VI.-Гидродинамика (1109684), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Движение в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным. Здесь мы рассмотрим свойства ламипарного пограничного слоя. Граница этого слоя не является, коне гно, резкой, и переход между ламинарным движением в нем и в основном потоке жидкости происходит непрерывным образом. Падение скорости в пограничном слое обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости, которой нельзя пренебречь здесь, несмотря па большие значения В.. Математически это проявляется в том, что градиенты скорости в пограничном слое велики и потому вязкие члены в уравнениях движения, содержащие производные от скорости по координатам, велики, несмотря на малость и ') . Выведем уравнения движения жидкости в ламинарном пограничном слое.
Для простоты вывода рассмотрим двумерное обтекание жидкостью плоского участка поверхности тела. Эту плоскость выберем в качестве плоскости тв, причем ось х направлена по направлешпо обтекания. Распределение скорости не зависит от координаты я; в-компонента скорости отсутствует. ) Идея и основные уравнения теории ламинарного пограничного слоя были сформулированы Прандтлем (Ь. Рганвм', 1904). 224 погглиичпый слой гл гг Точные гидродинамические уравнения Навье — Стокса и уравнение непрерывности, написанные в компонентах, принимают вид: + "), (39Ц + '," ), (39.2) дг, 1 дп /д'и, +ил — ' — — — — — + и~ "д„д* (,д* +' у — = — — — +р( д|Э ~дг ~д пэ "дд рду ( дх' дх дд дги Ю дх (39.
3) — ~=0, дд (39.4) т. е. можно считать, что в пограничном слое нет поперечного градиента давления. Другими словами, давление в пограничном слое равно давлению р(х), имеющемуся в основном потоке жидкости и являющемуся при решении задачи о пограничном слое заданной функцией от х.
В уравнении (39.1) можно теперь написать вместо др/дх полную производную Нр(х)/с~х; эту производную можно выразить с помощью скорости бг(х) основного потока. Поскольку вне пограничного слоя движение потенциально, то справедливо уравнение Бернулли р+ рГт/2 = сопв1, откуда Движение предполагается стационарным, и потому производных по времени не пишем. Ввиду тонкости пограничного слоя ясно, что движение в нем будет происходить в основном параллельно обтекаемой поверхности, т. е.
скорость пл будет мала по сравнению с и (это видно уже и непосредственно из уравпепия непрерывности). Вдоль направления оси д скорость меняется быстро заметное изменение ее происходит на расстояниях порядка толщины й пограничного слоя. В направлении же оси х скорость меняется медленно; заметное изменение ес происходит здесь на протяжении расстояний порядка характеристической длины 1 задачи (скажем., размеров тела). Поэтому ее производные по д велики по сравнению с производными по х. Из сказанного следует, что в уравнении (39.1) можно пренебречь производной д~п„/дхв по сравнению с д и.„/дд, а сравнивая первое уравнение со вторым, мы видим, что производная др/дд мала по сравнению с др/дх (по порядку величины в отношении и, /п ).
В рассматриваемом приближении можно положить просто 225 1зэ ламинлРный ИОРРАничныЙ слой Таким образом, получаем минарном пограничном слое систему уравнений движения в лауравнения Прандтля в виде да ду р4х 4х (39.6) ду ди, ди, Нх + Ну дх ду ди., дх Граничные ущювия к этим уравнениям требуют обращения в нуль скорости на стенке: ух=Ну — — О пРи У=О.
(39.7) При удалении от стенки продольная скорость должна асимптотически приближаться к скорости основного потока: у = П(х~ при у — ! оо (39.8) — '+ —" = О. (39.10) дх' ду' В Л. д. Лиидау и Е.М. Лифшиц, хои у! (постановка жс отдельного условия для уу на бесконечности не требуется). Можно легко показать, что уравнения (39.5), (39.6) (выведенные для обтекания плоской степки) остаются справедливыми и в более общем случае двумерного обтекания тела (попере п1ое обтекание бесконечно длинного цилиндра произвольного сечения).
При этом х есть расстояние, отсчитываемое по длине линии контура поперечного сечения тела от некоторой его точки, а у— расстояние от поверхности тела (по нормали к ней). Пусть Уо характеристическая скорость данной задачи (например, скорость на бесконечности натекающего на тело потока жидкости). Введем вместо координат х, у и скоростей у, еу безразмерные переменные х', у', н', н„' согласно определениям: У = ! УХ = С'О"Х! 1 1 ' 1 С1оир (39.9) Ь'а! (и соответственно полагаем 11' = УЙ11' ) ! где В. = —.
Тогда урави нения (39.5), (39.6) принимают вид х дх' 1У ду' ду" 4х' ' Эти уравнения (а также и граничные условия к ниа1) не содержат вязкости. Это значит, что их решения не зависят от числа Рейнольдса. Таким образом, мы приходим к важному результату; при изменении числа Рейнольдса вся картина движения в пограничном слое подвергается .лишь подобному преобразованию, при котором продольные расстояния и скорости остаются неизменными, а поперечные меняются обратно пропорционально корню из К. 226 погглничпый слой гл гг Далее, можно утверждать., что получающиеся в результате решения уравнений (39.10) безразмерные скорости и', и„', как не зависящие от Н, должны быть порядка величины единицы. Из формул (39.9) можно, следовательно, заключить, что ии ~о! Ж (39.11) т, е, отношение поперечной скорости к продольной обратно пропорционально ъ~й.
То же самое относится к тполи1ине пограничного слоя б: в безразмерных координатах х', у' толщина б' 1, а в реальных координатах х, у; б 1/ъ~й. (39.12) Применим уравнения пограничного слоя к обтеканию плоской полубесконечной пластинки плоско-параллельным потоком жидкости (Н. В1аг1иг, 1908). Пусть пластинка совпадает с полу- плоскостью хл, соответствующей х ) 0 (так что передним краем пластинки является линия х = 0). Скорость основного потока в этом случае постоянна: Г = сопв1.
Уравнения (39.5), (39.6) принимают вид (39. 13) дх и ду ду-' ' дх ди В решениях уравнений Прандтля величины и /Г и иих хф(~Ъ))'Дг могут быть., как мы видели, функциями только от х' = х/1 и у' = у(Г~1ы)'~г. Но в задаче о полубесконечпой пластинке нет никаких характерных параметров длины 1. Поэтому и /Г может зависеть только от такой комбинации х' и у', которая не содержала бы 1; таковой является Что же касается ию то здесь функцией от у'/ъ~Р должно быть произведение о' ъ~хй Р Чтобы сразу учость связь между и„и и,, выражаемую уравнением непрерывности, введем функцию тока уг согласно определению (10.9); (39.14) 6х Указанным выше свойствам функций и (х, у) и ии(х., у) отвечает функция тока вида 4 = ъ~хиГ~(~), ~ = у (39.15) 227 лАминлРный ИОРРАничныЙ слой Тогда ни = 77~'Я, ня — — — — (с7" — 7).
(39.16) О ! 2 3 4 5 7'® = б — р', р' = 1 72, (39.21) причем погрел!ность этого выражения, как можно показать, экспоненциально мала. Сила трения, действующая па единицу площади поверхности пластинки, равна н С!4 112 1т „ = й †' = 11( †) (Н(0) Уже без количественного определения функции 7" (С) можно сделать следующий существенный вывод. Основной характеристикой движе1пля в пограничном гшое является распределение в нем продольной скорости н, (поскольку ИР мала).
Эта скорость возрастает от нуля на поверхности пластйнки до определенной доли 77 при определенпохл значении С. Поэтому тложпо заключить, что толщина пограничного слоя на обтекаемой пластинке (определенная как значение р! на котором и /17 достигает определенного значения 1) порядка величины б ~/ти/Г.
(39.17) Таким образом, толщина пограничного слоя возрастает пропорционально корню из расстояния от края пластинки. Подставив (39.16) в первое из уравнений (39.13) получим уравнение для функции 7(С): О" + 2~'н = О. (39.18) Граничные же условия (39.7), (39.8) запишутся в виде ~(0) = ~'(0) = О, ~'(оо) = 1 (39.19) (распределение скоростей, очевидно, симметрично относительно плоскости р = 0; поэтому достаточно рассмотреть сторону й ) 0).
Уравнение (39.18) должно решаться численными методами. График получающейся у <~~ таким образом функции ~'® изображен Йа на рис. 27. Мы видим, что ~'(б) весьма быстро стремится к своему предельному зна- Е 4 чению.--к единице. Предельный вид самой функции ((~) при малых (: )'(~) = -с1(~+ 0(~'), а = 0,332: (39 20) Рис. 27 членов с б~ и с~ в этом разложении пе может быть, в чем легко убедиться из уравнения (39.18).
Предельный же вид функции при больших б: 228 погелни'п1ый слОЙ 1'Л 1Ч ИЛИ (39.22) (39.26) 1 ) Приближение пограничного слоя неприменимо у переднего края пластинки, где б > л. Это обсгоятельство, однако, несущественно при вычислении полной силы г' ввиду быстрой сходимости интеграла на нижнем пределе. Если пластинка имеет длину 1 (вдоль оси х), то полная действующая па пее сила трения (отнесенная к единице длины вдоль края пластинки) равна Г = 2 / с;рс1х = 1;28ъ/т1рГР (39.23) о множитель 2 учитывает наличие двух сторон пластинки) ') .
)тметим, что сила трения оказывается пропорциональной полуторной степени скорости натекающего потока. Формула (39.23) применима, конечно, только для длинных пластинок, для которых чишю В, = ИС1и достаточно велико. Вместо силы обычно вводят коэффициент сопротивления как безразмерное отношение С= (39.24) ',С рГ1. 21 Согчасно (39.23) эта величина при ламинарном обтекании пластинки обратно пропорциональна корню из числа Рейнольдса: С = 113282 ~1~. (39.25) В качестве точно определенной характеристики толщины пограничного слоя можно ввести так называемую толщину оыьчесненил б' согласно определению Гб* = / (ССà — о ) 119. о Подставив сюда оя из (39.16), имеем "= Я/~ -1о11 = убзс-111о1 о и с учетом предельного выражения (39.21): б' = Д1 — = 1,72, (39.27) Выражение в правой части определения (39.26) есть «дефицита расхода жидкости в пограничном слое по сравнению с тем, ЛАыиаАРный погРАничныи слой 229 что было бы в однородном потоке со скоростью У.
Поэтому можно сказать, что б* есть расстояние, на которое обтекающий поток оттесняется наружу. от пластинки из-за замедления жидкости в пограничном слое. С этим оттеснением связано и то обстоятельство, что поперечная скорость иэ в пограничном слое стремится при у -э оо не к нулю, а к конечному значению гк — — — — ~(~' — ~]( = — — = 0,86 —. (39.28) Полученные выше количественные формулы относятся, конечно, только к обтеканию пластинки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
