VI.-Гидродинамика (1109684), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Плотность потока энергии, очевидно, падает вдоль луча обратно пропорционально квадрату расстояния г от источника: 1 орел а —. гз Отсюда следует, что амплитуда колебаний скорости в звуковой волне меняется вдоль луча обратно пропорционально г,/р. При этом плотность р меняется, согласно барометрической формуле,как р сх ехр ( — ряс((ЙТ)) (з — высота, и — молекулярная масса газа.,  — газовая постоянная).
8 68. Распространение звука в движущейся среде Соотношение пл = с)с между частотой и волновым вектором имеет место только для монохроматичсской звуковой волны, распространяющейся в неподви>кной среде. Нетрудно получить аналогичное соотношение для волны, распространяющейся в движущейся среде (и наблюдаемой в неподвижной системе координат). Рассмотрим однородный люток жидкости со скоростью и. Назовем неподвижную систему координат;г, у, г системой К и введем также систему К' координат т', у', з', движущуюся относительно системы К со скоростью и. В системе К жидкость неподвижна, и монохроматическая волна в ней имеет обычный вид ецЛсг' — Ьсл) Радиус-вектор г' в системе К' связан с радиусом-вектором г в системс К равенством г = г — п1. Поэтому в неподвижной системе координат волна имеет вид — сопел .
ецкг — Л"'-гкп)') Коэффициент при 1 в показателе есть частота пл волны. Таким образом, в движущейся среде частота связана с волновым вектором 1с соотношением (68.1) ол = са — п1л. 369 РАСПРОСТРАИВНИЬ ЗВУКА В ДВИЖУЩВЙСЯ СРЬДВ Скорость распространения волн равна — =с — +п; д)с )« (68.2) это есть геометрическая сумма скорости с в направлении 1с и скорости п «сносаа звука вместе с движущейся жидкостью.
Определим плотность энергии звуковой волны в движущейся среде. Полная мгновенная плотность энергии дается выражением з !е -(р+ р)(п+ ч) +— 2 2Р = — + + рчп+ ! — + р!пч+ риз Р'и /Риз ! 2 2 2 2р ) (ср. (65.1): индекс 0 у невозмущеннык значений величин опускаем). Первый член здесь энергия невозмущенного течения. Следующие два члена -- первого порядка малости, по при усреднении по времени они дадут величины второго порядка, связанные с энергией возбуждаемого волной среднего течения. Все эти члены гщедует опустить и, таким образом, интересующая пас плотность энергии звуковой волны как таковой дается заключенными в скобки тремя последними членами. Скорость и изменение давления в плоской волне в движущейся среде связаны соотношением (а! — 1сп)тг = 1«с р'!!р, которое следует из линеаризованного уравнения Эйлера дч 1 — + (и"7)ч = — — !7Р. д! Р Учитывая также (68.1), найдем окончательно, что плотность звуковой энергии в движущейся среде: Е = Еа (68.3) где Ео = с р' /р = р' !!рс плотность энергии в системс отсчета, движущейся вместе со средой ') .
С помощью формулы (68.1) можно рассмотреть эффект Доплера! заключающийся в том, что частота звука, воспринимаемого наблюдателем, движущимся относительно источника, не совпадает с частотой колебаний последнего. Пусть звук, испускаемый неподвижным (относительно среды) источником, воспринимается наблюдателем, движущимся со скоростью п. В покоя!пейся относительно среды системе К имеем ) Эта формула наглядно истолковывается с квантовой точки зрения: число звуковых квантов (фононов) Х = ЕДй!В) = Ее)(Б1ы — )сн)) ие зависит от выбора системы отсчета.
З7О звяк гл ош й = олв/с, где олв частота колебаний источника. В системе же Л, движущейся вместе с наблюдателем, среда двллжется со скоростью — и, и частота зву.ка будет согласно 168.1) ол = сй — п1с. Вводя угол 0 между направлением скорости и и волнового вектора 1с и полагая Й = олвллс, найдем, что воспринимаемая движущимся наблюдателем частота звука равна со = оло(1 — — сов О). 168.4) В некотором смысле обратным шлучаем является распространение в неподвижной среде звуковой волны, испускаемой движущимся источником. Пусть и обозначает теперь скорость движения источника.
Перейдем от неподвижной системы координат к системе Л', движущейся вместе с источником; в системе Л' жидкость движется со скоростью — и. В системе К~, где источник покоится, частота излучаемой им звуковой волны должна быть равна частоте олв колебаний, совершаемых источником. Изменив в 168.1) знак перед и и вводя угол 0 между направлениями и и 1с, будем иметь оло = сй(1 — — сов О). и с С другой стороны, в исходной неподвижной системе Х частота связана с волновым вектором равенством ол = с7ь Такиы образом, мы приходим к соотношению ол = с68.5) 1 — — сов В о Этой формулой определяется связь влежду частотой оло колебаний движущегося источника звука и частотой ол звука, слышимого неподвижным наблюдателем. Если источник удаляется от наблюдателя, то угол 0 между его скоростью и направлением приходящей в точку наблюдения волной заключен в пределах ял'2 < 0 < я, так что сов0 < О.
Из 168.5) следует, таким образом, что если источник движется, удаляясь от наблюдателя, то частота слышимого наблюдателехл звУка УмсныпаетсЯ (по сРавнению с оло). Напротив, для приближалощегося к наблюдателю источника О < 0 < ялс2, так что сов0 > О, и частота со > сов растет при увеличении скорости и.
При и сов 0 > с согласно формуле 168.5) ол делается отрицательной, что соответствует товлу, что слышимый наблюдателевл звук будет в действительности доходить до него в обратном порядке, т. е. звук,излученный источником в более поздние моменты времени, дойдет до наблюдателя раньше,чем звук, излученный в более ранние моменты. Как было указано в начале В 67, приближение геометрической акустики соответствует случаю достаточно малых длин волн, 371 РЛСНРОСТРЛНВНИВ ЗВУКЛ В ДВИЖУЩИЙСЯ СРВДВ (68.6) ск = — п1с, которое имеет решения, если и ) с.
Таким образом, в среде, движущейся со сверхзвуковыми скоростями, могут существовать стационарные малые возмуп1сния, описывающиеся (при достаточно болыпих В) геометрической акустикой. Это значит, что такие возмущения будут располагаться вдоль определенных линий — лучей. Рассмотрим, например, однородный сверхзвуковой поток, движущийся с постоянной скоростью и, направление которой выберем в юггестве оси т.
Компоненты вектора 1с, лежащего в плоскости ху, связаны соотношением (и' — с') к' = с'/д (68.7) получающимся путем возведения в квадрат обеих частей равен- ства (68.6). Для определения формы лучей воспользуемся урав- нениями геометрической акустики (67.4), согласно которым дм т= дк д~г дь„ Разделив одно из этих уравнений на друтое, получим ду дгг/дг"у ВУ. дгг/дВР Но это отношение есть согласно правилу дифференцирования неявных фу.нкций пе что иное, как производная — дй /д/Р„(взятая при постоянной, в данном случае равной нулю, частоте). Таким образом, уравнение, определяющее форму лучей по заданной зависимости между ВВ и /гю гласит: (68.8) Подставив сюда (68.7), получим дд г1В угцг сг При постоянном и это уравнение определяет два прямолинейных луча, пересекающих ось ъ под углами хо, где В1пгт = с/и.
т. е. болыпих значений волнового вектора. Для этого, вообще говоря, частота звука должна быть достаточно велика. Однако в акустике движущихся сред последнее условие становится не обязательным, если скорость движения среды превосходит скорость звука. Действительно, в этом случае к может быть большим даже при равной нулю частоте: из (68.1) получаем при ш = 0 урав- нение 372 звчк гл чш К подробному изучению этих лучей мы возвратимся в газо- динамике, в которой они играют большую роль.
Задачи 1. Определить форму звуковых лучей, распространяющихся в стационарно движущейся среде с распределениеы скоростей и(т, р, з), причем везде и « с. Предполагается, что скорость и заметно меняется лишь на рас; стояниях, больших по сравнению с длиной волны звука. Р е ш е н и е. Подставляя (68,1) в (67,4), получим уравнения распространения лучей ввиде 1с = — 1)с ч ) и — ])с гог и], 1с г=ч=с — +и. л С помощью этих уравнений вычишгяем с точностью до членов первого пос1 рядка по и производную — 1)сч); при вычислении используем равенство с)1 с)и ди с — = — 4- счет)и = (ч"ч')и — Псах)и, Ф д1 1 Полч чаем с) — (1ч) = — йо]п гос и], сй где и - единичный вектор в направлении ч. С другой стороны, с) с) с)п — (кч) = и — (/сс) + lсс —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
