VI.-Гидродинамика (1109684), страница 55
Текст из файла (страница 55)
е, при -+ О) это выражение, вообще говоря, обращается в бесконечность, что связано с непригодностью в этой области рассматриваемого приближения. Вблизи же задней заостренной кромки (т. е. при з — з О) первый член в (48.6) конечен: второй же член хотя, вообще говоря, и обращается в бесконечность, но лишь логарифмическим образом ') . Эта логарифмическая особенность связана с характером принятого здесь приближения и исчезает при более точном рассмотрении; никакой же степенной расходимости, в согласии с условием Чаплыгина, на задней кромке не оказывается.
Выполнение этого ушювия достигнуто соответствующим выбором использованной выше функции 811з). Формула (48.6) позволяет определить циркуляцию скорости Г вокруг профиля крыла. Согласно общему правилу (сы. з 10) Г определяется вычетом функции и'(л) относительно точки з = = О! являющейся ее простым полюсом. Искомый вычет легко определить как коэффициент при 111з в разложении функции и1'(в) по степеням 1/з бесконечно удаленной точки: ди~ Г гЬ 2кгз причем для Г получается простая формула (48.7) Отметим, что сюда входит только сумма функций 1,"1 и !',з. Можно сказать, что подъемная сила не изменится, ею!и заменить тонкое крыло изогнутой пластинкой, форма которой задается функцией (!',1 + ~Й)г!2.
Так, например, для крыла в виде плоской пластинки бесконечного размаха, наклоненной под малым углом атаки гз, имеем 1,1 = ~з = гт(а — х), и формула (48.7) дает Г = — ягтигз". Коэффициент 1юдьемной силы такого крыла равен Ся — — " — — 2ягт. — ГгГ 1,1зрГГза ') Эта расходимость отсутствует, если вблизи задней кромки 41 и Сз обрагааготся в нуль как (а — т), к > 1, т.
е, если угловая точка контура у заднего 1 его края есть точка возврата. ГЛАВА Ч ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В 2КИДКОСТИ й 49. Общее уравнение переноса тепла В конце з 2 было указано, что полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для жидкости., в которой имеют место процессы теплопроводности и внутреннего трения, одним из этих уравнений является по-прежнему уравнение непрерывности; уравнения Эйлера заменяются уравнениями Навье — Стокса. Что же касается пятого уравнения, то для идеальной жидкости им является уравнение сохранения энтропии (2.6).
В вязкой жидкости это уравнение, разумеется, не имеет места, поскольку в ней происходят необратимые процессы диссипации энергии. В идеальной жидкости закон сохранения энергии выражается уравнением 16.Ц; — ( — + ре) = — йг[рх ( — + ю)]. Слева стоит скорость изменения энергии единицы объема жидкости, а справа дивергенция плотности потока энергии. В вязкой жидкости закон сохранения энергии, конечно, тоже имеет место: изменение полной энергии жидкости в некотором объеме (в 1 с) должно быть по-прежнему равно полному потоку энергии через границы этого обьема.
Однако плотность потока энергии выглядит теперь иным образом. Прежде всего помимо потока рч(из~2+ щ), связанного с простым переносом массы жидкости при ее движении, имеется еще поток, связанный с процессами внутреннего трения. Этот второй поток выражается вектором -- (мсг) с компонентами п,сг,'„(см. З 16). Этим, однако, не исчерпываются все дополпительнйе члены в потоке энергии. Если температура жидкости не постоянна вдоль ее объема, то наряду с обоими указанными механизмами переноса энергии будет происходить перенос тепла также и посредством так называемой теплопроводности.
Под этим подразумевается непосредственный молекулярный перепое энергии из мест с более высокой в места с более низкой температурой. Он не связан с макроскопическим движением и происходгп также и в неподвижной жидкости. 270 ГЛ. " ТБПЛОНРОВОДНОСТЬ В >КИДКОС1ТИ Обозначим через с> плотность потока тепла, переносимого посредством теплопроводностн.
Поток с1 связан некоторым образом с изменением температуры вдоль жидкости. Эту зависимость можно написать сразу в тех случаях, когда градиент температуры в жидкости не слишком велик; практически в явлениях теплопроводности мы почти всегда имеем дело именно с такими случаями. Мы можем тогда разложить ц в ряд по степеням градиента температуры, ограничившись первыми членами разложения.
Постоянный член в этом разложении, очевидно, исчезает, поскольку с1 должно обращаться в нуль вместе с К1'. Таким образом, получаем (49.1) Постоянная >с называется п>еплопроводносгпью. Она всегда положительна, -- это видно уже из того, что поток энергии должен быть направлен из мест с более высокой в места с более низкой температурой, т. е. с~ и 17Т должны иметь противоположные направления. Коэффициент >с является, вообще говоря, функцией температуры и давления. Таким образом, полная плотность потока энергии в жидкости при наличии вязкости и теплопроводности равна сумме 1' 2 рч ~ — + ти) — (чо') — >с1~Т. Соответственно этому общий закон сохранения энергии выража- ется уравнением — (~ + ре) = — йт~рч( — + и>) — ссчст'') — >ТЧТ1.
(49.2) Это уравнение можно было бы выбрать в качестве последнего из полной системы гидродинамических уравнений вязкой жидкости. Удобно, однако, придать ему другой вид, преобразовав его с помощью уравнений движения. Для этого вычислим производную по времени от энергии единицы объема жидкости, исходя из уравнений движения. Имеем д ур'- ~ '> др дч д. др — ) — + рс) = — — + чр — + р — + е —. д~ 2 2 д8 д~ дй дй Подставляя сюда др/дб из уравнения непрерывности и 'дч7Ж из у равнения Навье — Стокса., получим — ~ — + ра) = — — йчрч — р(,М) — — ч"ч'р+ч1 ' + 5 д11, 1, д~ 2 2 2 дк1 дс + р — — еп>чрч.
д1 271 Оьщкк уРлвикпик пеРкиоеА теплА Воспользуемся теперь термодинамическим соотношением Йе = ТЙк — р Й'У' = ТЙв + — Йр, Рл откуда — = Т вЂ” + — — = Т вЂ” ' — — Йлу(рлг). дл дл р дл дл рл Подставляя это и вводя тепловую функцию ю = е+рл'р, находим — ( — + ре) = — (ю+ — ) Йлу(рл1) — р1ил7) — — лгл7р+ Ю дл 2 2 2 д ' + рТлзв +,„да,1. дл дкл Далее, из теРмоДинамического соотношениЯ Йю = ТЙк + ЙРл1Р иклесм 17р = рл7ю — рТ'7ж Последний же член в правой части равенства можно написать в виде д ил ' = лли;а,'ь) — а,'ь — ' = Й1У(ъ'а') — а,'ь ' дкь дкл ' ' ' дкл дхь Подставляя эти выражения, прибавляя и вычитая Йлу1хЧТ), по- лучим — ( —" + ре) = — Йлу рч ( — ' + ил) — Лча ) — х'7Т1 + + рТ( — + УЧУ ~ — ат — ' — Йлу(х~7Т).
(49.3) (д, / дК1 Сравнив это выражение для производной от энергии единицы объема с выражением 149.2), получим следующее уравнение: РТ( — '+ УЧа1 = а,ь " + Йлг(хЧТ). (49.4) (дл ~ ' дкл, Мы будем называть это уравнение общим ураеллением переноса илепла. При отсутствии вязкости и теплопроводности его правая часть обращается в нуль и получается уравнение сохранения энтропии (2.6) идеальной жидкости.
Нужно обратить внимание на следующее истолкование уравнения (49.4). Стоялцсе слова выражение есть нс что иное., как умноженная на рТ полная ллроизводная от энтропии по времени Йк/Й1. Последняя определяет изменение энтропии данной передвигающейся в пространстве единицы массы жидкости; ТЙК)Й2 272 ГЛ. " 'ГВПЛОНГОВОДНОСТЬ В 1КИДКОГ1ТИ есть, следовательно, количество тепла, получаемого этой единицей массы в единицу времени, а рТГ1В/Ж количество тепла, отнесенное к единице об'ьема. Из (49.4) мы видим поэтому, что количество тепла, .полу.
чаемого единицей объема жидкости, есть о ь ' + Жг(м'17Т). ' дх1 Первый член здесь представ.ляет собой энергию, диссипируемую в виде тепла благодаря вязкости, а второй тепло., приносимое в рассматриваемый объем посредством теплопроводности. Раскроем первый член в правой части уравнения (49.4), подставив в него выражение (15.3) для 1т,'.Ь1 дх, дх, (дх, дх~ 2 дв1 1 дм . ди ГГ1Г — = Ц вЂ” ~ — + — — -В1ь — ) + ч — 51ъ— дх,. дх,. ~,дх, дх, 3 ' дт,) дх1 ' дт.,' Легко проверить, что первый член может быть написан в виде 2 а во втором имеем '* б1гь — ' = 1,— * — ' = Цйт тГ)2. дх1 дх1 дх, дх1 Таким образом, уравнение (49.4) приобретает вид 1 2 + ~(йт и) . (49.5) В результате необратимых процессов теплопроводности и внутреннего трения энтропия жидкости возрастает. Речь идет при этом, конечно,. пе об энтропии каждого элемента объема жидкости в отдельности, а о полной энтропии всей жидкости, равной интегралу ) рВЛ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
