VI.-Гидродинамика (1109684), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Р е ш е н и е. Для удельного объема имеем 'кТ и = — )п2 ж п») р )обозначения — см. Примеч. на с. 320), а химические потенциалы имеют вид !см. У, 3 93) Р1 = 22 )Р, Т) -)- Т 1и Ре 12)р, Т) + Т!и п1 Ф пз П1+ П» Числа п1, п2 выражаются через концентрацию газа 1 согласно п1т1 = с, пгтг = 1 — с. Вычисление по фор»1уле )39.10) дает 11 — с с) 1р —— )гпз — т1)с(1 — с) ~ + — 1. т2 т1 диФФузия ВВВВшВнных В 1кидкос"1'и члстиц 9 60. Диффузия взвешенных в жидкости частиц Под влиянием молекулярного движения в жидкости взвешенные в ней частицы совершают беспорядочное броуновское двиз1сение.
Пусть в начальный момент времени в некоторой точке (начале координат) находится одна такая частица. Ее дальнейшее движение можно рассматривать как диффузию, причем роль концентрации играет вероятность нахождения частицы в том или ином элементе объема жидкости. Соответственно для определения этой вероятности можно воспользоваться решением (59.17) уравнения диффузии. Возможность такого рассмотрения связана с тем, что при диффузии в слабых растворах (т.
е. при с « 1, когда только и применимо уравнение диффузии в форме (59.16)) частицы растворенного вещества практически не взаимодействуют друг с другом, и потому можно рассматривать движение каждой частицы независимо от других. Пусть ш(г1 2) пг есть вероятность нахождения частицы в момент времени 2 на расстоянии между 1 и г+пг от исходной точки. Полагая в (59.17) М/р = 1 и умножая на элемент объема 4ягэ и' шарового слоя, получим и1(г, г)сЬ = ехр( — — ~г~йз (60.Ц 2У'тЬз~З Х 4В~/ Определим средний квадрат расстояния, на которое частица удалится от исходной точки в течение времени 2: 1 г' ~ю(г, 2) дг.
(60.2) о Вычисление с помощью (60.1) дает гз = 6И. (60.3) Та,ким образом, среднее расстояние, проходимое частицей в течение некоторого интервала времени., пропорционально квадратному корню из этого времени. Коэффициент диффузии взвешенных в жидкости частиц может быть вычислен по их так называемой подвижности. Предположим, что на эти частицы действует некоторая постоянная внешняя сила Г (например, сила тяжести). В стационарном состоянии сила, действующая на каждую частицу, должна уравновешиваться силой сопротивления, испытываемой движущейся частицей со стороны жидкости. При не слишком больших скоростях сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости.
Написав се в виде у/5, где 5 постоянная, и приравнивая внешней силе Г, гюлучим ° = 51', (60.4) !'Л УЗ ДИФФУЗИЯ т. е. скорость, приобретаемая частицей под влиянием внешней силы, пропорциональна этой силе. Постоянная 6 называется под- ниоюностью и может быть, в принципе, вычислена с помощью гидродинамических уравнений.
Так, для частиц, имеющих фор- му шариков (радиуса Й), сила сопротивления равна бл!1йо (см. (20.14)) ! а потому подвижность б= (60.5) Для частиц не шарообразной формы сила сопротивления за- висит от направления движения: она может быть написана в ви- де а,ьоь, где а!ь -- симметрический тензор (см. (20.15)).
При вы- числении подвижности надо произвести усреднение по всем ори- ентациям частицы; если а!, аэ, аз главные значения симметри- ческого тензора ась, то мы получим 6 = ' ( ' + ' + ' ), (60.6) Подвижность 6 связана с коэффициентом диффузии Р про- стым соотношением. Для его вывода напишем диффузионный поток з, который содержит наряду с обычным членом — рРх7с, связанным с градиентом концентрации (температуру предпола- гаем постоянной), также и член, связанный со скоростью, при- обретаемой частицей под влиянием внешних сил. Этот последний член равен рси = роба.
Таким образом '), ! = — рРз7с+ роба. Перепишем это выражение в виде ! = — Р ~7р+ рсбЕ, р1Э (др!дс) где р--химический потенциал взвешенных частиц (играющих роль растворенного вещества). Зависимость этого потенциала от концентрации (в слабом растворе) дается выражением р = Т 1п с + !р (р, Т) (сь!. Ч! ~ 87), так что 1 = — ~ з7р + рсбГ. т В состоянии термодинамического равновесия диффузия отсут- ствует и поток ! должен обращаться в нуль. С друтой стороны., при наличии внешнего поля условие равновесия требует постоян- ства вдоль раствора суммы р+Г, где с! --.
потенциальная энергия взвешенной частицы в этом поле. Тогда !7р = — Л7Г = — Г и из равенства ! = 0 получим Р=Т6. (60.8) (60.7) ') Здесь с может быть определено как чишю взвешенных частиц в единице массы жидкости, а 1 — как плотность потока числа этих частиц. ГЛАВА ЧП ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ й 61. Формула Лапласа В этой главе мы изучим явления, происходящие вблизи поверхности раздела между двумя сплошными средами (в действительности, конечно, соприкасающиеся тела разделены узким переходным слоем, который вследствие его весьма малой толщины можно рассматривать как поверхность). Если поверхность раздела двух сред искривлена, то вблизи нее давления в обеих средах различны.
Для определения этой разности давлений (называемой поверхностным давлением) напишем условие термодинамического равновесия обоих тел друг с другом с учетом свойств поверхности их раздела. Пусть поверхность раздела подвергается бесконечно малому смещению. В каждой точке несмещешюй поверхности проведем нормаль к ней. Отрезок нормали, заключенный между ее пересечениями с несмещенной и смещенной поверхностями, обозначим через б~. Тогда объем каждого элемента пространства, .заключенного между поверхностями, есть б~ф, где ф элемент поверхности. Пусть р1 и р2 —.давления в первой и второй средах и будем считать д~ положительным, если смещение поверхности раздела производится, скажем, в сторону второй среды.
Тогда работа, которую надо произвести для описанного изменения обьема, равна / ( — р1 + рт)б~ сч". Полная работа БЛ смещения поверхности получится путем прибавления сюда еще работы, связанной с изменением площади самой этой поверхности. Эта часть работы пропорциональна, как известно, изменению б1 площади поверхности и равна од1, где и . поверхностное натяжение. Таким образом, полная работа равна бЛ = — ~(р1 — р2)6Г ф+ о 61. (61.1) Условие термодинамического равновесия определяется, как известно, обращением бЛ в нуль.
Пусть далее Л1 и Лт главные радиусы кривизны в данной точке поверхности; мы будем считать Л| и Лз положительными, если они направлены внутрь первой среды. Тогда элементы 333 Фогыулл лапласа =1~~(й+л)4 161. 2) Подставляя полученные выражения в 161.1) и приравнивая нулю, получим условие равновесия в виде ~ 5~((Р1 — Р2) — сг( — + — ) ~ сК = О. Это условие должно выполняться при произвольном бесконечно малом смещении поверхности, т. е. при произвольном д~.
Поэтому необходимо, чтобы стоящее под интегралом в скобках выражение тождественно обращалось в нуль, т, е. Р1 Р2 = о( — + — ). /1 11 161. 3) йг Вг Это и есть формула (формула Лапласа), определяющая поверхностное давление ') . Мы видим, что если 1ь1 и .И2 положительны, то р1 > р2.
Это значит, что из двух тел давление больше в том., поверхность которого выпукла. Если 1т1 = Я2 = оо., т. е. поверхность раздела плоская, то давления в обоих телах, как и должно было быть, одинаковы. Применим формулу 161.3) для исследования механического равновесия соприкасающихся тел. Предположим, что пи на поверхность раздела, ни на сами тела не действуют никакие внешние силы. Тогда вдоль каждого из тел давление постоянно.
Имея в виду формулу 161.3), мы можем поэтому написать условно равновесия в виде 1 1 — + — = сопв$. ггг йг 161А) ) Изложенный вывод отличается от данного в Ъ', з 1бб, по существу, лишь тем, что здесь рассматривается поверхность раздела произвольной формы, а не только сферической. длины Й1 и сЦ2 на поверхности, проведенные в плоскостях ее главных сечений, получают при бесконечно малом смещении поверхности приращения, равные соответственно — Ж1 и — Й2 1Й1 бс бб йг Вг и Й2 надо рассматривать как элементы дуги окружностей с радиусами В1 и Л2). Поэтому элемент поверхности г11" = Ж1Ж2 будет равен гюсле смещения о11 (1 + — ) о'12 (1 + — ) о11 гл2 (1 + — + — ) ~ т.
е. изменится на величину б~ 1У( — '+ — '). Отсюда видно,. что полное изменение площади поверхности раздела есть 334 ГЛ ЕП ПОВКРХ!и!СТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Таким образом, сумма обратных радиусов кривизны должна быть постоянной вдоль всей свободной поверхности раздела. Если вся поверхность свободна, то условие (60.4) означает, что поверхность должна иметь шарообразную форму (например, по- верхность маленькой капли, .влиянием силы тяжести на которую можно пренебречь).
Если же поверхность закреплена вдоль ка- кой-нибудь линии (наприх!ер, у жидкой пленки на твердой рам- ке), то ее форма является более сложной. В применении к равновесию тонких пленок жидкости, за- крепленных на твердой рамке, в условии (61.4) справа должен стоять нуль. Действительно, сумма 1!!Л! + 1/Ля должна быть одинаковой вдоль всей свободной поверхности пленки и в то же время на двух своих сторонах она должна иметь противополож- ный знак, поскольку если одна сторона выпукла, то другая во- гнута с теми же радиусами кривизны, которые, однако, должны считаться теперь отрицательными. Отсюда следует, что условие равновесия тонкой пленки есть — + — = О.
(61.5) л, л, Рассмотрим теперь усаовие равновесия на поверхности те- ла, находящегося в поле тяжести. Предположим для простоты., что второй средой является просто атмосфера, давление кото- рой па протяжении размеров тела можно считать постоянным. В качестве самого тела рассмотрим несжимаемую жидкость. Тог- да имеем рз = сог!В$, а давление р! в жидкости равно согласно (3.2) р! = сопв1 — ряе (координата е отсчитывается вертикально вверх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
