VI.-Гидродинамика (1109684), страница 66
Текст из файла (страница 66)
д = 'рТ. Это и есть искомое соотношение. Мы можем поэтому написать потоки !и с! в виде ! = — сгггр — р*уТ, с~ = — рТ",)г — 7тгТ+ д! (59.5) всего с тремя независимыми коэффициентами: сг, гг', 7. В выражении для теплового потока удобно исключить градиент уд, 11* 324 гл гл ДИФФУЗИЯ выразив его через 1 и т7Т.
Сделав это, получим 1 = — пад — ~3т7Т, с1 = (р+ — )1 — ит7Т, где введено обозначение 159.6) Подставив "7р в 159.6) и введя обозначения (а, ) рйго (Ъ) "= (й)„,,/(й)„,. получим следу ющие выражения: 1 = — рР (~7с + — ЧТ + — '~7р), Ът Ау т р 159.9) 159.10) 159.11) (59.12) ,4=~и Я вЂ” ТЯ +р11 — 7Т. Ж=-~- 159.7) Если поток вещества 1 отсутствует, то говорят о чистой теплопроводности. Для того чтобы было 1 = О, Т и р должны удовлетворять уравнению а'у'р + 1з"у'Т = О, или оеар+ ДМТ = О.
Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению вида 11с, Т) = О, .не содержащему в явном виде координат (химический потенциал является функцией не только от с, Т, .но и от давления: в равновесии, однако, давление постоянно вдоль тела, и потому мы полагаем р = сопв1). Это соотношение определяет связь между концентрацией и температурой, которая должна иметь место для отсутствия потока вещества.
Далее, при 1 = О имеем из (59.7) с1 = — и уТ; таким образом, и является не чем иным, как теплопроводностью. Перейдем теперь к обьгшым переменным р, Т и с: '7д = ( — ~) 'у'с+ ( — ~) ЧТ+ ( — ~) 'у'р. Последний член можно преобразовать, используя термодинамическое соотношение Ф = -ват+ Г 1р+ рас, 159.8) где зз термодинамический потенциал единицы массы, Ъ удельный об"ьем: коэФФициии'Гы диФФузии и тиемодиФФузии 325 Коэффициент Р называют коэффициентом диффузии; он определяет диффузионный поток при наличии одного только градиента концентрации. Диффузионный же поток, вызываемый градиентом температуры, определяется коэффициентом термодиффузии ктР (безразмерную же величину У и называют термодиффузионным отношением).
В учете последнего члена в 159.11) может возникнуть необходимость лишь при наличии в жидкости существенного градиента давления, вызванного, например, внешним полем. Величину и)2Р можно назвать коэффициентом баро- диффузии; мы вернемся еще к этой величине в конце параграфа. В чистой жидкости диффузионный поток, разумеется, отсутствует.
Поэтому ясно, что коэффициенты 1'т и йр должны обращаться в нуль на обоих пределах: с = 0 и с = 1. Условие возрастания энтропии накладывает определенные ограничения на коэффициенты в формулах 159.6). Подставив эти формулы в выражение 158.7) для скорости изменения энтропии, получим ~Т 2 .2 — / рэли' = I Л'+ / — 'Л'+... (59.13) оТ Отсюда видно, что наряду с известным уже нам условием 22 > 0 должно выполняться также условие а > О. Имея в виду, что согласно одному из термодинамических неравенств всегда () >О 1см.
Ъ', 3 96), мы находим, что должен быть положителен коэффициент диффузии: Р > О. Величины же 12т и й, могут быть как положительными, так и отрицательными. Мы не станем выписывать громоздких общих уравнений, получающихся при подстановке полученных здесь выражений для 1 и с1 в уравнения (58.3), 158.6). Ограничимся лишь случаем, когда нет никакого существенного градиента давления, а концентрация и температура настолько мало меняются в жидкости, что коэффициенты в выражениях 159.1Ц и 159.12), являющиеся в общем случае функциями от с и Т, можно считать постоянными. Будем, кроме того, считать, что в жидкости пет никакого макроскопического движения, помимо того, которое может быть вы:звано самим наличием градиентов температуры и концентрации.
Скорость такого движения будет пропорциональна этим градиентам, и потому в уравнениях 158.3) и 158.6) члены, содержащие скорость, оказываются величинами второго порядка малости и могут быть опущены. Величиной второго порядка является также и член Р7р в 158.6). Таким образом, остается р — + г1ги1 = О, рТ вЂ” + п2У 1г1 — р1) = О. дс ,а. дю ' дс 326 гл ю ДИФФУЗИЯ дс Р(~ с+ ьт~Т) (59.14) (59.15) Эта система линейных уравнений определяет распределение температуры и концентрации в жидкости. В особенности важен случай, когда концентрация смеси мала.
При стремлении концентрации к нулю коэффициент диффузии стремится к некоторой конечной постоянной, а коэффициент термодиффузии --к нулю. Поэтому при малых концентрациях кт мало, и в уравнении (59.14) можно пренебречь членом КттуТ. Оно переходит тогда в уравнение диффузии: д' = Рьс. (59.16) д1 Граничные условия для уравнения (59.16) в разных случаях различны.
На границе с поверхностью тела, не растворимого в жидкости, должна обращаться в нуль нормальная к поверхности компонента диффузионного потока 1 = — рРтус; друтими словами, должно быть дс/дп = О. Коли же речь идет о диффузии от тела, растворяющегося в жидкости, то вблизи его поверхности быстро устанавливается равновесие., при котором концентрация в примыкаюп1ей к поверхности тела жидкости равна концентрации насыщенного раствора со, диффузия вещества из этого слоя происходит медленнее, чем процесс растворения. Поэтому граничное условие на такой поверхности гласит: с = со.
Наконец, если твердая поверхность Фпоглощаетр попадающее на нее диффундирующее вещество, то граничным условием является равенство с = 0 1с таким случаем приходится, например, иметь дело при изучении химических реакций, происходящих на поверхности твердого тела). Поскольку уравнения чистой диффузии (59.16) и теплопроводности имеют одинаковый вид, то все выведенные в з 51, 52 формулы могут быть непосредственно перенесены на случай Подставим сюда для 1 и с1 выражения (59.11) и (59.12) (без члена дэ с ур), а производную — ' преобразуем следующим образом: й = ( —:Я)с,%'(2).„й = Ф$-(~Р)„,й Здесь учтено, что согласно (59.8): (дс)р,т дсдТ (дТ)р,с В результате получим после простого преобразования следующие уравнения: КОЭФФИЦИИИ'ГЫ ДИФФУЗИИ И ТИРМОДИФФУЗИИ 327 диффузии простой заменой Т на с и Л на Р.
Граничному условию теплоизолированной поверхности соответствует при диффузии условие па нерастворимой твердой поверхности; поверхности же, поддерживаемой при постоянной температуре, соответствует диффузия от поверхности растворяющегося в жидкости тела. В частности, по аналогии с формулой (51.5) можно написать стедующее решение уравнения диффузии: —.2дзпй (59.17) 8,~,1З2)2!2 Опо определяет распределение растворенного вещества в произвольный момент времени, если в начальный момент 1 = 0 все вещество было сконцентрировано в бесконечно малом элементе объема жидкости в начале координат (М . полное количество растворенного вещества). К сказанному в этом параграфе надо сделать важное замечание.
Выражения (59.5) или (59.11), (59.12) представляют собой первые неисчезающие члены разложения потоков по производным от термодинамических величин. Как известно из кинетической теории (см. Х, ~ 5, 6, 14), такое разложение является, с микроскопической точки зрения, разложением (для газов) по степеням 1/Т отношения длины свободного пробега молекул газа 1 к характерной пространственной длине Ь задачи.
Учет членов с производными высших порядков означал бы учет величин более высокого порядка по указанному отношению. Следующими после написанных в (59.5) членов, которые можно образовать из производных от скалярных величин р и Т, были бы члены с производными третьего порядка: бган Ьр и ягаг1 2дТ; эти члены заведомо малы по сравнению с уже учтенными в отношении (1Ф)' Но выражения для потоков могут содержать в себе также н члены с производными скорости.
С помощью производных первого порядка., ди,/дхы можно образовать лишь тензорные величины; это вязкий тензор напряжений, входящий в состав тензора плотности потока импульса, Величины же векторного характера можно составить из производных второго порядка. Так, в векторе плотности диффузионного потока появятся члены 2~ = рЛ2 Ьтг+ рЛгЧ А2утг.
(59.18) Требование, чтобы эти члены были малы по сравнению с уже фигурирующими в формулах (59.11), (59.12), приводит к дополнительным устовиям применимости попчедних, Гак, для того чтобы имело смысл оставлять в (59.11) член с УТр и в то же время опускать члены (59.18), должно вьшолн2ггься условие — )) Л— Р 7 72' 328 1'Л У! ДИФФУЗИЯ где р2 — р) характерный перепад давлений на длине Ь, а 17 характерный перепад скорости (в этой оценке положено Йр 1 см. задачу). Согласно кинетической теории Р и Л выражаются через характеристики теплового движения молекул газа. Уже из соображений разл)ерности очевидно, что Л/Р 17упт, где пт средняя тепловая скорость молекул.
Учтя также, что давление газа р р1!т! приходим к условию 2 Р2 Р1 ~~ Рптс7 —. б )59.19) Это условие отнюдь не вьпюлняется автоматически. Напротив, в важном случае стационарных течений с малыми числами Рсйнольдса в диффузионном потоке члены с 7»гр и с ьи оказываются одинакового порядка величины (Ю.М. Каган., 1962). Действительно, для такого движения градиент давления связан с производными скорости уравнением (20.1) — 'л2р = 222лтг ') 59. 20) Р (принимаем, что при движении газа его можно считать несжимаемым).
Кинел«ати геская вязкость оценивается как 22 п11 и потому из этого уравнения находим РУ)7 Р2 — Р) Рот ы— Ь б вместо неравенства в (59.19). Поскольку ЬЗ7 прямо выражается через 17р согласно (20.1), то необходимость одновременного учета членов с 7»7р и гам озг)ачает, что бародиффузионный коэффициент Йр заменаетсЯ «эффективныл)» коэффициентом (ЛР)эф = );Р— "'. (59.21) Обратим внимание на то, что этот коэффициент оказывается в результате кинетической величиной, а не чисто термодинамической, каковой является согласно )59.10) коэффициент гср. Задача Определить коэффипиент бародиффузии для смеси двух идеальных газов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
