VI.-Гидродинамика (1109684), страница 61
Текст из файла (страница 61)
е, имеюшим порядок величины ЧУ1 Чуо Ч РЗ/4 24 мР1У4 роро Сравнивая с формулой (54.4), находим, что функция 1'(Р) будет иметь вид ?(Р) = сопел Р~2 ~, где сопвс — численная постоянная. 3. Вынести соотношение, связывающее локальные корреляционные функции Втт = ((Тл — Т1) ), В тт = ((ре — ш ')(Т2 — Т1) ) в неравномерно нагретом турбулентном потоке (А.М. Волом, 1949). Р е ш е н и е.
Все вычисления аналогичны выводам в 3 34. Наряду с функциями Втт и В,тт вводим вспомогательные функции Ьтт = (Т1?л), Ь тт = (р1,Т1Т2), и для облегчения рассуждений рассматриваем турбулентность как полностью однородную и изотропную. Имеем тогда: Втт = 2(Т ) — 2Ьгт, В тт = 4Ь тт (1) (средние значения (е1 Т!Т2) = (»2?1?2), а средние значения вида (121,Т21) обращаются в нуль в силу несжимасмости жидкости - ср. вывод (34.18)). С помощью уравнений дТ вЂ” -)-~(»'Лт)Т = Хлл.Т, 61»» = 0 дг вычисляем производную д д — Ьтт = — 2 — Ь,тт + 2Х211Ьтт.
(2) дг = дх1, ' В силу тех же изотропии и однородности, функции Ь,тт имеют вид Ь,тт = 12,Ь,тт (3) (гДе п -- еДиничный вектоР в напРавлении г = гл — г1), а Ь тт и Ьтт зависЯт только от т. С учетом (Ц и (3), уравнение (2) прннимает вид ддтт 1 — 242— = — ой» (пВ тт) — Х2ХВтт = д! 2 1 д 2 х д! лдВтт1 = — — (т В,тт) — — — !Хг ), 2'дт 'д( д ) где введена величина 1 д р = -- — (Т-) 2 д1 3О1 нлгркнкник тела в движущейся жидкости (совпадающая с введенной н тексте).
Поскольку локальную турбулентность лсожно считать стационарной, проиаводной дВтт (д1 пренебрегаем. Интегрируяя оставшееся равенство по т, получим искомое соотношение (аналогичное (34.21)): 4Втт 4 В;тт — 2Х = --ггр. (4) с)т 3 При т» Ло член, содоржащий;С, мал, а согласно (54.5) функция Втт сс тмо. Тогда иа (4) имеем 4 В.тт = — — тор. 3 На расстояниях же г (< Ло имеем Втт сх т~, а членом В,тт можно пренебречсп тогда о 1 Втт — г гр.
3Х 3 55. Нагревание тела в движущейся жидкости Термометр, погруженный в неподвижную жидкость, показывает температуру, равную температуре жидкости. Коли же жидкость движется, то термометр покажет температуру несколько более высокую. Это обусловливается нагреванием благодаря внутреннему трению тормозящейся у поверхности термометра жидкости.
Обшую задачу можно сформулировать следующим образом. Тело произвольной формы погружается в движущуюся жидкость; по истечении достаточного промежутка, времени установится некоторое тепловое равновесие и требуется определить возникающую при этом разность температур Т1 — То между ними. Репгсние этой задачи определяется уравнением (50.2), в котором, однако, теперь уже нельзя пренебречь членом, содергкащим вязкость, как это было сделано в (53.1); именно этот член определяет интересующий нас здесь эффект. Таким образом, для установившегося состояния имеем уравнение 2 нс4Т = Х1аТ+ — ' + — Р) (55.1) 2ср 1 дть дл, К нему должны быть присоединены уравнения движения (53.3) самой жидкости и, строго говоря, еще и уравнение теплопроводности внутри твердого тела.
В предельном случае достаточно малой теплопроводности тела можно пренебречь ею вовсе и температуру. каждой точки поверхности тела считать просто равной температуре жидкости в той же точке, получающейся в результате решения уравнения (55.1) с граничным уштовиелг дТ~дтг = = О, т. е. условием исчезновения потока тепла через поверхность тела. В обратном предельном случае достаточно большой теплопроводности тела можно приближенно потребовать одинаковости температуры во всех точках его поверхности; производная 302 ГЛ ТБПЛОИРОВОДИОСТЬ В 2КИДКООТИ дТ(д22 при этом, вообще говоря., не обращается в нуль на всей поверхности и следует требовать исчезновения лишь полного потока тепла через всю поверхность тела (т.
е. интеграла от дТ/дп по этой поверхности). В обоих этих предельных случаях коэффициент теплопроводности тела не входит явно в решение задачи; ниже мы будем предполагать, что имеем дело с одним из них. В уравнения (55.1) и (53.3) входят постоянные параметры 1С, 22 и ср и, кроме того, в их решение войдут размеры тела 1 и скорость 5Р набегающего потока. (Разность же температур Т1 — То не является теперь произвольным параметром, а должна сама быть о22ределена в результате решения уравнений.) Из этих параметров можно составить две независимые безразмерные комбинации, в качестве которых выберем В. и Р. Тогда можно утверждать, что искомая разность Т~ — То равна какой-либо величине с размерностью температуры (в качестве таковой выберем Гз2~с„), умноженной на функцию от В и Р: Т1 — То = — 1 (Рм Р).
(55.2) ср Легко определить вид этой функции в случае очень малых чисел Рейнольдса, т. е. достаточно малых скоростей 12'. Тогда член трЧТ в (55.1) мал по сравнению с 1СЬТ, так что уравнение (55.1) упрощается: (55.3) Температура и скорость испытывают заметное изменение па протяжении расстояний порядка размеров 1 тела. Поэтому оценка обеих частей уравнения (55.3) дает х(т, — та И~' Р с„Р Таким обржзом, приходим к результату, что при малых В. у.2 Т1 — Те = сопв1 Р—, (55.4) Вр где сопв$ численная постоянная, зависящая от формы тела.
Отметим, что разность температур оказывается пропорциональной квадрату скорости Г. Некоторые общие заключения о виде функции г"(Р, В) в (55.2) можно сделать и в обратном предельном случае больших В, когда скорость и температура меняются только в узком пограничном слое. Пусть б и б' расстояния, на которых меняются соответственно скорость и температура; д и б' отличаются друг от друга множителем, зависящим от Р. Количество тепла, выделяемое в пограничном слое в единицу времени благодаря вязкости, дается интегралом (16.3). Отнесенное к единице площади 303 ИА1'Ревапиь тв21А в движущвЙоя 2кидкос си поверхности тела, оно равно по порядку величины 22р(У/б)2о = = 12рГ2225.
С другой стороны, это тепло должно быть равно теплу, теряемому толом и равному потоку дТ Т,— Т, 12' Херр дп 5' Сравнив оба выражения, приходим к результату 522 Т1 — То = — 1" (Р) (55.5) ср Таким образом, и в этом случае функция 1 оказывается не зависящей от 11; зависимость же ее от Р остается неопределенной. Задачи 1. Определить распределение температуры в жидкости, совершающей пуазейлевское течение по трубе кругового сечения, стенки которой погрзерживаются при постоянной температуре Те.
Р е ш е н и е. В пилиндрических координатах с осью х по оси трубы имеем в, =12=2Р~1 — ( — ) ~, где е - - средняя скорость течения. Подстановка в (55.3) приводит к уравне- нию Решение етого уравнения, конечное при г = 0 и удовлетворяющее условию Т = Те при г = й, есть Т, — Т, =Пз — ~1 — ( — ") ~. 2. Определить разность температур между твердым шаром и обтекающей его жидкостью при малых числах Рейнольдса, теплопроводность шара предполагается большой. Р е ш е н и е. Выбираем сферические координаты г, 0, З2 с началом в цонтре шара и полярной осью вдоль направлопия скорости и натекающего потока.
Вычисляя компоненты тепзора дв,!дхс + дяь!дх, с помощью формул (15.20) и формулы (20.9) для скорости жидкости, обтекающей шар, получаем уравнение (53.3) в виде где 9 зР А = — и —. 4 с„ Ищем Т(г, д) в виде Т = 11г) соз' д Ч- 3Я 304 'Гкплопеоводиость в жидкостги гл. ч и получаем после отделения частей, зависящей и ие зависящей от В, два уравнения для ) и «р т ~о -Ь 2т~ — б~ = — А( — + ), о т 8' 4-2тк 4-2у = — А —. д то Из первого уравнения получаем /ЗДз Д' 1 Д'« с,Дз 1=А~ — + — — — — )+— 4гз т4 12 го гз «член вида сове« .
гз опускаем как не исчезающий на бесконечности), после чего второе приводит к решению ,«(3 Дз 1 Д' 1 До) с, Дз тоД вЂ” — — — — 4- — — 4- —— -~- сз 2 2 то Згз 18то Зтз Постоянные сы сз, сз определяются из условий /'дТ з Т=соавс и 1 — г вшВАВ=О при г=д, дт что эквивалентно требованию У«Д) = О, а'<Д) + — 1'«Д) = О, 3 на бесконечности должно быть Т = То Находим: 5 2 сз = — — А, сз = —.4, сз =То.
3 3 Для разности температур шара «Тз = Т«Д)) и жидкости «То) получаем 3 Тз — То = -Р—. 8 си 8 56. Свободнаи конвекция Мы видели в 3 3, что если в находящейся в поле тяжести жидкости имеет место механическое равновесие, то распределение температуры в ней должно зависеть только от высоты тп Т = = Т«в). Если же распределение температуры не удовлетворяет этому требованию, являясь в общем случае функцией всех трех координат, то механическое равновесие в жидкости невозможно. Больше того, даже если Т = Т«г), то механическое равновесие Заметим, что найденное распределение температуры оказывается удовлетворяющиги и условию дТ1дт = О при г = Л, т.
е. 1 «Д) = 8 «Д) = О. Поэтому оно является одновременно и решением той же задачи в случае малой теплопроводности шара. 305 своводпля конпккцкя все же может оказаться невозможным, если вертикальный градиент температуры направлен вниз и но абсолютной величине превышает определенное предельное значение Я 4). Отсутствие механи геского равновесия приводит к возникновению в жидкости внутренних течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое возникающее в поле тяжести движение называют свободной конвекцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
