VI.-Гидродинамика (1109684), страница 92
Текст из файла (страница 92)
7) т. е. 1 и 88 менЯютсЯ в оДинаковом напРавлении. Дальнейшио рассуждения имеют своей следующей целью показать, что на ударной адиабате не может быть точек, в которых бы она касалась проведенной из точки 1 прямой (как зто имело бы место в точке О на р рис. 56). В такой точке угол наклона хорды (проведенной из точки 1) имеет минимум, а 1 соответственно максимум, и потому 6(1')/ )р, = 6. '1 Из соотношения (87.6) видно, что в таком слу- У чае ~1,8,/)р, = 6. Рис. 56 Далее, вычислим производную 11(1 )7111рт в произвольной точке ударной адиабаты.
Подставив в соотношение (87.5) дифференциал Л'з в виде взяв для дзз выражение (87.6) и разделив все равенство на дрз, получим 4(11) (87. 8) Йрг ) [ 1 (11 — Уе) (дз г) ] Отсюда видно, что обращение атой щ>оизводной в нуль влечет за собой также и равенство '2 (Д~1 ) 1 111 6 т. е. нз = сз. Обратно, из равенства нз = сз следует, что производная сз(1~) 111рз = 0; последняя могла бы не обратиться в нуль, если бы вместе с числителем в (87.8) обратился бы в нуль также и знаменатель; но выражения в числителе и знаменателе представляют собой две различные функции точки 2 на ударной адиабатег их одновременное обращение в нуль могло бы произойти лишь чисто случайно и потому невероятно ') . ' ) Подчеркнем, во избежание недоразумений, что сама производная 11(1 )/с)рг не является епзе одной независимой функцией точки 2> выражение (87.8) есть ее определение.
464 удлгиыв Волны гл |х Таким образом, все три равенства ||Р2 ||г| (87.9) п2 =с2 являются ш|едствиями друг друга и имели бы место одновременно в точке О па кривой рис. о6 (имея в виду последнее из этих равенств, будем условно называть такую точку звуковой), Наконец, для производной от (пз/сз) в этой точке имеем Ввиду предполагаемой везде положительности производной (д $'1'дР )|о имеем, следовательно, в звУковой точке: — — ' < О. др| сг (87.10) Теперь уже легко доказать невозможность существования звуковой точки на ударной адиабатс. В точках, лежащих вблизи начальной точки 1 над ней, имеем ов < св (см.
конец предыду|цего параграфа). Поэтому равенство пя = св может быть достигнуто лишь при увеличении пя/сз, друтими словами, в звуковой точке должно было бы быть д(пз/сз)/|1рз > О, ме кду тем, как согласно (87.10), мы имеем как раз обратное неравенство. Аналогичным образом можно убедиться в невозможности обращения аз1ся в единицу и на нижней части ударной адиабаты, под точкой 1. Имея в виду доказанную таким образоы невозможность существования звуковых точек, можно заключить нецосредственно из графика ударной адиабаты, что угол наклона хорды 18 умепьшается при передвижепии точки й вверх по кривой, а 1 соответственно монотонно возрастает: ввиду неравенства (87.7) отсюда следует, что монотонно возрастает и энтропия аз.
Таким образом, при соблюдении необходимого условия аз > а| будет ирз >р|. Легко, далее, убедиться в том, что па верхней части ударной адиабаты справедливы также и неравенства пв < сз, о| > с|. Первое следует прямо из того. что опо справедливо вблизи точки 1, а сделаться равным единице отношение пз1сг нигде не может. Второе следует из того, что ввиду невозможности такого перегиба адиабаты, какой изображен на рис. 56, всякая хорда из точки 1 в находящуюся над ней точку 8 расположена более круто,чем касательная к ударной адиабате в точке 1.
Таким образом, на верхней части ударной адиабаты выполняются условие ав > в| и все три неравенства (87.1), (87.2). Наоборот, па нижней части адиабаты все эти условия не выполняются. 1 88 ЭВОл1ОцнОннООВ'ь удАРных ВОлн Следовательно, все эти условия оказываются эквивалентными друг другу и выполнение одного из них автоматически влечет за собой также и выполнение всех остальных. Напомним лишний раз., что н изложенных рассуждениях все время предполагалось выполненным условие положительности производной (д~)г/др~),. Коли эта производная могла бы менять знак, то из необходимого термодинамичегкого неравенства аз > 81 уже нельзя было бы сделать никаких универсальных заключений о неравенствах для остальных величин.
8 88. Эволюцнонность ударных волн Вывод неравенств (87.1) — (87А) в 8 86, 87 был связан с определенным предположением о термодинамических свойствах сре- ДЫ С ПОЛОжИтЕЛЬНОСтЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ (дй'У'/дРв)е ВЕСЬМа СУ- щественпо, однако, что неравенства Н1 > СГ НВ ( СЧ (88.1) для скоростей могут быть получены также и из совершенно иных соображений, показывающих, что ударные волны с нарушенными условиями (88.1) все равно не могли бы существовать, даже если бы это не противоречило изложенным выше чисто термодинамическим соображениям ') . Именно необходимо исследовать еще вопрос об устойчивости ударных волн. Наиболее общее необходимое условие устойчивости состоит в требовании, чтобы любое бесконечно малое возмущение начального (в некоторый момент 1 = О) состояния приводило бы лишь к вполне определенным бесконечно малым же изменениям течения, .
по крайней мере в течение достаточно малого промежутка времени 1. Последняя оговорка означает недостаточность указанного условия, так, если начальное малое возмущение возрастает даже экспоненциально (как е1' с положительной постоянной 7), то в течение времени 1 ( 1/~ возмущение остается малым, хотя в конце концов оно и приводит к разрушению данного режима движения. Возмущением, не удовлетворяющим поставленному необходимому условию, является расщепление ударной волны на два (или более) последовательных разрыва; очевидно., что изменение движения при этом сразу же оказывается не малым, хотя при малых 1 (когда оба разрыва не разошлись еще на большое расстояние) оно и занимает лишь небольшой интервал расстояний дл.
) Напомним в то же время, что (но крайней мере для ударных волн слабой интенсивности) вти термодинамические соображения приводят к условиям (88.И также и нри (д Ъудр'), ( О, когда ударная волна является волной разрежения (а но сжатия): вто обстоятельство было отмочено в конце 8 86. 466 удлгныь волны гл ~х Произвольное начальное малое возмущение определяется некоторым числом независимых параметров. Дальнейшая же эволюция возмущения определяется системой линеаризованных граничных условий, которые должны удовлетворяться на поверхности разрыва.
Поставленное выше необходимое условие устойчивости будет выполнено, если число этих уравнений совпадает с числом содержащихся в пих неизвестных параметров — тогда граничные условия определяют дальнейшее развитие возмущения, которое при малых 1 ) О останется малым. Если же чипао уравнений больше или меньше числа независимых параметров, то задача о малом возмущении не имеет решений вовсе или имеет их бесконечное множество.
Оба случая свидетельствовали бы о неправомерности исходного предположения (малость возму|цения при малых 1) и, таким образом, противоречили бы поставленному требованию. Сформулированное таким образом условие называют условием энолюционносши течения. Рассмотрим возмущение ударной волны, представляющее собой ео бесконечно малое смещение в направлении, перпендикулярном ее плоскости ') . Оно сопровождается бесконечно малым возмущением также и других величин давления, скорости и т. д.
газа по обеим сторонам поверхности разрыва. Эти возмущения, возникнув вблизи волны, будут затем распространяться от нее, переносясь (относительно газа) со скоростью звука, это не относится лишь к возмущению энтропии, которое будет переноситься только с самим газом. Таким образом, произвольное возмущение данного типа можно рассматривать как совокупность звуковых возму.щений, распространяющихся в газах 1 и 2 по обе стороны ударной волны, и возмущения энтропии; последнее, перемещаясь вместе с газом, будет, очевидно, существовать лишь в газе 2 позади ударной волны. В каждом из звуковых возму|цений изменения всех величин связаны друг с другом определенными соотношениями, следующими из уравнений движения (как в любой звуковой волне: 8 64); поэтому каждое такое возмущение определяется всего лишь одним параметром.
Подсчитаем теперь число возможных звуковых возму.щепий. Оно зависит от относительной величины скоростей газа им иа и скоростей звука см ся. Выберем направление движения газа (со стороны 1 на сторону 2) в качестве положительного направления оси х. Скорость распространения возмущения в газе 1 относительно неподвижной ударной волны есть и1 = и1 ж см а в газе й из = ио ~ ся. Тот факт, что эти возмУЩениЯ Должны РаспРостРаняться по направлению от ударной волны, означает, что должно быть и~ < О, и2 > О.
') Излагаемое ниже обоснование неравенств С88.1) прииадлежит Л.Д. Ландау П944). 8 88 ЭВОл1ОцнОннООт'ь удАРных ВОлн ПРеДположим, что нг > сг, но ( ст. ТогДа Ясно, что оба значения и1 = Н1 ш с1 будут положительными, а из двух значений из будут положительными лишь нз + сзн Это значит, что в газо 1 вообще не сможет быть интересующих нас звуковых возму- щений, а в газе й - всего одно, распро- страняющееся относительно самого газа Оз Е2 С2 Е1~21 со скоросгью +сй. Аналогичным образом производится подсчет в других случаях.
Результат изображен на рис. 57, где каждая стрелка соответствует одному звуковому возмущению, распространяющемуся относительно газа в указываемую 04 ст елкой сто ону. Каж ое же звтковое О1<С1 Ю2ЬС2 О5 р Р ., д возмущение определяется, как было вы- Рис. 57 ше указано, одним параметром. Кроме того, во всех четырех гтучаях имеется еше по два параметра: параметр, определяющий распространяющееся в газе 2 возмущение энтропии, и параметр, определяющий самое смещение ударной волны. Для каждого из четырех случаев на рис. 57 цифрой в кружке указано получающееся таким образом полное число параметров, определяющих произвольное возмущение, возникающее при смещении ударной волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
