VI.-Гидродинамика (1109684), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Р е ш е н и е. В общем решении р = (ае' '"' -Р Ье ' ')е определяем постоянные а н Ь нз условий о = и (и = иое !"1 —. заданная скорость колебаний мембраны) на закрытом конце трубки (х = 0) и условия р = 0 па открытом конце (х = 1). Эти у!щовия дают ае +Ье =О, а — Ь=срио. и — и Определяя а и Ь, находим для скорости газа на открытом конце трубки величину ио = и!1 сов И. Волн бы трубки не было, то интенсивность изтученяя колеблю1цейся мембраной определялась бы средним квадратом О2!и!2 = = Ого!2!и!2 согласно формуле 174.10) с Яи вместо )г; Я вЂ” площадь поверхности мембраны.
Излучение же нз конца трубки пропорционально Яг!Ро!2а!2. Коэффициент усиления звука трубкой есть О2!Бо!2 1 52!и!2 соэг ы Он обращается в бесконечность при частотах колебаний мембраны, равных собственным частотам трубки !резонанс); в действительности, конечно, он все же остается конечным благодаря наличию эффектов, которыми мы пренебрегли 1например, трения, влияния излучения звука).
4. То же для конической трубки гмеэгбрана закрывает меньшее из отверстий трубки). Р е ш ен и е. Для сечения трубки имеем О = Оохг,меныпему н большему отверстиям трубки пусть соответствуют значения хг и хо координаты х, так что длина трубки есть 1 = хг — хг. Общее решение уравнения 177.4) есть 416 звяк гл ош 5. То же для трубки, сечение которой меняется вдоль ее длины по экспоненциальному закону 5 = 5ое Р е ш е н и е.
Уравнение 177.4) приобретает внд дар др 4-о — -'гк р=О, дх' дх откуда по= (к — — ) —,'в о Определяя а и Ь из условий е = и при х коэффициента усиления ое2 2 1~ 2р ее оа = О и р = О при х = й находим для овз глу Ч- соч т1) ои доз )н)' 1' о ~,2 при Ь > сг/2 и А= „., =(" о ( ' ( ) (, — 4- сй вй1) 2 т' при Й ( сг/2. й 78. Рассеяние звука Если на пути распространения звуковой волны находится какое-либо тело, то происходит, как говорят, рассеяние звука: наряду с падающей волной появляются дополнительные (рассеяпная) волны, распространяющиеся во все стороны от рассеивающего тела.
Рассеяние звуковой волны происходит уже благодаря самому факту наличия тела на ее пути. Кроме того, под влиянием падающей волны само тело приходит в движение; зто движение в свою очередь обушювливает некоторое дополнительное излучение звука телом, т. е. некоторое дополнительное рассеяние. Однако, если плотность тела велика по сравнению с плотностью среды, в которой происходит распространение зву.ка, а его сжимаемость мала, то рассеяние, связанное с движением тела, представляет собой лишь малую поправку к основному рассеянию, обусловленному самим наличием тела.
Этой поправкой мы будем в дальнейшем пренебрегать и потому будем считать, рассеивающее тело неподвижным. Будегя предполагать, что длина волны звука Л велика по сравнению с размерами ! тела; тогда для вычисления рассеянной волны можно воспользоваться формулами 174.8) и (74.11) ') . 1 ) В то же время требуется, чтобы размеры тела были велики по сравнению с амплитудой смещений частиц жидкости в волне; в противном соучае движение жидкости не будет, вообще говоря, потенциальным.
417 1 78 НЛСОВИНИИ ЭИ1КЛ Рассеянную волну мы при этом рассматриваем как волну, излучаемую телом; разница заключается только в том, что вместо движения тела в жидкости мы имеем теперь дело с движением жидкости относительно тела. Обе задачи, очевидно, эквивалентны. Для потенциала излучаемой волны мы получили выражение 1' Аг Ф= 4иг оги В этой формуле Ъ' объем тела.
Теперь же обьем самого тела остается неизменным, и под у' надо подразумевать не скорость изменения объема тела, а то количество (объем) жидкости, которое вошло бы в единицу времени в объем, заник1аемый телом (этот объем обозначим через гв), если бы этого тела вообще не было. Действительно, при наличии тела это количество жидкости не проникает внутрь занимаемого телом объема, что эквивалентно выбрасыванию этого же количества из объема 1'о. Коэффициент же при 1~(4яг) в первом члене в 1р должен быть, как мы видели в предыдущем параграфе, равен как раз количеству «выбрасываемой» в 1 с из начала координат жидкости. Это количество легко вычигчить. Изменение массы жидкости в единицу времени в объеме, равном объему тела, равно Рор, где функция р определяет изменение со временем плотности жидкости в падающей звуковой волне 1поскольку длина волны велика по сравнению с размерами тела, то на протяжении расстояний порядка этих размеров плотность р можно считать постоянной, поэтому мы можем писать изменение массы жидкости в объеме 1'в просто в виде 1гвр, где р одинаково вдоль всего объема уо).
Изменение обьема жидкости, соответствующее изменению массы рюш есть, очевидно., 1гвр/р. Таким образом, вместо и' надо писать в выражении для 1р величину увр/р. В падающей плоской волне переменная часть плотности р~ связана со скоростью соотношением р' = рп/с: поэтому р = р' = ри7с, и вместо Гор/р можно писать Ъ~г/с. Что касается вектора А, то при движении тела в жидкости он определяется формулами (11.5), (11.6): 4ярА; = т,ьиь+ р1'ви, 1 1'о А1 = т~ьгь — — и1 4ир 48 (78.1) 14 Л. Д. Ландау и Е.К4.
Лифшиц, тои У1 Теперь же мы должны писать вместо скорости и тела взятую с обратным знаком скорость лг жидкости в падающей волне (кото- рую она имела бы в месте нахождения тела, если бы тела вовсе не было). Таким образом, 418 гл ош звгк Окончательно получаем для потенциала рассеянной волны Роо Аг 9эг = (78.2) 47огэ ого с вектором А, определяющимся формулой (78.1).
Для распределения скоростей в рассеянной волне получаем отсюда Ропп + првА) (78.3) 4г со гго (см. 3 74; и единичный вектор в направлении рассеяния). Среднее количество рассеиваемой (в 1 с) в данном элементе по телесного угла энергии определяется потоком энергии, равным грм~~ г)о. Полная интенсивность 1р рассеяния получается интегрированием этого выражения по всем направлениям. При этом интегрировании удвоенное произведение обоих членов в (78.3), пропорциональное первой степени косинуса угла между направлением рассеяния и направлением распространения падающей волны, ис.извет и остается (ср. (74.10) и (74.13)): (78.4) 4хсо Зсо Рассеяние принято характеризовать его эффективным сечением (или просто сечением) скг.
Оно определяется как отношение средней (по времени) рассеиваемой в данном элементе телесного утла энергии к средней плотности потока энергии в падающей волне. Полное сечение и равно интегралу от о1п по всем направлениям рассеяния, т. е. равно отношению полной интенсивности рассеяния к плотности падающего потока энергии. Сечение имеет, очевидно, размерность площади. Средняя плотность потока энергии в падающей волне есть срэз. Поэтому дифференциальное сечение рассеяния равно отношению (78.5) Йг = ='г до. го Полное сечение равно 1'о го 4х А (78.6) 4~ге" ъо Зо" чо Для монохроматической падающей волны среднее значение квадрата второй производной от скорости по времени пропорционально четвертой степени частоты.
Таким образом, сечение рассеяния звука телом, размеры которого малы по сравнению с длиной волны, пропорционально четвертой степени частоты. Наконец, остановимся коротко на обратном предельном случае, когда длина волны рассеиваемого звука мала по сравнению 1 78 глсокяник звч кл с размерами тела. В этом случае все рассеяние, .за исключением лишь рассеяния на очень малые углы, сводится к простому отражению от поверхности тела.
Соответствующая часть полного сечения рассеяния равна, очевидно, просто площади Я сечения тела плоскостью, перпендикулярной к направлению падающей волны. Рассеяние же на малые углы 1ушлы порядка Л,71) представляет собой дифракцию от краев тела. Мы не станем излагать здесь теорию этого явления, полностью аналогичную теории дифракции света 1сьь П, 3 60, 61). Укажем лишь, что согласно принципу Вабине гюлная интенсивность дифрагировавшего звука равна полной интенсивности отраженного звука. Поэтому дифракционная часть сечения рассеяния равна той жс площади о', а полное сечение равно, следовательно, 2Я. Задачи 1. Определить сечение рассеяния плоской звуковой волны твердым шариком, радиус 27 которого мал по сравнению с длиной волны. Р е ш е н и е. Для скорости в плоской волно имеем ь = а соя ьчс(в данной точке пространства).
Вектор А равен в случае шара 1см. задачу 1 8 1Ц А = = — ч77' /2. Для дифференциального сечения получаем ш Я ( Зсоав) и --. угол между направлением падающей волны и направлением рассеяния). 1нтенсивность рассеяния максимальна в напраччленни д = и, противоположном направлению падения. Полное сечение равно 7чг (Рзьч ) Здесь 1а также ниже в задачах 3, 4) предполагается, что плотность ро шарика велика по сравнении> с плотностью р газа; в противном случае надо учитывать увлечение шарика действующими на него со стороны колеблющегося газа силами давления. 2. Опредолить сечение рассеяния звука жидкой каплей с учетом сжимаемостн жидкости н движения капли под влиянием падающей волны.
Р е ш е н и е. При адиабатическом изменении давления газа, в котором находится капля, на величину р' обьем капли уменьшается на 1о lдре чч ~о ре 1, др ), роса, 1р. плотность газа, ро плотность жидкости в капле, се — скорость звука в жидкости). В выражениях 178.2), 178.3) надо писать теперь вместо Рече/с разность рс(е!с — еср!(сере)). Далее, в выражении для А надо писать теперь вместо — чг разность и — ч, где ч--скорость чела, приобретаемая нм под влиянием падающей волны. Для шара получаем с помощью результатов задачи 1 8 11 А=и 2Ро+ Р 14ь 420 гл тш звук Подстановка этих выражений приводит к сечению г1а = ~(1 — ) — 3 сов 0 ] г7о. Полное сочение равно 4тиэЛ ~( сер ) 3(ре — р) 3. Определить сечение рассеяния звука твердым шариком, радиус Л которого мал по сравнению с В/и7ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
