может быть осуществлен не только в ударной волне, но и через более сложную систему волн.
Это второе решение (его можно назвать распадным) состоит из ударной волны меньшей интенсивности, следующего за ней контактного разрыва и из изэнтропической нестационарной волны разрежения 1'ОФРВРОВОН1!Ая пяустОЙчиВОсть удлРных ВОлн 477 (см. ниже 3 99), распространяющейся (относительно газа позади ударной волны) в противоположном направлении; в ударной волне энтропия увеличивается от В1 до некоторого значения эз < < В2, а дальнейшее увеличение от лз до заданного,э2 происходит скачком в контактном разрыве (эта картина относится к типу, изображенному ниже на рис.
78 б; пред1толагается выполненным неравенство (80.2)) ') . Вопрос о том, чем определяется отбор одного из двух решений в конкретных гидродинамических задачах, пе ясен. Если отбирается распадное решение, то это означало бы, что неустойчивость ударной волны с самопроизвольным усилением поверхностной ряби вообще не осуществляется. По-видимому, однако, такой отбор не может быть связан именно с этой неустойчивостью, поскольку неоднозначность решения не ограничена условиями (90.12)! (У90.13) ') . Задачи 1. На ударную волну падает сзади (со стороны сжатого газа) нормально к ней плоская звуковая волна.
Определить коэффициент отражения звука. Р е ш е н и е. Рассматриваем процесс в систолле координат, в которой ударная волна покоится, а газ движется через нее в положительном направлении оси т; падающая звуковая волна распространяется в отрицательном направлении оси т. При нормальном падении (а потому и отражении) в отраженной энтропийной волне скорость бу04И = О. Возмущение давления: др = бра"1+ др!е1, где индекс (0) относится к падающей, а индекс (зв) - к отраженной звуковым волнам. Для скорости бе„= Вв имеем Бе = — (орам — бр!~1) сл (разность вместо суммы возникает ввиду противоположных направлений распространения обеих волн).
Второе из граничных условий (90.7) имеет прежний вид (но в нем теперь й' = брщ! Ф 51гм"! -Р 51г!'"О); с учетом (90,8) и формулы (85.6) переписываем его как бе = — — (ерим + бр!~1). 22 Приравняв друг другу оба выражения де, получим для искомого отношения амплитуд давления в отраженной и падающей звуковых волнах: др!"'! 1 — 2М1 — й брщ! 1 + 2М1 — й (1) ') В статье Сагйпе! С.Я. // РЬуэ. Р)п!Вйэ. 1963. у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
