VI.-Гидродинамика (1109684), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Теплоемкость шарика предполагается настолько большой,что его температуру. можно считать неизменной. Р е ш е н и е. В этом случае должна быть учтено влияние вязкости газа на движение шарика, и вектор А должен быть видоизменен указанным в задаче 2 3 74 образом; при ЛзД/и « 1 имеем ЗЛи А= — 1 'т. 2~/ Кроме того, к рассеянию того же порядка величины приводит теплопроводность газа. Пусть Тес ™ — колебания температуры в заданной точке звуковой волны. Распределение температуры вблизи шарика будет (ср.
задачу 2 3 б2): Т' = Т„'е ™ (1 — — ехр ~ — (1 — 1) (г' — Л) ~ — 1 1 г ! ~ 2Х]3 (прн г = Л должно быть Т' = О). Количество тепла, передаваемое в единицу времени от газа к шарику, есть (при ЛЗ/ш71С « 1): в ЙТ о = 4хЛ м — = 4хЛмТее ™ . Йг Передача этого тепла приводит к изменению объема газа, которое можно воспринимать в смысле его влияния на рассеяние как соответствующее эффективное изменение объема шарика, равное 4хЛ 1' = — 4тЛй/)Тес * = — т(7 — 1)е, где Л вЂ” коэффициент теплового расширения газа, а 7 = сг/с„; мы воспользовались также формулами (б4.13) и (79.2). Учитывая оба эффекта, получим дифференциальное сечение рассеяния вЛз 3 Ип = ~Ц7 — 1) — — исоэй] до.
св 2 Полное эффективное сечение: 4лшвЛ' ( е з 3 г) а = ~Х (Ь вЂ” 1) + -и ]. с" 4 Этн формулы применимы лишь постольку, поскольку стоксова сила трения мала по сравнению с инерционными силами, т. е. цЛ « ЛХм, где ЛХ = = 4тЛ~ре/3 — масса шарика; в противном случае становится существенным увлечение шарика вязкими силами. 4. Определить среднюю силу, действующую па твердый шарик, рассеивающий плоскую звуковую волну (Л )) Л). Р е ш е н и е. Передаваемый в единицу времени от падающей волны шарику импульс, т.
е. искомая сила, равен разности импульса, приносимого 421 поглощьшив звука рассеиваемой волной, и полного потока импульса э рассеянной волне. Из падающей волны рассеивается поток энергии, равный асЕе, где Еэ — плотность энергии в падающей волне; соотастстау|ощий поток импульса получается делением на с, т. е. равен оЕе. В рассеянной волне поток импулы:а в телесном угле по равен Еаг по = Ее по; проецируя его на направление распростршн.ния падающей волны (о невидно, что искомая сила имеет это направление) и интегрируя по всем углам, получим Ее 1 созга.
Таким образом, действующая на шарик сила ранна Е = Ео / (1 — соэ В) до. Подставляя сюда дт из задачи 1, получим лде Е = Ео 9с4 9 79. Поглощение звука Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т. е. его интенсивность постепенно уменьшается. Для вычисления дисг:ипируемой в единицу времени энергии Ем„воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энергия представляет собой не что иное, как максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия.
Как известно из термодинамики, максимальная работа совершается, если переход происходит обратимым образом (т. е. без изменения энтропии), и равна соответственно этому Емех — Е0 Е(Е) ~ где Ео есть заданное начальное значение энергии тела в исходном состоянии, а Е(Я) -- энергия тела в состоянии равновесия с той же энтропией 5, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем Е„„, = — Е(Я) = — — Я. Производная от энергии по энтропии есть температура.
ПодЕ этому — -. температура, которую имело бы тело, если бы оно пад5 ходилось в состоянии термодинамического равновесия (с заданным значением энтропии). Обозначая эту температуру как То, имеем, следовательно: Емех = То о. Воспользуемся для Я выражением (49.б), включающим в себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводпостью, 423 1 79 поглощения звукл Полная же энергия звуковой волны равна 2 (79.4) 2 Введенный в 9 25 коэффициент затухания волны определяет закон уменьшения интенсивности со временем.
Для звука, однако! обычно приходится иметь дело с несколько иной постановкой задачи, в которой звуковая волна распространяется вдоль жглдкости и ее интенсивносттызадает с увезнлчением пройденного расстояния ач Очевидно, что это уменьшение будет происходить ПО ЗаКОПу Е тк, а дпя аМПЛИтудЫ вЂ”. КаК Е 7"', Гдс КОЭффнцнсит поглощения 7 определяется следующим соотношением Ф-.~ (79.5) 2сЕ Подставляя сюда (79.3) и (79.4), находим, таким образом, следующее выражение для коэффициента поглощения звука: у = — ~(-7) + !,) + эс( — — — )1:— ао!~. (79.6) Отметим, что он пропорционшген квадрату частоты звука ') .
Эта формула применима постольку, поскольку определяемый ею коэффициент поглощения мал: должно быть ма!го относительное убывание амплитуды на расстояниях порядка длины волны (т. с. должно быть ус7!го«1). На этом предположении по существу основан изложенный вывод, так как мы вычисляли диссипацию энергии с помощью незатухающего выражения для звуковой волны. Для газов это условие фактически всегда выполнено. Рассмотрим, например, первый член в (79.6). Ътцговие ус!!со « 1 означает, что должно быть иго7!с2 « 1. Но, как известно из кинетической теории газов, коэффициент вязкости и газа — порядка величины произведения длины свободного пробега 1 на среднюю тепловую скорость молекул; последняя совпадает по порядку величины со скоростью звука в газе, так что и 1с.
Поэтому иьгеем — — — « 1 (79.7) с' с Л так как заведомо 1« Л. Член с теплопроводностью в (79.6) дает то же самое, поскольку т и. ') Специфический механизм поглощения доджен иметь место при распространении звука в двухфазной среде - эмульсии (М.А. Исакович, 1948). Ввиду различия в термодинамических свойствах компонент эмульсии изменения их температуры при прохождении звуковой волны будут, вообще говоря, различны. Возникающий при этом между ними теплообмен приведет к дополнительному поглощению звука.
Вследствие сравнительной медленности этого геплообмена уже сравнительно рано возникает в существенная дисперсия звука. 424 гл тш звяк Что же касается жидкостей, то и здесь условие малости поглощения выполняется всегда, когда вообще имеет смысл задача о поглощении звука в той постановке, о которой здесь шла речь. Поглощение (на длине волны) может стать болыпим, лишь если силы вязких напряжений сравнимы с силами давления, возникающими при сжатии вещества. Но в таких условиях становится неприменимым уже самое уравнение Навье — Стокса (с не зависящими от частоты коэффициентами вязкости) и возникает существенная, связанная с процессами внутреннего трения дисперсия звука ') . При поглощении звука соотношение между волновым вектором и частотой можно, очевидно, написать в виде к = — +гам (79.8) с (где а коэффициент в (79.6)).
Легко сообразить соответственно этому; каким образом надо видоизменить уравнение бегущей зву.- ковой волны для того, чтобы учесть в нем эффект поглощения. Для этого замечаем, что в отсутствие поглощения дифференциальное уравнение для, скажем, давления р' = р~(ю — сг) можно написать в виде др' 1др' дв с д1 Уравнение же, решением которого была бы функция ег~ьт ыб с й из (70.8), надо, очевидно, написать в виде — = — — — + а —. (79.9) дт с д~ д~' Коли ввести вместо 1 переменную т = ~ — х/с, то это уравнение перейдет в др др дт дт'' т.
е. уравнение типа одномерного уравнения теплопроводности. Общее решение этого уравнения можно написать в виде (см. ~ 51) р'(,, ) = Ур'( ') р~ — 1 ' (79.10) (где рд(т) = р'(О, т)). Если волна излучалась в течение ограниченного промежутка времени, то на достаточно больших ') Особый случай, когда возможно сильное поглогдение звука, которое может быть рассмотрено обычными методами, — газ с аномально большой (по сравнению с его вязкостью) теплопроводностью, связанной с посторонними причинами, например, с лучистой теплопроводностью при очень высоких температурах (ср. задачу 3 этого параграфа). 425 1 79 поглощения Звука или / т т в х р 17, т) = сопв$ — ехр ~ — — ) .
геге ', 4аг (79.12) Сильное поглощение должно происходить при отражении звуковой волны от твердой стенки. Причина этого явления состоит в следующем (К.Р. Негв7еИ, 1938; Б.П. Консптнтиноо, 1939). В звуковой волно наряду с плотностькэ и давлением испытывает периодические колебания около своего среднего значения также и температура. Поэтому вблизи твердой стенки имеется периодически меняющаяся по величине разность температур между. жидкостью и стенкой, даже если средняя температура жидкости равна температуре стенки. Между тем на самой поверхности температуры соприкасающихся жидкости и стенки должны быть одинаковыми. В результате в тонком пристеночном слое жидкости возникает большой градиент температуры; температура быстро меняется от своего значения в звуковой волне до температуры стенки.
Наличие же больших градиентов температуры приводит к большой диссипации энергии путем теплопроводпости. По аналогичной причине к большому поглощению звука приводит при наклонном падении волны также и вязкость жидкости. При таком падении скорость жидкости в волне (по направлению распространения волны) имеет отличную от нуля компоненту, касательную к поверхности степки. Между тем на самой поверхности жидкость должна полностью вприлипатьв к стенке. Поэтому в пристеночном шюе жидкости возникает большой градиент касательной составляющей скорости '), что и приводит к большой вязкой диссипации энергии (свь задачу 1).
) Что касается нормальной составляющей скорости, то на стенке она равна пулю уже в силу граничных условий для идеальной жидкости. расстояниях от источника это выражение переходит в р'(и, т) = ехр ( — — ) / рот') г)т'. (79.11) Другими словами, на больших расстояниях профиль волны опредсляется гауссовой кривой. Его ширина (а в) "79, т. е. растет пропорционально корню из пройденного волной расстояния, амплитуда же волны падает как га ~~~. Отсюда легко заключить, что полная энергия волны падает по тому же закону х ,Легко вывести аналогичные формулы для шаровых волн. При этом надо учитывать, что для такой волны / р' сЫ = 0 (см. (70.8)).
Вместо (79.11) получим теперь р 1г, т) = сопв1 т дт тм' 426 звук гл гш Задачи 1. Определить долю энергии, поглощаемой при отражении звуковой волны от твердой стенки. Плотность вещества стенки предполагается настолько болыпой, что звук практически не проникает в него, а теплоемкость — настолько большой, что температуру стенки можно считать постоянной. Р е ш е н и е. Выбираем плоскость стенки в качестве плоскости х = О, а плоскость падения в качестве плоскости хр. Угол падения (равный углу отражения) есть и. Изменение плотности в падающей волне в некоторой точке на поверхности (скажем, в точке х = р = О) есть р', = Ае ' '. Отраженная волна имеет ту же амплитуду, так что у стенки в пей р~з — — р~н Реалыюе нзмепоние плотности жидкости, в которой распространяются одноврелгенно обе волны (падалощая и отраженная), есть р' = 2Ае ' '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
