VI.-Гидродинамика (1109684), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Для 1 получаем уравнение (пггг)(Ь7-Ь 17~7) = О, откуда Ьу + 77~1' = соней С точностью до несущественной аддитнвной постоянной имеем отсюда 1 = = Аеы'!г. Постоянная й опроделяется из условия Огр)дг = и„при г = Л, и в результате получаем М„лг Л ) ганг' — 1 гг = пте' г / 2 — 27КЛ вЂ” кгЛг = '' (~' Излучение имеет дипольный характер. На достаточно болыпих расстояниях от шара можно пренебречь единицей по сравнению с гкг, и сг приобретает вид (74.11) с воктором А, равным А=- с'"' "'Л' 2 — 2гйЛ вЂ” 177ЛЗ Замечая, что (ЛеА)г = ~АР,~2, получаем для полного излучения согласно (74.13): Лб 4 Зсг 4 -Ь ьггЛ17774 400 гл иш звяк При ыЛ/с «1 это выражение переходит в 7 Р™) )э Л без (это может быть получена и непосредственно подстановкой в (74.13) выра- жения А = пЛэ/2 из задачи 1 3 1Ц.
При шЛ/с » 1 имеем 2хрс э э 3 что соответствует формуле (74.4). Действующая на шар сила сопротивления жидкости получается инте- грированием проекции сил давления (р = — рф ~,=н) на направление и по поверхности шара и равна 4х э — ЬэЛа 4- г(2 4- к~Лэ) 3 Е= — рыЛ и ,1 4 ьэЛ4 (о смысле комплексной силы сопротивления см. конец 3 24), 2.
'1о же, если радиус Л шара сравним по величине с эги7ю (но в то же время Л » Л) Р е ш е н и е. Если размеры тела невелики по сравнению с Эlи7м, то для определения излучаамой волны надо исходить пе из уравнения Ау = О, а нз уравнения движения несжимаемой вязкой «кидкости. Соответствую- щее решение этого уравнения для шара определяется формулами П), (2) в задаче 5 3 24. При переходе к большим расстояниям первый член в (Ц, экс- поненциально затухающий с г, можно опустить. Второй же член приводит к скорости 1 и = — Ь(п17)57 —.
Сравнение с (74.6) показывает, что ЛэГ 3 3 А = — Ьп = — ~1 — — и, 2 ~ П вЂ” Цм 2гмэ) где и = Л0а/2и) '-', т. е. отличается от соответствующего выражения для гзе идеальной жидкости множителем, стоящим в скобках. В результате получаем 7 — ы ~1+ — + 4- 4- )~па~ . бсэ 1, н 2нз 2эгэ При и» 1 это выражение переходит в приведенную в задаче 1 формулу, а при и «1 получаем 3.рЛ' ', 2сз т. е.излучение пропорционально не четвертой, а второй степени частоты. 3. Определить интенсивность излучения звука сферой, совершающей малые (гармонические) пульсационные колебания с произвольной частоз ой.
Р е ш е н и е. Ищем звуковую волну в виде аи *~(.-я> у= — е (Л -- равновесный радиус шара) и определяем постоянную а из условия Ф = и = иае дг „л 401 ИЗЛУ 1КНИК ЗВУКА где и — радиальная скорость точек поверхности сферы; Л2 а= 1йл — 1 Интенсивность излучения 42Л4 1 = 2хрс(ио~ Ь2Л2 ' При йЛ«1 11Р 2Л4~ ~2 с в соответствии с (74.10), а при ЙЛ » 1 1 = 2трсЛ ~ио~ в соответствии с (74.4). 4. Определить волну, излучаемую шаром (радиуса Л), <оверша1ощим малые пульсационные колебания; радиальная скорость точек его поверхности есть произвольная функция времени и11).
Р е ш е н и е. Решение ищем в виде р = 711 )/г, где 1 = 1 — (г — Л)1с, и определяем 1 нз граничного условия (а4р)аг) =н = и(1), которое приводит к уравнению — = — Лси11) . 4~ с~ф Ж Л Решая это линейное уравнение и заменяя в решении аргумент 1 на 1, полу- чаем рог, 1) = — — е ' 11 и(т)е'" ат. сЛ -«Ол 1 ся г Если колебания шара прекращаются, например, в момент времени 1 = 0 (т. е. и(т) = 0 при т > 0), то на расстоянии г от центра, начиная с момента времени 1 = (г — Л)/с, потенциал как функция времени будет иметь вид р = сопвс е "'1~,т. е. движение будет затухать экспоненциально.
Пусть Т вЂ .время, в течение которого происходит существенное измене- ние скорости иф. Если Т » Л21с (т, е. длина излучаемых волн Л сТ » Л), то в (1) можно вынести лгедленпо меняющийся множитель иЯ из-под знака интеграла, заменив его на и(Р). На расстояниях г » Л получим тогда р = — — и(1 — -), что совпадает с формулой (7428). Если же Т « Л/с, то аналогично получаем КЛ 1 ад Л р = — — / и(т) 4)т, о = — = — и(11), а. что соответствует формуле (74.4).
5. Определить движение, возникающее в идеальной сжимаемой жидко- сти при произвольном поступательном движении в ней шара радиуса Л (ско- рость движения мала по сравнению со скоростью звука). Р е ш е н н е. Ищем решение в виде 1р = 411у % 402 звчк гл чш (г — расстояние от начала координат, выбранного в точке нахождения центра шара в момент времени Р = 1 — (г — Л)/с); поскольку скорость шара и мала по сравнонию со скоростью звука, то эффектом перемещения начала координат можно пренебречь). Скорость жидкости 3(уп)п — Г 3(Г'п)п — Г' п(пу") ч = 8гаг1 р— гз ггз сз~ (п — единичный вектор вдоль направления г; штрих означает дифференцирование Г по его аргументу). Граничное условие с„= пп при г = Л, откуда 2* ~ 2с з Л Л' Решая это уравнение методом варнапии постоянных, получаем для функции Г(1) общее выражение: Г(з) = сЛ е ' з п(т)сйн е"' 4т.
.(1 — ) (3) Л При подстановке в (1) здесь надо писать Р вместо й В качестве нижнего предела выбрано — со так, чтобы было Г = О при З = — со. 6. ГПар радиуса Л в момент времени 1 = О начинает двигаться с постоянной скоростью пе. Определить возникающее в момент начала движения звуковое ишзучение. Р с ш е н и е. Полагая в формуле (3) задачи 5 п(т) = О при г ( 0 и п(т) = по при т > О и подставляя в формулу (2) (сохранив в последней только последний, наименее быстро убывающий с расстоянием член), найдем скорость движения жидкости вдали от шара: Лчг2 м 7л /ср яЛ ч = — п(ппо) — е зш г (,Л (где Г' > О).
Полная интенсивность излучения будет убывать со временем по закону 8я з з -з,ргл . з 1'ср 1 = — срЛ исе ' вш 3 1Л 4) Всего за все время будет излучена энергия я з РЛ во. 3 7. Определить интенсивность излучения звука бесконечным цилиндром (радиуса Л), совершающим пульсационные гармонические колебания: длина волны Л )) Л. Р е ш е н и е. Согласно формуле (74.14) находим сначала, что на расстояниях г «Л (в задачах 7, 8 г расстояние от оси цилиндра) потенциал эз = Ли!и йг, где и = нее ' ~ — скорость точек поверхности цилиндра.
Из сравнения с формулами (71.7) и (71.8) находим теперь, что иа больших расстояниях потенциал будет иметь вид з7Г в„ р = — Ли)( — е' ", йкг Отсюда скорость / Г ч = Ли)( — пе' " У 2зг 4ОЗ излу гкггнв звукл Гп — единичный вектор, перпендикулярный к осн цилиндра) и интенсивность излучения 1гга единицу длины цилиндра) е 7= — ргэВ ~ие~ .
2 8. Определить излучение звука цилиндром, совершающим гармонические поступательные колеоання в направлении, перпендикулярном к своей осн. Р е ш е н и е. На расстояниях г « Л имеем сг = — г11г ГВ п1пй ) (ср. формулу Г74.18) и задачу 3 З 10). Отсюда приходим к выводу, что на болыпих расстояниях /гя е' 'п э хй ь эг = Я ~/ — г1п ' = — В (пп)~ — 'е* ", 2й г/г Ч 2гг откуда скорость з ггй .ь г = — йй )/ — пГпп)е' ". 1/ 2г Интенсивность излучения будет пропорциональна квадрату косинуса угла между направлениями колебаний и излучения. Полная интенсивность в Т = — рог'В'~по ~'. 4сэ 9.
Определить интенсивность излучения звука от плоской поверхности с периодически колеблющейся температурой, частота колебаний ьг « с~/Л, где — температуропроводпость жидкости. р е ш е н и е. Пусть переменная часть температуры поверхности есть Тес ' '. Этн колебания теьяпературы создают в жидкости затухающую теп- ловую волну (52.15): Т' = Т,',е *мг ехр [ — гг1 — г) ~СЯ2Ц х~, в результате чего колебания булез испытывать и плотность жидкости: р'= ( — ") Т' = — рот', где Д - температурный коэффициент расширения.
Это в свою очередь при- водит к возникновению движения, определяющегося уравнением непрерыв- ности: дс др р — = — — = — кндр,'3Т'. а аг На твердой поверхности скорость г = с = О, а прн удалении от нее стре- мится к пределу с = — гьг,1 / Т' г/х = 3.,/агу Твг. ™. т/2 о Это значение достигается на расстояниях л/Л/ьг, малых по сравнению с с/ы, и служит граничным условием для возникающей звуковой волны. Отсюда находим интенсивность излучения звука с 1 см поверхности: 2 Т = — ср1 ьэЛРо~ . 2 404 гл гш звхк 10. Точечный источник, излучающий сферическую волну, находится на расстоянии 1 от твердой (полностью отражающей звук) стенки, ограничивающей заполненное жидкостью полупространство.
Определить отношение полной интенсивности излучаемого источником звука к интенсивности излучения, которое имело бы место в неограниченной среде, а также зависимость интенсивности от направления на больших расстояниях от источника. г Р е ш е н и е. Совокупность излучаемой и о)."2— отраженной от стенки волн описывается решением волнового уравнения, удовлетворяющим условию равенства нулю нормальной скорости и„ = др/дп на стенке. Таким решением является р=( 4- )е Рис.
49 (постоянный множитель для краткости опускаем), где г -- расстояние от источника звука О (рис. 49), а г' — расстояние от точки О'., расположенной относительно поверхности стенки симметрично с О. На больших расстояниях от источника имеем: г' г — 21 сов В, так что 0 — 0 |р= 114-е ' "' ) Зависимость интенсивности излучения от направления определяется здесь множителем сов (й)сов В). Для определения полной интенсивности излучения интегрируем поток энергии с1 = рок = — рФ~р 1см. 165.4)) по поверхности сферы сколь угодно малого радиуса с центром в точке О. Это дает 2ярйш (1 + ) . В неограниченной же среде мы имели бы чисто сферическую волну р = = е" " "' ~/г с полным потоком энергии 2хрйаь Таким образом, искомое 0« —: 0 отношение интенсивностей равно в1п2И 1+ 2й1 11. То же в жидкости, ограниченной свободной поверхностью.
Р е ш е н и е. На свободной поверхности должно выполняться условие р = — рр = О; в монохроматической волне это эквивалентно требованию р = О. Соответствующее решение волнового уравнения есть На больших расстояниях от источника интенсивность излучения определяется множителем э1пэ1й1соэВ). Искомое соотношение интенсивностей равно в1п 2И 1— 2И 405 ВОЗВУЖДЬННВ ВВУКЛ ТУРВУЛВНТНООТЬЮ й 75.
Возбуждение звука турбулентностью — + (ч >()ч + — 17р = О. дч 1 2 д1 Ро Применив к этому уравнению операцию ь(1ч и используя уравне- ние (64.5) — + рос дхяч = О, дР 2 д1 получим 1 д'Р' 2 д / д2ЬУ вЂ” — 2~р = Ро — (2>в ). В2 д12 двь д2;~,. Правую часть этого уравнения можно преобразовать с помощью уравнения непрерывности сыч ч = О (турбулентность рассматри- вается как несжимаемая!): можно вынести знак дифференциро- вания по,гь из-под скобок. Окончательно имеем 1 д>Р' / д>т,ь — — дахр =р ', Т2Ь=нев В2 д12 д>л дв, ' (75.1) (индекс у ро снова опускаем). Вне турбулентной области выражение в правой части этого уравнения представляет собой малую величину второго порядка и может быть опущено, так что мы возвращаемся к волновому уравпепи>о распространения звука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
