VI.-Гидродинамика (1109684), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Уравнение Бернулли для стационарного движения имеет вид э и + — = сопв1, 2 где сопвй величина., постоянная вдоль каждой из линий тока (если же движение потенциально, то сопв1 одинакова и для разных линий тока, т. е. во всем объеме жидкости). Если на одной линии тока есть точка, в которой скорость газа равна нулю, то можно написать уравнение Бернулли так: ЬН+ — = ГПО, (83.1) 2 где шо —.
значение тепловой функции в точке с о = О. Уравнение сохранения энтропии при стационарном движении сводится к»'»а = ндв/д1 = О, т. е. в = сопвуч где сопв) есть опять величина, постоянная вдоль линии тока. Напишем это уравнение в виде, аналогичном (83.1): (83.2) 445 8 88 стАцнОнленый пОтОк с'кимавмОГО Глзл Из уравнения (83.1) видно, что скорость и болыпе в тех местах,. где тепловая функция ш меньше. Максимальное (вдоль данной линии тока) значение скорость имеет в точке, в которой п1 минимально.
Но при постоянной энтропии имеем 111п = пр/р; поскольку р ) О,. то дифференциалы д1п и 11р имеют одипаковыс знаки и потому изменение н1 и р направлено всегда в одну сторону. Следовательно, можно сказать, что вдоль линии тока скорость всегда падает с увеличением давления, и наоборот. Наименыпсе возможное значение давление и тепловая функция получают (при адиабатическом процессе) при равной нулю абсолютной температуре Т = О. Соответствующее значение давления есть р = О, а значение н1 при Т = 0 примем условно за нулевое значение, от которого отсчитывается энергия; тогда будет и ш = 0 при Т = О. Из (83.1) получаем теперь, что наибольшее возможное значение скорости (при заданном значении термодинамичсских величин в точке с и = О) равно п~~~ = Люо.
(83.3) Эта скорость может достигаться при стационарном вытекании газа в вакуум ') . Выясним теперь характер изменения вдоль линии тока плотности потока жидкости у = рп. Из уравнения Эйлера (ЛГЧ)» = = — 17р/р находим, что вдоль линии тока имеет место соотношение пдн+ Р =0 Р между дифференциалами 11н и 11р. Написав 11р = сйс1р, имеем отсюда ор Ро 4о са (83.4) и затем; 1йро) (. Ре ) (83.5) Отсюда видно, что по мере возрастания скорости вдоль линии тока плотность потока возрастает до тех пор, пока скорость остается дозвуковой. В области жс сверхзвукового движения плотность потока падает с увеличением скорости и обращается в нуль вместе с р при и = п „, (рис. 52).
Это существенное различие между до- и сверхзвуковыми стационарными потоками может быть истолковано наглядно еще и следующим образом. В дозвуковом потоке линии тока сближаются друг с другом в направлении увеличения скорости. При сверхзвуковом же движении линии тока расходятся по мере увеличения скорости. 1 ) В действительности, конечно, при сильном понижении температуры должна произойти конденсация Газа и образование двухфазной системы— тумана.
446 НДЛРНЫН ВОЛНЫ ГЛ 1Х Поток у имеет максимальное значение 1, в точке, в которой скорость газа равна местному значению скорости звука: 171„ у, =р,с„, (83.6) где буквы с индексом, показывают значения соответствующих величин в этой точке. Скорость и„= 0 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 = с~ называют кришической. В общем случае произвольного газа Рис. 52 критические значения величин могут быть выражены через значения величин в точке с и = О в резулопате совместного решения уравнений с в* = оо: т*+ — = то. (83О7) 2 Очевидно, что всякий раз, когда число М = и/с < 1, мы будем также иметь с/с„< 1, а когда М ) 1, то и о/с„> 1.
Поэтому в данном случае отношение М, = и!с. может служить критерием, аналогичным числу Маха, и даже более удобным, поскольку с„есть величина постоянная в противоположность скорости с, меняющейся вдоль потока. В применениях общих уравнений гидродинамики особое место занимает термодинамически идеальный газ.
Говоря о таком газе, мы будем всегда (за исключением только особо оговоренных случаев) считать, что его теплосмкость является постоянной величиной,. не зависящей от температуры (в интересуклцей нас теъшературной области). Такой газ часто называют политроппьсм; мы будем пользоваться этим термином, имея в виду подчеркнуть каждый раз, что речь идет о предположении, идущем гораздо дальше термодинамической идеальности. Для политропного газа известны все соотношения между термодипамическими величинами, выражающиеся к тому же весьма простыми формулалси; это часто дает возможность до конца решать уравнения гидродинамики. Выпишем здесь, для справок, эти соотношения, которыми нам неоднократно придется пользоваться в дальнейшем.
Уравнение состояния термодинамически идеального газа гла- сит О,5О р1Г = — = —, р Кт Р Р где Л = 8,314 10 эрг,1К моль газовая куляртая масса газа. Скорость звука в лена в 2 64 и дается формулой г Кт р с =У вЂ” =7 —, Р Р (83.8) постоянная, а р моле- таком газе была вычис- (83.9) 447 8 88 ЕПАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК СЗКИМАКМОГО ГАЗА Где введено Отно!Пение теплоемкостой ср 'у= ..
се Это отношение всегда болыпе единицы, а для политропного газа оно постоянно. Для одноатомных газов у = 5/3, а для двухатомных у = 7,15 (при обычных температурах) ') . Внутренняя энергия политроппого газа с точностью до несугцественной аддитивной постоянной равна с =сеТ= (83.10) 7 — 1 тЬ вЂ” 1)' Для тепловой функции имеют место аналогичные формулы го=с,Т= 1' с (83.11) т-1 7 — 1 Здесь учтено известное соотношение с„— с = Л/1г. Наконец, энтропия газа риз н = с, 1п — = ср 1п (83.12) Р' Р Вернемся к изучению стационарного движения и применим полученные выше общие соотношения к политроппому газу.
Подставив (83.11) в (83.3), найдем, что максимальная скорость стационарного вытекания равна 2 ошах — СО ~l, (83.13) скорости из второго уравнения (83.7) Для критической же получим в у — 1 сп сп +, =юо= 2 у — 1 откуда ') 2 с, = со т + 1 (83.14) Уравнение Бернулли (83.1) после подстановки выражения (83.11) для тепловой функции даст соотношение между температурой и скоростью в произвольной точке линии тока; аналогичные соотношения для давления и плотности можно затем ) Название газа «политропный» происходит ог термина «политропный процесс» — процесс, в котором давление меняется обратно пропорционалыю некоторой степени объема. Для газа с постоянными теплоемкостями таковым является не только изотермический, но и адиабатический процесс, для которого ррз = савве (адиабата Пуассона).
Отношение теплоемкостей у называют покпзпгпелем пдипбптм. и ) На рис. 82 дан график отношения 1Д. в функции от е/с. для воздуха 17 = 1 4 е = 2 4бг.). 448 УДЛРНЫВ ВОЛНЫ 1'Л 1Х написать с помощью уравнения адиабаты Пуассона: 1 Р Ро( ) Р Ро( ) 183.15) Таким образом, получим следующие важные формулы; (1,) То(1 1 з' 183.16) Р = ро(1 1 — 1 — '[1 — ( — ) = ~ — ')1 — (8) ~. (88471 Выпишем также соотношение, связыва1ощее скорость звука со скоростью ш с2 = с2 — 1 ив = 1+ с2 — 1 е2 183 18) 2 2 * 2 Отсюда найдем, что числа М и М, связаны друг с другом соот- ношением М~ 183.19) 2,8МЛ + у — 1 Когда М растет от 0 до ОО, М2 растет от 0 до 1'у+ 1)811'у — 1). Наконе11, приведем выражения для критических значений температуры, дав11ения и плотности; они получаются при о = с„ из формул 183.16) '): Т„= '., Р„=ро( )л, р,=ро( )~ . 183.20) Подчеркнем в заключение, что полученные здесь результаты относятся к движению, при котором не возникают ударные волны.
При наличии ударных волн не имеет места уравнение 183.2)1 ') твк, для воздуха 11 = 1,4) с. = 0,913 со, р. = О,В28 ро, р. = 0,034 ро, Т. = 0,833 ТЛ. Иногда удобно пользоваться этими соотношениями в виде, опре- деляющем скорость через другие величины: 8 84 повигхнос'!'н Рлзгывл при прохождении линии тока через ударную волну энтропия газа возрастает.
Мы увидим, однако, что уравнение Бернулли (83.1) остается справедливым и при наличии ударной волны, так как и + п2/2 является как раз одной из величин, сохраняющихся при прохождении через поверхность разрыва Я 85); вместе с ним остается, например, справедливой и формула (83.14). Задача Выразить температуру, давление и плотность вдоль липни тока через число М = о!!с. Р е ш е н и е. С помощью полученных в тексте формул получим 1 То =1+э 1м'. "— "= ~1+э 1ц'1ч ' ро = (1+ у 114']' Т 2 ' р [ 2 1 ' р [ 2 й 84. Поверхности разрыва В предыдущих главах мы рассматривали только такие течения, при которых распределение всех величин (скорости, давления, плотности и т, д.) в газе непрерывно.
Возможны, однако, и движения, при которых возникают разрывы непрерывности в распределении этих величин. Разрыв непрерывности в движении газа имеет место вдоль некоторых поверхностей, :при прохождении через такую поверхность указанные величины испытывают скачок. Эти поверхности называют понеряпостлями разрыва При нестационарном движении газа поверхности разрыва не остаются, .вообще говоря, неподвижными; необходимо ври этом подчеркнуть, что скорость движения поверхности разрыва не имеет ничего общего со скоростью движения самого газа. Частицы газа при своем движении могут проходить через эту поверхность, пересекая ее.
На поверхностях разрыва должны выполняться определенные граничные условия. Для формулирования этих условий рассмотрим какой-нибудь элемент поверхности разрыва и воспользуемся связанной с этим элементом системой координат с осью ш, направленной по нормали к нему ') . Во-первых, на 1юверхности разрыва должен быть непрерывен поток вещества: количество газа, входящего с одной стороны, должно быть равно колич!'ству газа, выходящему с другой стороны поверхности. Поток газа через рассматриваемый элемент поверхности (отнесенный на единицу площади) равен 1и1, . По- ') Если движение нестационарно, то мы рассматриваем элемент поверхности в течение малого интервала времени. 1а Л.
Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том 1!1 450 УДЛРНЫН ВОЛНЫ 1'Л 1Х этому должно выполняться условие рсосх = рго2, где индексы 1 и 2 относятся к двум сторонам поверхности разрыва. Разность значений какой-либо величины с обеих сторон поверхности разрыва мы будем ниже обозначать с помощью квадратных скобок; так, [Рох] Р1о1х Р2 о2х ~ и полученное условие напишется в виде [ро ]=О.
(84.1) [ро~( — + о1)~ = О. (84.2) Наконец, должен быть непрерывен поток импульса, т. е. должны быть равны силы, с которыми действуют друг на друга газы по обеим сторонам поверхности разрыва. Поток импульса через единицу площади равен (см. 3 7) рон + ро;о111ы Вектор нормали п направлен по оси л. Поэтому непрерывность анкомпоненты потока импульса приводит к условию (р+Р4] =01 (84.3) а непрерывность р- и г-компонент дает [ро~оо) = О, [ро~ох) = О. (84.4) Уравнения (84.1) — (84.4) представляют собой полную систему граничных условий на поверхности разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
