VI.-Гидродинамика (1109684), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Мы оставляем в (74.6) оба написанных члсна, имея в виду, что первый член не во всех случаях присутствует (см. ниже). Выясним, в каких случаях этот член — и7г отличен от нуля. В 9 11 было выяснено, что потенциал — а/г приводит к наличию отличного от нуля потока жидкости червз поверхность, окружающую тело; этот поток равен 4яра. Но в несжимаемой жидкости такой поток может иметь место только за счет изменения общего ИЗЛУ 1ВИИВ ЗВУКА объема жидкости, заключенной внутри замкнутой поверхности. Д~ругнми с ювами, должно происходглть изменение обьекга тела, что и будет приводить к вытеснению жидкости из рассматриваемого объема пространства или, наоборот, к «засасыванию» жидкости в него. Таким образом, первый член в (74.6) присутствует в тех случаях, когда излучающее тело производит пульсации, сопровождающиеся изменением его объема.
Предположим, что это имеет место, и определим полную интенсивность излучаемого звука. Объем 4зга жидкости, протекающей через замкнутую поверхность, должен быть равен изменению объема 1г тела в единицу времени, т. е. производной гЛг/ей (объем И является заданной функцией времени): 4гга = 1'. Таким образом, па расстояниях г, удовлетворяющих условию 1 « г « Л, движение жидкости описывается функцией т'Ю 4ггг С другой стороны, на расстояниях т» Л (в волновой зоне) ггз должно представлять расходящуюся сферическую волну, т. е.
иметь вид Пг — гггс) (74. 7) Поэтому мы приходим к результату, что излучаемая волна имеет на всех расстояниях (больших по сравнению с 1) вид 1(г-г7е) Ггз = (74.8) получающийся заменой в у (г) аргумента 1 на 1 — г7с. СкоРость У = йгаг) ггз напРавлена в кажДой точке по РаДиУсУ- вектору и по величине равна о = дгр~дг.
При дифференцировании (74.8) надо (для расстояний г» Л) брать производную только от числителя; дифференцирование знаменателя привело бы к члену высшего порядка по 1,1'г, которым следует пренебречь. Поскольку то получаем (и единичный вектор в направлении г): у= 1 ~)п. (74.9) 41гсг Интенсивность излучения. определяющаяся квадратом скорости, оказывается здесь не зависящей от направления излучения, т. е.
излучение симметрично по всеьл направлениям. Среднее 396 звук гл сш значение полной излучаемой в единицу времени энергии есть где интегрирование производится по замкнутой поверхности вокруг начала координат. Выбирая в качестве этой поверхности сферу радиуса г и замечая, что подынтегрэльное выражение зависит только от расстояния до центра, получаем окончательно; р1. 2 4хс (74.10) Это -- полная интенсивность излучаемого звука.
Мы видим, что она определяется квадратом второй производной по времени от объема тела. Если тело совершает пульсационные колебания по гармоническому закону с частотой ьс, то вторая производная от об"ьема по времени пропорциональна частоте и амплитуде скорости колебаний; средний же ее квадрат пропорционален квадрату частоты. Таким образом, интенсивность излучения будет пропорциональна квадрату частоты при заданном значении амплитуды скорости точек поверхности тела. При заданной жс амплитуде самих колебаний амплитуда скорости в свою очередь пропорциональна частоте, так что интенсивность излучения будет пропорциональна ш .
Рассмотрим теперь излучение звука телом, колеблющимся без изменения объема. Тогда в 174.6) остается только второй член, который мы напишем в виде ~р = с11г(А1с) — ). Как и в предыдущем случае, заключаем, что общий вид решения на всех расстояниях г >) 1 есть г То, что это выражение действительно является решением волнового уравнения, видно из того., что функция А1с — г(с) (г удовлетворяет этому уравнению, а потому удовлетворяют ему и производные указанной функции по координатам.
Дифференцируя опять только числитель, полу таем (для расстояний г» Л): А(С вЂ” с/с) и Ф= (74. 11) сс При вычислении скорости ъ = T~р снова надо дифференцировать только А. Поэтому имеем согласно известным из векторного ИЗЛУ 7ВИИВ ЗВУКА анализа правилам дифференцирования функций от скалярного аргумента: А(7 — 77с)п / г'') С77 В/ и, подставляя 77(г — г77с) = — 717(с = — п77с, получаем окончательно: у = —,п(пА).
(74.12) Интенсивность излучения будет теперь пропорциональна квадрату косинуса утла между направлением излучения (направление п) и вектором А (такое излучение называют дипольнь7А7). Полное же излучение равно интегралу р / (ИА)7 ИЗ 7 77 Опять выбираем в качестве поверхности интегрирования сферу радиуса г, причем введем сферические координаты с полярной осью вдоль вектора А. Простое интегрирование приводит к окончательной формуле для полного излучения в единицу времени: (74.13) Компоненты вектора А являются линейными функциями компонент скорости и тела (см. з 11). Таким образом,интенсивность излучения является здесь квадратичной функцией вторых производных от компонент скорости тела по времени. Если тело совершает гармоническое колебательное движение с частотой ш, то, подобно предыдущему случаю, заключаем, что интенсивность излучения пропорциональна и7 при заданном значении амплитуды скорости.
При заданной же линейной амплитуде колебаний тела амплитуда скорости сама пропорциональна частоте, и потому излучение пропорционально В7~. Аналогичным образом решается вопрос об излучении цилиндрических звуковых волн пульсирующим или колеблющимся перпендикулярно к своей оси цилиндром произвольного сечения. Выпишем здесь соответствующие формулы, имея в виду их дальнейшие применения.
Рассмотрим сначала пульсационные малые колебания цилиндра, и пусть Я = Я(1) есть переменная площадь его сечения. На расстояниях г от оси цилиндра, таких, что 1 « г « 77 (1 поперечные размеры цилиндра), получим аналогично (74.8) д = ~") 1пУг (74.14) 277 где 1(г) функция времени (коэффициент при 1п 7'7 выбран так, чтобы получить правильное значение потока жидкости через ко- 398 гл мш звук аксиальную цилиндрическую поверхность). В соответствии с ормулой для потенциала расходящейся цилиндрической волны первый член формулы (71.2)) имеем теперь, что на всех расстояниях т» 1 потенциал определяется выражением (74.15) При г — ~ О главный член этого выражения совпадает с (74.14), причем автоматически определится также и функция ~(1) в последнем (предполагаем, что при 1 — + — оо производная 5(1) достаточно быстро обращается в нуль).
При очень же больших значениях т (в волновой зоне), основную роль в интеграле (74.15) играет область значений ~ — ~' г/с, поэтому в знаменателе подынтегрального выражения можно положить: (1 — 1') — — 2 — 6 — Р~ — — ~), ьа в~ с/ и мы получим (74.16) Е1аконец, скорость э = 'д~р7 дг; для осуществления дифференцирования удобно сделать в интеграле подстановку 1 — 1! — г(с = ~: после чего пределы интегрирования не будут содержать г. Множитель г 7 перед интегралом не дифференцируется, так как это дало бы член более высокого порядка по 1~т. Производя дифференцирование под знаком интеграла и перейдя затем обратно к переменной 1',получим (74.
17) Интенсивность излучения определится произведением 2ягрсвэ. Обратим внимание на то, что в отличие от сферического случая здесь интенсивность излучения в каждый момент времени определяется всем ходом изменения функции Я(г) за время от — оо до 1 — г/с. ИЗЛУ гвннв ЗВУКА Наконец, для поступательных колебаний бесконечного цилиндра в направлении, перпендикулярном к его оснг на расстояниях 1 « г « Л потенциал имеет вид ггз = с))у(А1п1'г), (74.18) где А(1) определяется путем решения уравнения Лапласа для обтекания цилиндра несжимаемой жидкостью. Отсюда снова заключаем, что на всех расстояниях г )> 1 г — 7!с гр = — с))у (74.19) Н~-р) -"~сгР~г В заключение необходимо сделать следующее замечание. Мы полностью пренебрегал14 здесь влиянием вязкости жидкости гл соответственно этому считали движение в излучаемой волне потенциальным.
В действительности, .однако, в слое жидкости толщины (7777со)172 вокруг колеблющегося тела движение не потенциально (см. '2' 24). Поэтому для ггрименимости всех полученных формул необходимо, чтобы толщина этого глоя была мала по сравнению с размерами 1 тела: И )ьй«1 (74.20) Это условие может не вьшолнгпься при слишком малых частотах или слишком малых размерах тела.
Задачи 1. Определить полную интенсивность излучения звука шаром, совершаюшим поступательные малые (гармонические) колебания с частотой ьг, причем длина волны сравнима по величине с радиусом Л шара. Р е ш е н и е. Скорость шара пишелг в виде и = псе г; тогда гг зависит от времени тоже посредством множителя е и удовлетворяет уравнению гл77+ 1г~~р = О, где 17 = ьггс. ищем решение в виде 777 = иг711г) (начало координат выбрано в точке нахождения центра шара в данный момент времени).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
