VI.-Гидродинамика (1109684), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Таким решением уравнения (Ц является ~1 1(у) = А(у — -) + В(у — -) 2 2 Постоянные .4 и В определяются граничными условиями ~00(0) = О, ~о1 (0) = 3/8. В результате находим для функции тока выражение 6 ( — 6/2)з а и:з него следующие окончательные формулы для распредолония скоростей: у 0 Зов ( 3(у 6/2) е, = — — гйп 26х ~1— 1бс ' ! (6/2)е Скорость ош1 меняет знак па расстоянии (6/2)(1 — 3 Пв) = 0,4236/2 от стенки.
Описываемое этими формулами течение состоит из дву.х рядов вихрей, симметрично расположенных относительно серединной плоскости у = 6/2 и периодичных вдоль оси х с периодом Л/2. 8 81. Вторая вязкость Второй коэффициент вязкости ~ (мы будем говорить о нем просто как о второй вязкости) имеет обычно тот же порядок величины, что и коэффициент вязкости г). Существуют, однако, случаи, когда б может достигать значений, значительно превышакпцих значения г). Как мы знаем, вторая вязкость проявляется в тех процессах, которые сопровождаются изменением объема (т.
е. плотности) жидкости. При сжатии или расширении, как и 433 '8 81 В'1'ОРКЯ ВЯЗКОСТЬ при всяком другом быстром изменении состояния, в жидкости нарушается термодинамическое равновесие, в связи с чем в ней начинаются внутренние процессы, стремящиеся восстановить это равновесие. Обычно эти процессы настолько быстры (т. о.
их время релаксации настолько мало), что восстановление равновесия успевает практически полностью следовать за ходом изменения объема, если только, конечно, скорость этого изменения не слишком велика. Существуют случаи, когда время релаксации процессов установления равновесия в теле велико., т. е. эти процессы протекают сравнительно медленно.
Так, если мы имеем дело с жидкостью или газом, представляющими собой смесь веществ, между которыми может происходить химическая реакция., то при каждых данных плотности и температуре существует определенное состояние химического равновесия, характеризующееся определенными концентрациями веществ в смеси. Если, например, сжать жидкость, то состояние равновесия нарушится и начнет происходить реакция, в результате которой концентрации веществ будут стремиться принять равновесные значения, соответствующие новому значению плотности (и температуры).
Если скорость этой реакции не слишком велика, то установление равновесия происходит сравнительно медленно и не будет поспевать за изменением сжатия. Процесс сжатия будет сопровождаться тогда внутренними процессами приближения к состоянию равновесия. Но процессы установления равновесия являются процессами необратимыми; опи сопровождаются возрастанием энтропии и, следовательно, диссипацией энергии. Поэтому, если время релаксации этих процессов велико, то при сжатии или расширении жидкости происходит значительная диссипация энергии, и поскольку эта диссипация должна определяться второй вязкостью, то мы приходим к выводу, что ~ будет велико ') .
Интенсивность процессов диссипации, а с ними и величина 1,, зависит, естественно, от соотношения между скоростью процессов сжатия и расширения и временем релаксации. Если, например, речь идет о сжатиях и расширениях, вызываемых зву.ковой волной, то вторая вязкость будет зависеть от частоты волны. Таким образом, значение второй вязкости не будет просто константой, характеризу.ющей данное вещество, а само будет зависеть от частоты того движения, в котором она проявляется. О зависимости величины 1', от частоты говорят как о ее дисперсии. Излагаемый ниже метод общего рассмотрения всех этих явлений прииадлсжиг Л.о.
Манделыигпамгу и М.А. Леонпзопичу (1937). ') Медлспвым процессом, приводящим к большим С, часто является также передача энергии от поступательных степеней свободы молекул к колебательным (виутримолекулярным) степеням свободы. 434 звяк гл тш Пусть ( некоторая физическая величина, характеризующая состояние тела, а со ее значение в состоянии равновесия; Со является функцией от плотности и температуры.
Так, для жидких (или газовых) смесей величиной ~ может являться концентрация одного из веществ в смеси, а ~о есть тогда значение концентрации при химическом равновесии. Если тело не находится в состоянии равновесия., то величина с будет меняться со временем, стремясь принять значение со.
В состояниях, близких к равновесному, разность с — ~о мала, и можно разложить скорость ~ изменения С в ряд по этой разности. Член нулевого порядка в этом разложении отсутствует, так как ~ должно обратиться в нуль в состоянии равновесия, т. е. при ( = со. Поэтому с точностью до членов первого порядка имеем (81.1) ~! со 1 — 1мт (81.2) Вычислим производную от давления по плотности при рассматриваемом процессе.
Давление должно теперь рассматриваться как функция от знагенийг плотности и величины б в данном состоянии, а также от энтропии, которая предполагается 1 ) Изгленение энтропии (в состояниях, близких к равновесному) является величиной второго порядка малости. Поэтому с точностью до величин первого порядка можно говорить об адиабатичности процесса. Коэффициент пропорциональности между ~ и ~ — ~о должен быть отрицательным, так как в противном случае с не стремилось бы к конечному пределу. Положительная постоянная т имеет размерность времени и может рассматриваться как время релаксации для данного процесса; чем т больше, тем медленнее происходит приближение к равновесию.
В дальнейшем мы будеъг рассматривать процессы, в которых жидкость подвергается периодическому адиабатическому ') сжатию и расширению, так что переменная часть плотности (и других термодинами геских величин) зависит от времени посредством множителя е '~; речь идет о звуковой волне в жидкости. Вместе с гьчотностью и другими величинами меняется также и положение равновесия, так что Со можно написать в виде го = = ~оо + (о, где (оо постоянное значение ~о, соответствующее среднему значению плотностгл, а ~о периодическая часть, пропорциональная е '~'. Написав истинное значение г, в виде г, = = ~оо + ~', мы видим из уравнения (81.1), что б' тоже является периодической функцией времени и связано с (о соотношением 435 8 81 В"ГОРАЯ ВЯЗКОСТЬ постоянной и которую мы будем для краткости просто опускать.
Имеем Согласно 181.2) подставляем сюда д( де 1 д(О 1 д(0 др др 1 — 1мт др 1 — 1мт др и получаем — (( — ) + ( — ) — — 1ыт( — ) Сумма есть не что иное, как производная от р по р прн процессе настолько медленном, что жидкость находится все время в состоянии равновесия; обозначая ое через 1др/др)рВВВ, имеем окончательно: 18Е3) Пусть, далее, ро — давление в состоянии термодинамического РавновесиЯ; Ро свЯзано с дРУгими теРмодннамическими величинами у[гавнением состояния жидкости и является при заданных плотности и энтропии вполне определенной величиной.
Давление же Р в неРавновесном состоЯнии отлично от Рв и ЯвлЯетсЯ функцией также и от б. Если плотность получает адиабатичсское приращение др, то равновесное давление меняется на "гге = (~ ) ~Р между тем как полное приращение давления есть 1др/др)бр, где дрггдр определяется формулой 18ЕЗ). Поэтому разность р — ро между истинным и равновесным давлениями в состоянии с плотностью р + бр равна Р Ро ~ — ( — ) ~)ВР ~( — ) ( — ) з)ВР. Нас интересуют здесь те изменения плотности, которые обусловлены движением жидкости. Тогда бр связано со скоростью уравнением непрерывности, которое мы напишем в виде — + Рнгг ч = О., д5р В1 437 1 81 ВТОРАЯ ВЯЗКОСТЬ формально применимыми.
В часгности, связь волнового вектора с частотой по-прежнему определяется формулой Й = ы/с, где с = (др,ядр)~7~, причем производная др/др равна выражению (81.3). (Величина с не имеет, однако, теперь смысла скорости звука уже хотя бы потому, что она комплексна.) Таким образом, получаем 1 — 1ыт к=ы Со ~— С~ 1 ~с (81.8) о к = — + г™ ,, (с — со), со 2со (81.9) т. е. появляется затухание с коэффициентом, пропорциональным квадрату частоты.
С помощью (81.7) мнимую часть й можно написать в виде 1«2 = ос~~о/(2рсз~); это совпадает с зависящей от 1,' Определяемый этой формулой «волновой вектор» является величиной комплексной. Легко выяснить смысл этого обстоятельства. В плоской волне все величины зависят от координаты т (в направлении распространения) посредством множителя е'"*. 11аписав й в виде 1 = 1«1 +11«2 с вещественными й~ и й2, получаем е™ = е'"'"'е ~'з, т. е.
наряду с периодическим множителем е' '* получается также затухающий множитель е '* (Й2 должно быть, конечно, положительным). Таким образом, комплексность волнового вектора является формальным выражением того, что волна затухает, т. е. имеет место поглощение звука. При этом вещественная часть комплексного «волпового вектора» определяет изменение фазы волны с расстоянием, а мнимая его часть есть коэффициент поглощения. Нетрудно отделить в (81.8) вещественную и мнимую части; в общем случас', произвольных ос выражения для й1 и 112 довольно громоздки, и мы не выписываем их здесь. Существенно, что 81 (как и 12) является функцией частоты.
Таким образом, если в жидкости могут происходить химические реакции, то распространение звука с достаточно большими частотами сопровождается дисперсией. В предельном случае малых частот (уст « 1) формула (81.8) дает в первом приближении 1« = ос,1со, что соответствует распространению звука со скоростью со. Так, разу.меется, и должно было быть: условие ыт«1 означает, что период 1/сс звуковой волны велик по сравнению со временем релаксации; другими словами, установление химического равновесия практически успевает следовать за колебаниями плотности в звуковой волне, и поэтому скорость звука должна определяться равновесной производной (др!др)ро„я.
В СЛЕдуЮщЕМ Прнбпнжвинн ИМЕЕМ 438 звяк гл мш частью коэффициента поглощения ч (79.6), полученного без учета дисперсии. В обратном предельном случае больших частот (шт » 1) имеем в первом приближении й = ы/с,„, т. е. распространение звука со скоростью с, результат опять-таки естественный, поскольку при ыт» 1 можно считать, что за время одного периода реакция вовсе не успевает произойти;поэтому скорость звука должна определяться производной (др/др)4, взятой при постоянных концентрациях.
В следующем приближении имеем ,г +1 в (81.10) с 2тв Коэффициент поглощения оказывается не зависящим от частоты. При переходе от ы « Цт к ы» 1(т этот коэффициент монотонно возрастает, стремясь к постоянному значению, определяемому формулой (81.10). Заметим, что величина й2/70, характеризующая поглощение на расстоянии, равном длине волны, оказывается в обоих предельных случаях малой (й2/й~ << 1 ); она имеет максимум при некоторой промежуточной частоте (равной ыт = ° усе/с, ).
Уже из формулы., например, (81.7) видно, что с„> св (81.11) (поскольку должно быть ~ > О). В том же самом можно убедиться с помощью простых рассуждений на основании принципа ЛеШателье. Предположим, что под влиянием внешнего воздействия объем системы уменьшается (а плотность увеличивается). Этим система выводится из состояния равновесия, и согласно принципу Ле-Шателье в пей должны начаться процессы, стремящиеся уменыпить давление. Это значит, что величина др/др будет уменьшаться, и когда система вновь вернется в состояние равновесия, значение др/др = с2 будет меньшим, чем оно было в неравновесном состоянии. При выводе всех формул мы предполагали, что имеется всего один медленный внутренний процесс релаксации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
