VI.-Гидродинамика (1109684), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Внутри самой турбулентной области происходит интенсивный теплообмен, обусловленный сильным перемешивапием жидкости, которое характерно для всякого турбулентного движения. Такой механизм теплопередачи можно назвать 1уроулеш1- ной температуропроводпостью и характеризовать соответствующим коэффициентом С, рш подобно тому как мы ввели понятие о коэффициенте турбулентной вязкости й, ре Я 33).
По порядку величины коэффициент тпрбйлеятной температуропроводности определяется такой же формулой, как и и, рл (33.2)1 Хтурб Таким образом, процессы теплопередачи в ламинарном и турбулентном потоках являются при1щипиально различными. В предельном случае сколь угодно малых вязкости и теплопроводности в ламинарном потоке процессы теплопередачи вообще отсутствуют и температура жидкости в каждом мосте пространства не меняется. Напротив, в турбулентно движущейся жидкости в том жс предельном случае теплопсрсдача происходит и приводит к быстрому выравниванию температуры в различных участках потока. Рассмотрим сначала теплопередачу в ламинарном пограничном слое. Уравнения движения (39.13) сохраняют свой вид. Аналогичное упрощение должно быть произведено теперь и для уравнения (53.2).
Написанное в раскрытом виде это уравнение имеет вид (все величины не зависят от координаты к): ат т ~а'т О'тЛ ..— +,— =х~ . + Д,. К,ЧР. '1 йв2 ДУ1 296 Гл и твп.юпговодиость в жидкости В правой его части можно пренебречь производной двТ(дхв по сравнению с д Тггду2, так что остается о,— +о„— = Х вЂ”,.
дт ат д'т (54.1) ' д* " до до'-' Из сравнения этого уравнения с первым из уравнений (39.13) ясно,что если число Прандтля порядка единицы, то порядок вепичины б толщины слоя, в которолг происходит падение скорости о и изменение температуры Т, будет по-прежнему определяться полученными в 3 39 формулами, т. е. будет обратно пропорционален ъ~Й.Поток тепла дт т,— т, гг = — зг — зг а. д Поэтому мы приходим к результату, что д, а вместе с ним и число Нуссельта., прямо пропорционально ъ~й. Зависимость же к1 от Р остается неопределенной. Таким образом, получаем й1 = /ЙУ(Р).
(54.2) Отсюда, в частности, следует, что коэффициент теплопередачи о обратно пропорционален корню из размеров 1 тела. Перейдем теперь к теплопередаче в турбулентном пограничном слое. При этом удобно, как и в 3 42, рассмотреть бесконечный плоскопараллельпый турбулентный поток, текущий вдоль бесконечной плоской поверхности. Поперечный градиент температуры г1Т(г1у в таком потоке может быть определен из таких же соображений размерности, какие были использованы для нахождения градиента скорости г1игз1у. Обозначим через д плотность потока тепла вдоль оси р, вызванного наличием градиента температуры.
Этот поток является такой же постоянной (гге зависящей от о) величиной, какой является поток импульса гг, и наряду с ним может рассматриваться как заданный параметр, определяющий свойства потока. Кроме того, мы имеем теперь в качестве параметров плотность р и теплоемкость ср единицы массы жидкости. Вместо и введем в качестве параметра величину о„; д и с„обладают размерностями соответственно эрг/с. смв = гггс' ,3 и эрг/г град = см~Г'св град. Что касается коэффициентов вязкости и теплопроводности, то они при достаточно больших Н не могут входить в ЙТ(49 явно.
В силу упоминавшейся уже в 3 53 однородности уравнений по температуре можно изменить температуру в любое число раз без того, чтобы нарушить уравнения. Но прн изменении температуры должен во столько же раз измениться и поток тепла. Поэтому д и Т должны быть пропорциональны друг другу. Но из 9, о„, р, с„и 9 можно составить всего только одну величину, которая 297 твплопврьдлча в погрлпич~Ом слов имеет размерность град/см и в то же время пропорциональна д. Такой величиной является ЧДрсрп„у).
Поэтому должно быть ат Ч Ну рсрхе. у где рэ' есть числовая постоянная, которая должна быть определена экспериментально ') . Отсюда имеем Т = Д 11п у + с). (54 3) рррср ю Таким образом, температура, как и скорость, распределена по логарифмическому закону.
Входящая сюда постоянная интегрирования с, как и при выводе (42.7), должна быть определена из ушювий в вязком гюдшюе, Полная разность между температурой жидкости в данной точке и температурой стенки 1которую мы принимаем условно за пуль) складывается из падения температуры в турбулентном слое и ее падения в вязком подслое. Логарифмическим законом (54.3) определяется только первое из них. Поэтому, если написать (54.3) в виде Т = рэ' (1п — *+ сопв$), хрсре.
Х и введя под знаком логарифма множителем толщину уо, то сопв1 (умноженная на множитель, стоящий перед скобкой) должна представлять собой изменение температуры в вязком подсшое. Это изменение зависит, конечно, и от коэффициентов и и х. Поскольку сопв$ есть величина безразмерная, то она должна иметь вид некоторой функции от числа Р, являющегося единственной безразморной комбинацией, которук> можно составить из имею- ЩИХСЯ В НаШЕМ РаСПОРЯжЕНИИ ВЕЛИЧИН и, Х, Р, Ьм Ср (Чте Каеается потока тепла и, то оп не может входить в сопв1, поскольку Т должно быть пропорционально д, а д входит уже в множитель перед скобкой).
Таким образом, получаем закон распределения температуры в виде Т = 13 Ч ~1п — *у + ~(Р)1 (54.4) (Л.Д. Ландау, 1944). Эмпирическое значение постоянной Д в этом выражении; д — 0,9. Значение функции 7" для воздуха: 1"(0,7) 1,5. ) Здесь х — постоянная Кармана, входящая в логарифмический профиль скоростей (42.4). При таком определении д = и ре/Х ре, где и ре и Х грев коэффициенты в соотношениях 0Т ди Ч = усрХ хре '" = Р" кра —. ду ду 298 твплопроводпость п жидкости 1Р ХтурбЛ(ТЛ/Л) Подставив сюда Хтурб Л 1'турб Л ЛПЛ ~ ПЛ 1ВЛ) 1/3 (согласно (33.2) и (33.6)), получим искомый резулыат: Т2 ттб — 1!3Л2!3 Л ут~ (54.5) С помощью формулы (54.4) можно рассчитать тсплопередачу при турбулентнол1 течении по трубе, при обтекании плоской пластинки и т. п.
Мы пе станем останавливаться здесь на этом. Турбулентные пульсации температуры. Говоря выше о температуре турбулентной жидкости, мы подразумевали, конечно, ее усредненное по времени значение. Истинная же температура испытывает в каждой точке пространства крайне нерегулярное изменение со временел1, подобное пульсациям скорости. Будем считать, что существенное изменение средней температуры происходит на тех же расстояниях 1 (основной масштаб турбулентности), на которых меняется средняя скорость движения. К л1елкомасштабным (лласштабы Л « Ц пульсациям температуры можно применить те же общие представления и соображения подобия, которые были уже использованы при рассмотрении локальных свойств турбулентности в 8 33.
При этом будем считать, что число Р 1 (в противном слу.чае может оказаться необходимым введение двух внутренних масштабов, определенных по р и по Л). Тогда инерционный интервал масштабов является в то же время квнвекптвнблтт, --выравнивание температур в нем проис; ходит путем механического перемешивания различно нагретых «жидких частиц» без участия истинной теплопроводности; свойства температурных пульсаций в этом интервале нс зависят и от крупномасштабного движения.
Определим зависимость разностей температур Тл от расстояний Л в инерционном интервале (А.М, Обухов, 1949). Теплопроводностная диссипация энергии (в единице объема) дается выражением лт(уТ) 1Т (ср. (49.6) или ниже (79.1)). РазДелив его на Рср, полУчим величинУ У1тРТ)2(Т = ~Р(Т), опРеделяющую скорость диссипативного понижения температуры; предполагая турбулентные колебания температуры относительно малыми, можно заменить Т в знаменателе постоянной средней температурой. Введенная таким образом величина Эт представляет собой сщс один (наряду с в) параметр, определяющий локальные свойства турбулентности в неравномерно нагретой жидкости. Следуя изложенному в 8 33 способу (см.
текст после (33.1)), выражаем 1р через величины, характеризующие пульсации масштаба Л: твплопкгьдлчх В погглничиом слов Таким образом, для Л» Ле пульсации температуры, как и пульсации скорости, пропорциональны Лч ~. На расстояниях же Л < Лв температура стлаживается путем истинной теплопроводности.
На масштабах Л « Ло температура меняется плавно. Но тем же соображениям, что и для скорости (ср. (33.19)), разности 9 5 здесь пропорциональны Л. Задачи 1. Определить предельный закон зависимости числа Нуссельта от числа Прандтля в ламинарном пограничном слое при больших значениях Р и болыпих Ри Р е ш е н и е. При больших Р расстояние 6', на котором происходит изменение температуры, мшю по сравнению с толщиной б шюя, в котором происходит падение скорости ии (6' может быть названо толщиной температурного пограничного слоя). Порядок величины 6' может быль получен оценкой членов уравнения (54.1).
На расстоянии оз у = 0 до у 6' температура испытывает изменение порядка полной разности Т~ — То температур жидкости и твердого тела, а скорость и на том же расстоянии испытывает изменение порядка Пб'/6 (полное изменение порядка П скорость испытывает па расстоянии 6). Поэтому при у 6' елены уравнения (54.1) порядка величины — дТ х х, и,— дуз б'з дх б ! Сравнение обоих выражений дает 6'з 161/Г.
Подставляя 6 1/ъгВ, получаем 6 б'- НпзРПз Риз Таким образом, при болыпих Р толщина температурного пограничного слоя убывает по сравнению с толщиной скоростного пограничного слоя обратно пропорционально кубическому корню из Р. Поток тепла дТ Т,— То у= — х — х ду и окончательно находим предельный закон теплопередачи 1 ) з = сопя; . Кнзрпз. 2. Опредолить предельный вид функции ПР) в логарифмическом законе распределения температуры (54.4) при больших значениях Р. Р е ш е н и е. Согласно сказанному в з 42 поперечная скорость в вязком подслое порядка величины и. (у/уо)з, а масштаб турбулентного движения— ! ) Для реальных значений коэффициента теплопроводности различных веществ число Прандтля не достигает тех больших значений, для которых мог бы иметь место этот предельный закон. Такие законы, однако, могут быть применены к конвективной диффузии, описывающейся теми же уравнениями, что и копвективная тепвопередача,причем роль температуры играет концентрация растворенного вещества, роль теплового потока †.поток этого вещества, а д'иффузионное число Прандшлл определяется как Рп = и)Р, где Р— коэффициент диффузии.
Так, для растворов в воде и сходных жидкостях число Рп достигает значений порядка 10", а для растворов в очень вязких растворителях в 10 и более. б 3ОО гл. » твп.лош оводнооть в жидкости порядка у222уо. Турбулентная температуропроводностлп следовательно, Х ро -в.Уо( — ) -ы( — ) Уо Уо (мы воспользовались здесь соотнолпением (42.5)); Х,рро сравнивается по порядку величины с обычнылл коэффициентом Х, на расстояниях ул уоР— 12'4 Поскольку Х.„ро очень быстро растет с у,то ясно,что основное изменение температуры в вязком подслое происходит на расстояниях От стенки порядка У1 и его можно считать пропорциональным у1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
