VI.-Гидродинамика (1109684), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Правая же часть, отличная от нуля в объеме Ъ~., играет роль источника звука. В этом об ьеме ч скорость турбулентного движения. Турбулентные пульсации скорости тоже явльпотся источником возбуждения звука в окружающем объеме жидкости. В этом параграфе будет изложена общая теория этого явления (М.,1. 526ИЬ2П, 1952). Будет рассматриваться ситуация, когда турбулентность занимает конечную область уш окруженную неограниченным объемом неподвижной жидкости. При этом самая турбулентность рассматривается в рамках теории несжимаемой жидкости вызываемым пульсациями изменением плотности пренебрегаем; это значит, что скорость ту.рбулентного движения предполагается малой по сравнению со скоростью звука (как это предполагалось и во всей гл.
Н1). Начнем с вывода общего уравнения, учитывающего, наряду с движением в звуковых волнах, также и движение жидкости в турбулентной области. Отличие от произведенного в ~ 64 вывода состоит лишь в том, что должен быть сохранен нелинейный член (чч)ч хотя скорость н мала по сравнению с с, .но она велика по сравнению со скоростью жидкости в звуковой волне. Поэтому вместо (64.3) имеем 406 гл сш звяк Уравнение (75.1) типа уравнения запаздывающих потенциалов. Решение этого уравнения, описывающее исходящее от источника излучение, есть р / ЙТм(гпе)~ (75.2) (сы. П, 3 62). Здесь г радиус-вектор точки наблюдения, г1 бегущей точки в области интегрирования, Л = ~г — г1~; подынтегральное выражение берется в «запаздывающийа момент времени ! — Л/с.
Интегрирование в (75.2) фактически производится лишь по объему уш в котором подынтегральное выражение отлично от нуля. Основная часть энергии турбулентного движения заключена в частотах и/1, отвечающих основному масштабу турбулентности 1; и характерная скорость движения (см. 3 33). Таковы же будут, очевидно, и основные частоты в спектре излучаемых звуковых волн, Соответствующие же длины волн Л с!/и» !. Для определения интенсивности излучения достаточно рассмотреть звуковое поле на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны Л (в «волновой зонеа)., эти расстояния велики и по сравнению с линейными размерами источника турбулентной области ') .
Множитель 1/Л в подынтегральном выражении в этой зоне можно заменить множителем 1)г и вынести сто изпод знака интеграла (г расстояние точки наблюдения до начала координат, выбранного где-либо внутри источника): тем самым мы пренебрегаем членами, убывающими быстрее, чем 1(г, которые все равно не дают вклада в интенсивность уходящих на бесконечность волн. Таким образом, е'и е= — '1 "'' ' «и (7аз) Производные в подынтегральном выражении берутся до взятия значения при ! — Л/с, т. е. только по первому аргументу функций Т,ь(гы !). Эти производные можно заменить производными от функций Т,~(г, ! — Л/с), взятыми по обоим аргументам, вычитая из них каждый раз производные по второму аргументу.
Первые представляют собой полные дивергенции и интегралы от них, будучи преобразованы в интегралы по удаленным замкнутым поверхностям, обращаются в нуль, поскольку вне турбулентной области Тгв = О. Производные же по «текущим» координатам гы входящим в состав аргумента ! — Л/с, можно заменить производными по координатам точки наблюдения г, поскольку и 1 ) Говоря о порядках величин, мы не проводим различия между основным масяитабоа ! и размерами турбулентной области, хотя последние и могут заметно превышать первый.
407 *з 75 ВОЗВуждьнив звука тугвулвнтностью ') При атом мы отказываемся от рассмотрония спектрального состава излучения и ограничиваемся основными частотами, определяющими полную интенсивность. Отметим также, что указанную замену нельзя было бы произвести на более ранней стадии преобразований, в (75.3), поскольку интеграл обратился бы в нуль. 7) Интегрирование по направлениям и осуществляется следующими выражениями для средних значений произведений двух или четырех компонент вектора и: 1 йпь = -7),ь, 3 1 п,пьп)п, = — )7Р7,75), -)- 7),)бг -)- Амдь)) 15 и гг входят только в виде разности В = )г — гг~.
Таким образом, приходим к выражению р'(г, 1) = — ' ага (Г17 1 — — '~) 7Л~П (75.4) 4777' дх дхг,/ с / Время 1 — Л))с отличается от времени 1 — г,)с на интервал 1,)с. Но такой интервал времени мал по сравнению с периодами 7/и основных турбулентных пульсаций. Это позволяет заменить аргумент 1 — Л7)с в подынтегралыюм выра>кении на 1 — г77с = = т ') . Производя после этого дифференцирование под знаком интеграла, и заметив, что дг /дщ; = и; (и -- единичный вектор в направлении г), получим 17 (Г7 7) = г777)гв / Т7)7(гг 7 т) 7Л м (75.5) 4ясзг где точка озна )аст дифференцирование по т.
Тензор Тим как и всякий симметричный тензор с неравным пулю следом, может быть представлен в виде Т7ь = (Ть — — Тнб;ь) + — Т))б;ь = Огь + Яб;ы (75.6) 1.- ) 1- где с,)77ь енеприводимый» теизор с равным нулю щ)едом7 а св)-- скаляр. Тогда сферическая волна (75.5) разобьется на сумму двух членов 'р) 7) = 7. ) О) )зг -7Ъ ) 7), ( 7 ) 7Г), )77.7) 4ясег ) ./ из которых первый представляет собой излучение монопольного, а второй квадрупольного источника. Вычислим полную интенсивность излучения.
Плотность потока звуковой энергии в волновой зоне направлена в каждой точке вдоль направления и, а по величине равна 77 = р~~)7(ср). Полная интенсивность получается умножением 77 па т 74о и интегрированием по всем направлениям и 7) . Фактически нас интересует, однако, не мгновенное )гульсирующее значение интенсивности, а ее усредненное по времени значение (турбулентность предполагается при этом «стационарнойа). Эту последнюкз операцию 408 гл чш звяк осуп1ествляем, написав квадрат интегралов в виде двойных интегралов и производя усреднение (которое обозначаем угловыми скобками) под знаком интегралов.
В результате получим следующий результат: —, ОЯ(гм тЯ(гв. т)) с)ч1 сД'ч + + ' е фО (г: т)Ч, (ггн )) Ь; Ю,. 175,8) «Перекрестное» произведение двух членов в (75.7) при интегрировании по направлениям выпадает, так что полная интенсивность оказывается равной сумме монопольного и квадрупольного излучений. Обе эти части в данном счучае-.вообще говоря, одинакового порядка величины. Оценим этот порядок величины (вернее выясним зависимость 1 от параметров турбулентного движения). Компоненты тензора Ть и, где и характерная скорость турбулентного 2 движения. Каждое дифференцирование по времени умножает этот порядок величин на характерную частоту и/1.
Поэтому с) и«ф. Корреляция между скоростями турбулентных пульсаций в различных точках простирается па расстояния 1. Поэтому количество энергии, испускаемой в виде звука единицей массы турбулентной среды в единицу времени (75.9) Интенсивность излучения пропорциональна, таким образом, восьмой степени скорости турбулентного движения.
Турбулентное движение поддерживается за счет мощности, подводимой от некоторого внешнего источника. В «стационарном» случае эта мощность совпадает с диссипируемой в единицу времени энергией. Отнесенная к единице массы, эта последняя ед„сс и )1 ') . Акустический коэффициент полезного действия можно определить как отношение излучаемой мощности к диссипируемой: (75.10) Стоящая здесь высокая степень отношения и/с приводит к тому, что при и/с « 1 эффективность турбулентности как излучателя звука низка.
) См. (33Л). Мы не делаем здесь различия между и и Ли; выбор системы отсчета, по отношению к которой рассматривается движение, устанавливается тем, что жидкость вие турбулентной области предполагается неподвижной. 4ОО пгинцип ВЭАимпоств й 76. Принцип взаимности При выводе уравнений звуковой волны в З 64 предполагалось, что волна распространяется в однородной среде.
В частности, плотность среды рв и скорость звука в ней с рассматривались как постоянные величины. Имея в виду получить некоторые общие соотношения, применимые и в общем случае произвольной неоднородной среды, выведем предварительно уравнение распространения зву.ка в такой среде. Напишем уравнение непрерывности в виде др Р + рс11гч = О. ~й Но в силу адиабатичности звука имеем и уравнение непрерывности приводится к виду — + чар+ рс с1и я = О. др дГ Положим, как обычно, р = ро + р', причем ро является теперь заданной функцией координат.
Что же касается давления, то в р = Ро + Р' должно по-прежнему быть Рв = сопв$, поскольку в равновесии давление должно быть постоянно вдоль всей среды (если, конечно, отсутствует внешнее поле). Таким образом, с точностью до величин второго порядка малости имеем — + рс Мс ч = О. др' дс Это уравнение совпадает по форме с уравнением (64.5), но коэффициент рсв в нем есть функция координат. Что касается уравнения Эйлера, то мы имеем, как и в з 64: дх ар' дй ро Исключая ч из обоих этих уравнений (и опуская индекс у ро), получаем окончательно уравнение распространения звука в пеодно одной с еде; р р (76.1) р рс д1 Ксли речь идет о монохроматической волне с частотой ы, то ' = -ш ' так что Р Р (76.2) р рс2 Рассмотрим звуковую волну, излучаемую источником небольших размеров, совершающим пульсациопные колебания (такое 410 звкк гл чш излучение, как мы видели в э 74, изотропно).
Обозначим точку, в которой находится источник, через А, а давление р' в излучаемой им волне в точке В ') терез рА(В). Если тот же самый источник помещен в точку В, то создаваелше им в точке А давление обозначим соответственно через рн(А). Выведем соотношение между РА1В) и рн'1А). Для этого воспользуемся уравнением (76.2), применив его один раз к излучению источника, находящегося в точке А, а другой раз.-к излучению источника, находящегося в В: ярд ы г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
