VI.-Гидродинамика (1109684), страница 82
Текст из файла (страница 82)
'кр'в спк — + —,рА — — О, с1гк — + — ерв = О. р рсе р рсе Умножим первое уравнение на рн, а второе на рд, и вычтем / / второе из первого. Получаем ол ~Ря ( ол ~Рв ол (Рвмрл Рлмрв) Р Проинтегрируем это уравнение по объему, заключенному между бесконечно удаленной замкнутой поверхностью С и двумя малыми сферами Сл и Сн, окружающими соответственно точки А и В. Обьемный интеграл преобразуется в интеграл по этим трем поверхностям, причем интеграл по С обращается в нуль, поскольку на бесконечности звуковое поле исчезает.
Таким образом, получаем 176.3) с,ч-св Внутри малой сферы С.,1 давление р~А в волне., создаваемой источником, находящимся в А, быстро меняется с расстоянием от А, и потому градиент мр~А велик. Давление же р', создаваемое источником, находящимся в В, в области вблизи точки А, значительно удаленной от В, является медлешю меняющейся функцией координат, так что его градиент ~урн относительно мат.
При достаточно малом радиусе сферы С4 можно поэтому в интеграле по ней пренебречь вторым членом подынтегрального выражения по сравнению с первым, а в последнем можно вынести почти постоянную величину рн из-под знака интеграла, заменив ее значением в точке А. Аналогичные рассуждения применимы к интегралу по сфере Сн, и в результате мы получаем из (76.3) следующее соотношение: г~ рв1А) / ~~ сп' = рл(В) / Р" сп'. р Р ') Размеры источника должны быть локтыми по сравнению с расстоянием между А н В, а таклсе но сравнению с длиной волны. 411 пгинцип ВЗАимпости Но ~7р'/р = — ди/д1; поэтому это равенство можно переписать в виде рв(А) — /мА сй = рА(В) — /чн Л. с Св Интеграл ) т1А11Г представляет собой количество жидкости, СА протекающей через поверхность сферы СА в единицу времени, т.
е. изменение (в 1 с) объема пульсирующего источника звука. Поскольку источники в точках А и В тождественны, то ясно, что ~мАсК = ~тгн сИ', би Св и, следовательно, РА(В) = р'„(А). (76 А) Это равенство представляет собой содержание так называемого принципа взаимности: давление, создаваемое в точке В источником, находящимся в точке А, равно давлению, создаваемому в А такил1 же источником, находящимся в В. Подчеркнем, что этот результат относится, в частности, и к тому случаю, когда среда представляет собой совокупность нескольких различных областей, каждая из которых однородна. При распространении звука в такой среде на поверхностях раздела различных областей происходит отражение и преломление.
Таким образом, принцип взаимности применим и в тех случаях, когда на пути своего распространения от точки А к В и обратно волна испытывает отражения и преломления. /(ГРАБАРЯ) СА (3) Задача Вывести принцип взаимности для дипольного звукового излучения, создаваемого источником, совершаю1цим колобания без изменения своего объема Р е ш е н и е. В даннол1 случае РА111 =О Ж ОА и при вычислении интегралов в (76.3) необходимо учесть следую1цее прибли1кепие. Для этого имеем с точностью до членов первого порядка рв = рв(А) Л г11рв, (2) где г-.
радиус-вектор из точки А. В интеграле 412 гл чш звук оба члена имеют теперь одинаковый порядок величины. Подставляя сюда рв из (2) и учитывая (1), получим / [( ~> > ) Рл РВ]АУ Далее, выносим почти постоянную величину 17рв — — — рчв из-под знака ин- теграла, заменив ее значением в точке А: р ч (А) ~ [ — '4У - г( Р" 4У.) ~ сл (рл — плотность среды в точке А). Для вычисления этого интеграла замечаем, что вблизи источника жидкость можно считать несжимаемой (см. 8 74), и потому для давления внутри малой сферы Сл можно написать согласно (11. 1) Аг рф В монохроматической волне ч = — 1ыч, А = — >ь>А; вводя также единичный вектор пл в направлении вектора А для источника, находящегося в точке А,найдем, что интеграл (3) пропорционален по величине рлчв(А)пл. Аналогично интеграл по сфере Св будет пропорционален — рлчл(В)пв с тем же коэффициентом пропорциональности.
Приравнивая их сумму нулю, найдем искомое соотношение рлчв(А)пл = рвчл(В)пв, выражающее собой принцип взаимности для дипольного звукового излучения. й 77. Распространение звука по трубке Рассмотрим распространение звуковой волны вдоль длинной узкой трубки. Под узкой подразумевается трубка, ширина которой мала по сравнению с длиной волны. Сечение трубки может меняться вдоль ее длины как по форме, так и по площади.
Важно только, чтобы это изменение происходило достаточно медленно, .-- площадь Я сечения должна мапо меняться на расстояниях порядка ширины трубки. В этих условиях можно считать, что вдоль каждого поперечного сечения трубки все величины (скорость, плотность и т. п.) постоянньь Направление же распространения волны можно считать везде совпадающим с направлением оси трубки. Уравнение, определяющее распространение такой волны., удобнее всего вывести методом, аналогичным ггримененному в 2 12 для вывода уравнения распространения гравитационных волн в каналах. 413 РАСПРОС'ГРАПБПВВ ЗВУКА ПО ТРУБКЕ В единицу времени через сечение трубки проходит масса Яро жидкости.
Поэтому количество (масса) жидкости в объеме между двумя бесконечно близкими поперечными сечениями трубки уменыпается в 1 с на '1яир),РК вЂ” (опр) = ~ Вр~ глх дх (координата х вдоль оси трубки). Поскольку самый объеьл между обоими сечениями остается неизменным, то это уменыпение может произойти только за счет изменения плотности жидкости.
Изменение плотности в единицу времени есть —, а соответдр дл' ствующее уменыпение массы жидкости в объеме Я 11х между двумя сечениями равно — Я вЂ” Р 11х. дл Приравнивая оба выражения, получаем уравнение др д(яр.) дл дх (77.1) представляющее собой уравнение непрерывности для жидкости в трубке. Далее, напишем уравнение Эйлера, опуская в нем квадратичный по скорости член: дР 1 дР дл рдх' (77.2) Продифференцируем (77.1) по времени, при дифференцировании правой части этого уравнения надо считать р не зависящим от времени, так как при дифференцировании р возникает член, содержащий п — = и — и потому малый второго порядка.
Таким др др' дл дл образом, (я ) (77. 3) Подставляем сюда для дп/д8 выражение (77.2), а стоящую слева производную от плотности выражаем через производную от давления согласно р = р/с~. В результате получаем следующее уравнение распространения звука в трубке: 414 гл тш звук В монохроматической волне р ') зависит от времени посредством множителя е аог, и (77.3) переходит в -' — '(~др1+ й'р = 0 (77.4) Ядх 1 дх/ (й = огггс волновой вектор). Наконец, остановимся на вопросе об излучении звука из открытого конца трубки. Разность давлений между газом в конце трубки и газом в окружающем трубку пространстве мала по сравнению с разностями давлений внутри трубки.
Поэтому в качестве граничного условия на открытом конце трубки надо с достаточной точностью потребовать обращения давления р в нуль. Скорость же газа о у конца трубки при этом оказывается отличной от нУлЯ:, пУсть пв есть ее значение зДесь. ПРоизвеДение Ягггг есть количество (обьем) газа, выходящего в единицу времени из конца трубки. Мы можем теперь рассматривать открытый конец трубки как некоторый источник газа с производительностью Яво. Задача об излучении из трубки делается эквивалентной задаче об излучении пульсирующего тела, определяющемся формулой (74.10).
Вместо производной х' от обьема тела по времени мы должны теперь писать величину ово. Таким образом, полная интенсивность излучаемого звука есть 7 Р о с202 (77 5) 4пс Задачи 1. Определить козффициент прохождения звука при переходе его из трубки сечения 51 в трубку сечения Я2. Р е ш е н и е. В первой трубке имеем две волны — падающую рг и отраженную р',, а во второй трубке — одна прошедшая волна рг: — — Гй. е 1Г Го* — 12 рг =аге', р, =а,е ' ', ро=аое' В месте соединения 2 рубок Гх = О) должны быль равными давления и количества Яе газа, переходящие из одной тру.бки в другую. Эти условия дают аг+ аг = аг, Яг(аг — аг) = жоао, откуда 2О1 аг = аг Я1 СО2 Отношение Р потока энергии в прошедшей волне к потоку энергии в падающей волне равно 12 о2~ео~ 4о1о2 ~ 52 5! 1,д, -ь д,/ Яг~ю~~о (Яг -ь до)' ) Здесь и в задачах к атому параграфу под р подразумевается везде переменная часть давления Гкоторуго мы раньше обозначали через р').
415 Ь 77 РЛС!ПРОС'ГРЛПБПНВ ЗВУКЛ ПО ТРУБКЕ р = — (ае' ' а, и Ь определяются из условий и = коэффициента усиления полу гаем Ях$М !2 Оохз!и!2 +Ь вЂ” 1.) — 1 и при х' = х1 и р = 0 при х = хг. Для (эгп Ы -!- Ьх! соэ Ы)2 2. Определить количество энергии, июгучаемой нз открьггого конца цилиндрической трубки. Р е ш ен и е. В граничном условии р = 0 на открытом конце трубки можно приближонно пренебречь икчучаемой волной гмы увидим, что интенсивность излучения нз конца трубки мала). Тогда имеем условно рг = — р'„ где рг н рг ..
давления в падающей волне и в волне, отраженной обратно в трубку; для скоростей будем соответственно иметь иг = и'„так что суммарная скорость на выходе из трубки есть ио = о! + г!1 = 2и1. Поток энергии в падающей волне равен сори~ = г1/4)слрио. с помощью !77 5) получаем для отношения излучаемой энергии к потоку в падающей волне 2 1Э =— яс' Для трубки крутового сечения !радиуса )7) имеем 47 = Рггго2,1со. Поскольку по предположению 77 «с/1о, то 77 «1. 3. Одно из отверстий цилиндрической трубки закрыто излучающей звук мембраной, совершающей заданное колебательное движение: другой конец трубки открыт. Определить излучение звука из трубки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
