VI.-Гидродинамика (1109684), страница 50
Текст из файла (страница 50)
30); поскольку первый член в этом равенстве заведомо положителен, то тогда должно быть Веа1,1'а ) 0 фазовая скорость волны направ.лена направо. При этом резонансная точка д„, в которой фазовая скорость волны совпадает с местной скоростью течения, н(д, ) = гье а1/Й, лежит справа от точки до. Жидкие частицы, движущиеся в окрестности резонансной точки и обгоняющие волну, отдают сй энергию; частицы же, отстающие от волны, отбирают от нее энергию: волна будет усиливаться (неустойчивость), если первых частиц больше чем вторых ') . Но ввиду предполагаемой несжимасмости жидкости число частиц, приходящихся на элемент 11д ширины потока, пропорционально о1д, тем самым число частиц со скоростями в интервале пу пропорционально сгд = (дд,1'дп)дп = 11п/и'(д), т.
е. роль функции распределения по скоростям играет 11111'(д). Следовательно, для возникновения неустойчивости необходимо, чтобы при пересечении точки д„слева направо функция 111пз(д) возрастала, т. е. и'(д) убывала. Другими словами., должно быть пл(д„) < О, а поскольку в точке до производная пл положительна, то где-либо между точками до и д„должна быть точка перегиба профиля.
Аналогичным образом рассматривается (и приводит к тому же результату) случай, когда А < О, при этом фазовая скорость волны и скорость резонансных жидких частиц направлены налево. 3 42. Логарифмический профиль скоростей Рассмотрим плоско-параллельный турбулентный поток жидкости, текущий вдоль неограниченной плоской поверхности (когда мы говорим о плоско-параллельности турбулентного потока, то подразуегевается.конечно, усредненное по времени движение 1 ) По отношению к резонансным частицам движение в волне стационарно; поэтому обмен энергией между ними и волной не обращается в нуль при усреднении по времени (как это имеет место для других частиц, по отношению к которым движение в волне осциллирует). Отметим также, что указанное направление обмена энергией отвечает стремлению к уменьшению градиента скорости течения, и в этом смысле отвечает учету сколь угодно малой вязкости.
244 ПО1'Рлни'1пыЙ слОЙ ГЛ 1" в нем) '). Выберем направление потока в качестве оси т,плоскость стенки в качестве плоскости хя, так что у есть расстояние от стенки. Компоненты средней скорости вдоль осей у и я равны нулю: ия = и, ир — — и, = О. Перепад давления отсутствует: все величины зависят только от р. Обозначим буквой 1т силу трения, действующую на единицу поверхности стенки (и направленнуго, очевидно, по оси я). Величина 1т представляет собой не что иное, как импульс, передаваемый жидкостью твердой стенке; она является в то же время тем постоянным потоком импульса (точнее рэкомпоненты импульса), который направлен в отрицательном направлении оси у, и определяет количество импульса, непрерывно передаваемого от более удаленных от стенки слоев жидкости к менее удаленным. Наличие этого потока импульса связано, конечно, с наличием вдоль оси р градиента средней скорости и. Если бы жидкость двигалась везде с одинаковой скоростью, то никакого потока импульса в ней не было бы.
Можно поставить вопрос и обратным образом: зададимся некоторым определенным значением 1т и выясним, каково должно быть движение в жидкости данной плотности р, приводящее к потоку импульса 1т. Имея в виду получить асимптотические законы, относящиеся к очень большим числам Рейноггьдса, снова исходим из предположения, что в этих законах не должна фигурировать в явном виде вязкость жидкости и (она становится, однако, существенной на очень малых расстояниях у см, ниже). 'Таким образом, значение градиента скорости ди,1'14у на каждом расстоянии от стенки должно определгггься постоянными параметрами р, и и, разумеется, самим расстоянием у.
Единственной комбинацией требуемой размерности, которую можно составить из р, о и у, является (сг/р) н'/у. Поэтому должно быть (42.) ) 119 где введена удобная для дальнейшего величина о„(с размерностью скорости) согласно определению С1 = РП„, (42.2) а зг числовая постоянная (постол1111ал карма11а). значение м не может быть вычислено теоретически и должно быть определено из эксперимента. Оно оказывается равным ') ус = 0,4. (42.3) ') Излагаемые в 8 42 — 44 результаты принадлежат Т. Карману (1930) и Л.
Прандтлю (1932). ') Это значение (и значение еще одной постоянной в формуле (42.8) . см. ниже) получено из результатов измерений профиля скорости вблизи стенок труб и прямоугольных каналов и в пограничном слое па плоских стенках. 245 лО1ЙРиФми !еский ПРОФиль скОРОстей Интегрируя соотношение (42.1), получим (42.4) и = — '(1!Ту+ с), где с постоянная интегрирования. Для определения этой постоянной нельзя воспользоваться обычными граничными условиями па поверхности стенки: при у = О первый член в (42 4) обращается в бесконечность. Причина этого заключается в том, что написанное выражение становится в действительности неприменимым на очень малых расстояниях от стенки, поскольку при очень малых у влияние вязкости делается существенным и им нельзя пренебрегать.
Условия на бесконечности тоже отсутствуют; при у = оо выражсние (42.4) тоже делается бесконечным. Это связано с тем, что в поставленных нами идеализированных ус;тониях задачи фигурирует бесконечная поверхность степки, влияние которой простирается поэтому и на бесконечно большие расстояния. Прежде чем определить постоянную с, укажем предварительно на следующую существенную особенность рассматриваемого движения: оно не имеет никаких характерных постоянных параметров длины, которые могли бы определить масштаб турбулентного движения, как это имеет место в обычных случаях.
Поэтому основной масштаб турбулентности определяется самим расстоянием у: турбулентное движение па расстоянии у от степки имеет основной масштаб порядка величины у. Что же касается пульсацнонной скорости турбулентного движения, то она порядка величины и,. Это тожс следует непосредственно из соображений размерности, поскольку и, единственная величина с размерностью скорости, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении величин и! р, у.
Подчеркнем, что в то время как средняя скорость падает с уменьшением у, порядок величины пульсациопной скорости оказывается одинаковым на всех расстояниях от стоики. Этот рсзультат находится в согласии с общим правилом, что !юрядок величины пульсационной скорости определяется !л:лмепепием леи средней скорости Я 33). В рассл!атриваеыоы случае нет характерных длин 1, на которых можно было бы брать изменение средней скорости, ели должно быть теперь разумным образом определено, как изменение и при изменении расстояния у на величину порядка его самого. Но при таком изменении у скорость и меняется согласно (42.4) как раз на величину порядка ил.
На достаточно малых расстояниях от стенки начинает играть роль вязкость жидкости; обозначим порядок величины этих расстояний через уш Определить уо можно следующим образом. Масштаб турбулентного движения на этих расстояниях порядка уш а скорость порядка и„.
Поэтому число Рейнолльдса, хаРактеРизУющее движение на РасстоЯпиЯх -Уо, есть В, - У!оп„!!Р. 246 ПО1'Рлии'п1ыЙ слОЙ ГЛ 1" Вязкость начинает играть роль при Н 1. Отсюда находим, что уо и!и», (42.5) чем и определяется интересующее нас расстояние. На расстояниях у « уо движение жидкости определяется обычным вязким трением.
Распределение скоростей здесь может быть получено прямо из обычной формулы для вязкого трения: ся о =рм — '', ад откуда в и = — у = — у. (42.6) РР Р Таким образом, непосредственно к стенке прилегает тонкая прослойка жидкости, в которой средняя скорость меняется по линейному закону. Величина скорости во всей этой прослойке мала она меняется от нуля на самой стенке до значений и, при у уо. Эту прослойку называют вязким пос)слоем. Никакой сколько-нибудь резкой границы между вязким подслоем и остальным потоком, конечно, нет; в этом смысз1е понятие о вязком подслое имеет лишь качественный характер.
Подчеркнем, что и в нем движение жидкости турбулентно ') . В дальнейшем движением в вязком подшюе мы не будем интересоваться вовсе. Наличие его надо учесть только соответствующим выбором постоянной интегрирования в (42.4): она должна быть выбрана так, чтобы было и и„на расстояниях у уо. Для этого надо положить с = — 1пдо, так что и = — 1и — ". (42.7) Эта формула определяет 1при ограниченных у) распределение скоростей в турбулентном потоке, текущем вдоль твердой стенки. Такое распределение называют .логарифмическим профилем скоростей е) .
В формуле (42.7) под знаком логарифма должен был бы на самом деле стоять еще некоторый числовой коэффициент. В написанном виде опа имеет, как говорят, лишь логарифмическую точность. Это значит, что аргумент логарифма предполагается настолько большим, что и сам логарифм велик. Введение пеболь- ) В этом с»1ысле все еще иногда применяемое название»ламинарного подслоя» не адекватно.
Сходство с ламинарным движением заключается только в том, что средняя скорость распределена по такому же закону, по которому была бы распределена истинная скорость при ламинарном движении в тех же условиях. Пульсанионное движение в вязком подслое обнаруживает своеобразные особенности, не имеющие еще адекватной теоретической интерпретации. 1) Изложенный простой вывод логарифмического профиля дан Л.Д. Лан- деу 11944).
247 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ СКОРОСТЕЙ стояниях от стенки, в том числе в обла- 28 сти, промежуточной между областями применимости формул (42.6) и (42.8). 11а 24 рис. 31 приведен график функции 11С) в 20 полулогарифмическом 1десятичном) масштабе. Сплошные линии 1 и 8 отвечают соответственно формулам 142.6) и 142.8); штриховая кривая - эмпирическая зависимость в промежуточной области (она 4 простирается примерно от С -5 до С -30), 0 Легко определить диссипацию энер- йг 10г 104$ 10 гни в рассматриваемом турбулентном поРис. 31 токе. Величина а представляет собой среднее значение компоненты Пх„тензора плотности потока импульса. Вне вязкого подслоя в Пх„можно опустить член с вязкостью, так что П .„= ро.
о„. Введя пульсациопную скорость ъ' и помня, что средняя скорость направлена по оси х, имеем ох = = и+ о', ов — — о„'. Тогда ') т = Р>охо, ) = Р(о' о„') + Ри(о„') = Р(о' о„'). 142.10) ) Теизор потока импульса, переносимого турбулентнылги пульсациями, называют теизором рейнвльдсввых нвнрлхсеннй; зто понятие было введено Рейггвльдевле 10. Кернв1де, 1895). шаго численного коэффициента под знаком логарифма в 142.7) эквивалентно прибавлению к написаннолгу выражению дополнительного члена вида соп81.о„, где соп81 -- число порядка единицы; в логарифмическом приближении таким членом пренебрегается по сравнению с членом, содержащим большой логарифм. Фактически, однако, аргумент логарифма в рассматриваемых здесь и ниже формулах все же не очень велик, а потому и точность логарифмического приближения не высока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
