VI.-Гидродинамика (1109684), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(64.10) Функциями такого же вира описывается распределение также и остальных величин (р', р, у) в плоской волне. Будем говорить для определенности о плотности. Пусть, например, (э = О, так что р' = (1(х — сг). Выясним наглядный смысл этого решения. В каждой плоскости х = сопв$ плотность меняется со временем; в каждый данный момент плотность различна для разных х. Очевидно, что плотность одинакова для координат х и моментов времени 1, удовлетворяющих соотношениям х — с1 = сопв1, или х = сопв$ + с1. Это значит, что если в некоторый момент 1 = 0 в некоторой точке жидкости ее плотность имеет определенное значение, то через промежуток времени 1 то же самое значение плотность имеет на расстоянии с1 вдоль оси х от первоначального места (и то же самое относится ко всем остальным величинам в волне). Мы можем сказать, что картина движения распространяется в среде вдоль оси х со скоростью с, называемой скоростью звука.
Таким образом, (1(х — гМ) представляет собой, как говорят, бегри~ую плоскую волну., распространяющуюся в положительном направлении оси х. Очевидно, что (э(х + с1) представляет собой волну, распространяющуюся в противоположном, отрицательном, направлении оси х. Из трех компонент скорости у = йгаб у в плоской волне отлична от нуля только компонента пх = ду/дх. Таким образом, скорость жидкости в звуковой волне направлена вдоль распространения волны. В связи с этим говорят, что звуковые волны в жидкости являются продольными. В бегущей плоской волне скорость и = и связана с давлением р' и плотностью р' простыми соотношениями. Написав ~р = Дх — с1), имеем п = — 'г = (' (х — с1), р = — р — = рс(' (х — с1).
ду дг дх д1 352 звук гл еш Сравнив эти выражения, находим О=— (64. 11) рс Подставляя сюда согласно (64.4) р' = с~р', находим связь между скоростью и изменением плотности; Ю = —. (64.12) Р Укажем также связь между скоростью и колебаниями температуры в звуковой волне. Имеем Т' = <',дТ(др)кр' и, воспользовавшись известной термодинамической формулой и формулой (64.11), получим Т> = обтяг (64. 13) где )> = — ( — ) температурный коэффициент расширения. Формула (64.8) определяет скорость звука по адиабатической сжимаемости вещества. Последняя связана с изотермической сжимаемостью известной термодинамической формулой ( — Р) = —" ( — Р) .
(64.14) Вычислим скорость звука в идеальном (в термодинамическом смысле слова) газе. Уравнение состояния идеального газа гласит рр=— к = —, р Кт Р Р где Л газовая постоянная, а )< молекулярный вес. Для скорости звука получим выражение (64.15) ,Р где у = ср<<с„.
Поскольку у обычно слабо зависит от температуры> то скорость звука в газе можно считать пропорциональной квадратному корню из температуры ') . При заданной температуре она не зависит от давления газа ') . ') Полезно обратить внимание на то, *<то скорость звука в газе порядка величины средней тепловой скорости молекул. ) Выражение для скорости звука в газе в виде се = р<'Р было впервые получено Ньютоном П687), Необходимость введения в зто выражение множителя т была показана Лапласоз<. 353 ЗВУКОВЫВ ВОЛНЫ ср = НЕ (срв(Х, у, В)Е '" ), (64.16) где Вл — частота волны.
Функция сро удовлетворяет уравнению и слсро+ —., сро = 0 (64.17) получающемуся при подстановке (64.16) в (64.7). Рассыотрслу! бегущую плоскую люнохроматическую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. В такой волне все величины являются функциями только от х — с1, и потому, скажем, потенциал имеет вид р = Ке ~Аехр[ — со!(! — — )1~, (64.18) где А-- постоянная, называемая комплексной амплитудой.
Написав ее в виде А = ае'" с вещественными постоянными а и о, будем иметь ср = асов("— х — Оса+ сс). Ус (64.19) Постоянную а называют амплитудой, а аргумент под знаком сов фазой волны. Обозна!им через и единичный вектор в направлении распространения волны. Вектор 1с = — и = — и (64.20) с называют волновьсм вски!ором (а его абсолютную величину часто называют волновым числом). С этим обозначением выражение (64.18) записывается в виде ср = Не (Аесссст ' ') 1. (64.21) Монохроматические волны играют весьма существенную роль в связи с тем, что всякую вообще волну аложно представить в виде совокупности плоских монохроматических волн с различными волновыми векторами и частотами. Такое разложение волны на монохроматические волны является пе чем иным, как разложением в ряд или интеграл Фурье (о нем говорят также как о спектральном разлолссессии).
Об отдельных компонентах этого разложения говорят как о монохроматических компонентах волны или как о ее компонентах Фурье. л2 Л. д. Ландау и Е.Х!. Лифшиц, том у! Весьат важным слу гаем волн являя!тон мопохроматические волны, в которых все величины являются простыми периодическими (гармопическими) функциями времени. Такие функции обычно бывает удобным писать в виде вещественной части комплексного выражения (см.
начало 3 24). Так, для потенциала скорости напишем 354 звь к гл ыш (т) (д1 ) Ы„Ы, др, др, (дв) после чего подстановка 11) дает Скорость звука определяется с помощью 1Ц и 12) по формуле 1б4.8). Раскрывая полные производные по давлению, вводя скрытую теплоту перехода из фазы 1 в фазу 2: о = Т1рз — в~) и восполъзовавшись формулой Клапейрона-Клаузиуса пр о дТ Т(1з — 1:,) для производной вдоль кривой равновесия фаз 1сьь у', З 82), получим выражение, стоящее в первой квадратной скобке в (2) в виде (др) . ~~ (дТ) дз Аналогично преобразуется и выражение во второй скобке.
Пусть фаза 1 — жидкость, а фаза 2 — пар; последний рассыатриваем как идеальный газ, а удельным объемом 15 ьюжно пренебречь по сравнению с 1Рз. Если х « 1 (жидкость с неболыпим количеством пара в виде пузырьков), то для скорости звука получается с= (3) 11Т /сю Т 1 — газовая постоянная, д — молекулярный вес). Эта скорость, вообще говоря, очонь мала; таким образом, при образовании в жидкости пузырьков пара 1кавитация) скорость:тука в пей скачкообразно резко падает. Если же 1 — х « 1 (пар с незначительным количеством жидкости в виде капелек), то получается 1 д 2 геТ вЂ” + с2 ЛТ Ч 22 14) Задачи 1. Определить скорость звука в мелкодисперсной двухфазной системе: пар с взвешенными в нем мелкими капельками жидкости (квлажный парэ) или жидкость с распределенными в ней мелкими пузырьками пара.
Длина волны звука предполагается большой по сравнению с размерами неоднород- ностей системы. Р е ш е н и е. В двухфазной системе р и Т не являются независимыми переменными, а связаны друг с другоы уравнением равновесия фаз. Сжа- тие или разрежение системы сопровождается переходом вещества из одной фазы в другуэо. Пусть х — доля (по ыассе) фазы 2 в системе, тогда в = 11 — х)в1 + хв2, Ж 1Г = 11 — х)1) ~-х1'е, где индексы 1 и 2 отличают величины, относящиеся к чистым фазам 1и 2.
/др'У ' Для вычисления производной ( — преобразуем ее от переменных р, в к др переменным р, х и получаем 355 эпв гия и импхльс звуковых волн Сравнивая со скоростью звука в чистом газе (54.15), найдем, что и здесь добавление второй фазы уменьшает скорость звука, хотя и далеко не в такой сильной степени. В промежутке при возрастании х от нуля до единицы скорость звука монотонно возрастает от значения (3) до значения (4).
Отметим,что при х = О и х = 1 скорость звука испытывает скачок при переходе от однофа:зной системы к двухфазной. Эго обстоятельство приводит к тому, что при очень близких к нулю или единице значениях х обычная линейная теория звука вообще становится неприменимой уже при малых амплитудах звуковой волны: производимые волной сжатия и ршзрежсния в данных усззовиях сопровождаются переходом двухфазной системы в однофазную (и обратно), в результате чего совершенно нарушается существенное для теории предположоние о постоянстве скорости звука.
2. Определить скорость звука в газе, нагретом до настолько высокой температуры, что давление равновесного черного излучения в нем сравнимо с давлением самого газа. Р о ш е н и е. Давление вощества равно р= пТ+ -Т, 4 а энтропия 1 Тг~г отэ э = — 1и — +— гп и п В этих выражениях первые члены относятся к частицам, а вторые — к излучению; и — плотность числа частиц, т — их масса, а = 4гггД455зсг) (см.
и, з бЗ) ') . В плотности же вещества черное излучение не играет роли, так что р = тп. Скорость звука обозначим здесь в отличие от скорости света буквой и. Записывая производные в виде якобианов,имеем г д(р, в) д(р, в) ! д(р, в) д(р,.) д(п, 1)г д(п, 1) Вычислив эти якобианы, получим г бт~ 2огте и = — 1+ Зт, ~ 5п(п -~- 2аТг)1 3 65. Энергия и импульс звуковых волн Выведем выражение для энергии звуковой волны. Согласно общей формуле энергия единицы объема жидкости равна ре + + рп2,12. Подставим сюда р = ро + р', е = ее + е', где буквы со штрихом обозначают отклонения соответствующих величин от их значений в неподвижной жидкости.
Член р'п2,12 является величиной третьего порядка малости. Поэтому, если ограничиться точностью до членов второго порядка включительно, получим Рого+ Р— + —, +— г д(ре) р'г дг(ре) росг дро 2 дро г2 ')Как везде в этой книга, температура измеряется в единицах энергии. 12* ЭНЕРГИЯ И ИЫВУЛЬС ЗВУКОВЫХ ВОЛН 357 среднему значению полной кинетической энергии. Поскольку по- 1 снеДнЯЯ Равна в Данном слУчае — ~ Рви~ Л', то мы нахоДим, что полная средняя звуковая энергия есть Г = Е а1 г = ~ Ропз 111Х. (65.3) Далее, рассмотрим некоторый объем жидкости, в которой распространяется звук, и определим поток энергии через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем. Плотность потока энергии в жидкости равна согласно (6.3) рч(ю+ из/2).
В рассматриваемом случае можно пренебречь членом с и как малым 2 третьего порядка. Поэтому плотность потока энергии в звуковой волне есть рча. Подставив сюда п1 = шо + и1', имеем Р1В» = шоРч + РИ1'ч. Для малого изменения тепловой функции имеем и далее РН1» = ю1орч + р'ч. Полный поток энергии через рассматриваемую поверхность равен интегралу ~(шар»+ р »1 дГ Первый член в этой формуле есть поток энергии, связанный просто с изменением массы жидкости в данном объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
