VI.-Гидродинамика (1109684), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Ландау (1944). ) Вопрос о том, должны ли флуктуации е отразиться даже на виде корреляционных функшсй в инерционной области, вряд ли может быть надежно решен до построения последовательной теории турбулентности (этот вопрос был поставлен колмогоровым А.Н.,1~' д. Г1шд МесЬ. 1962. 1!. 13. Р. 77 и Обуховым А.М. (там же, р.
82)). Существующие попытки ввести связанные с этим фактором поправки в закон Колмогорова-.Обухова основаны на гипотезах о статистических свойствах диссипации, степень правдоподобности кОторых трудно Оценить. Одно уравнение (34.20) связывает две независимые функции В„„и В,„, и потому, само ~о себе, не дает возможности найти эти функции.
Появление в нем корреляционных функций сразу двух порядков связано с нелинейностью уравнения Навье — Стокса. По этой же причине вычисление производной по времени от корреляционного тепзора третьего ранга привело бы к уравнению, содержащему также и корреляционную функцию четвертого порядка, и т.
д. Таким образом, возникает бесконечная цепочка уравнений. Получить таким способом замкнутую систему конечного числа уравнений без каких-либо дополнительных предположений невозможно. Сделаем еще следующее общее замечание ') . Можно было бы думать, что существует принципиальная возможность получить у.ниверсальпую (применимую к любому турбулентному движению) формулу., определяющую величины В„, Вс! для всех расстояний г, малых по сравнению с 1. В действительности, однако, такой формулы вообще не может существовать, как это явствует из следующих соображений. Мгновенное значение величины (п2; — п1,)(пяй — п1ь) можно было бы, в принципе.
выразить универсальным образом через диссипацию энергии с в тот же момент времени. Однако при усреднении этих выражений будет существенным закон изменения е в течение периодов крупномасштабных (масштабы 1) движений, различный для различных конкретных случаев движения. Поэтому и результат усреднения не может быть универсальным ') .
Интеграл Лойцянского. Перепишем уравнение (34.20), введя в него вместо функций Вг„В|тг функции Ьгг! Ь! и г! 201 кОРРвляциОиные Функции скОРОствй Ьпг й. = — — у Ьг„г йг. 2l о о Поскольку Ь„„+ 2ЬЦ = (у,уя) то интеграл (34.24) можно пред- ставить в виде Л = — — / гв(ъ"1уг) Л' 4К ./ (34.25) (где ПР' = и (л1 — хз)). Этот интеграл тесно связан с моментом импульса жидкости, находящейся в состоянии однородной и изотропной турбулентности. Можно показать (на чем мы останавливаться нс будем), что квадрат полного момента импульса М жидкости, заключенной в некотором большом объеме Р' (выделенном в неограниченной жидкости) есть М = 4яр Лу'; тот факт, что М растет пропорционально Ъ"~-, а не у', связан с тем, что М является суммой большого числа статистически независимых слагаемых (моментов импульса отдельных небольших участков жидкости) с равными нулю средними значениями.
Значение М~ в заданном объеме у' может меняться за счет взаимодействия с окружающими областями жидкости. Если бы это взаимодействие достаточно быстро убывало с расстоянием, то оно представляло бы собой для рассматриваемой части жидкости поверхностный эффект.
Тогда времена, в течение которых Мз могло бы претерпеть значительное изменение, росли бы вместе с размерами объема Р"; эти времена и размеры должны рассматриваться как сколь угодно большие, и в этом смысле М сохранялось бы. Указанное условие тесно связано с условиями достаточно быстрого убывания корреляционных функций, сформулированными при выводе (34.24) из (34.23). Но в рамках теории несжимаемой жидкости существуют основания сомневаться в их соблюдении. Физическое основание для этого состоит в бесконечной скорости распространения возмущений в несжимаемой жидкости. Математически это свойство проявляется в интегральном характере зависимости распределения давления в жидкости от распределения скоростей: если рассматривать правую часть уравнения (Л.Г. Лойилиский, 1939). Этот интеграл сходится, если функция Ь,„убывает на бесконечности быстрее, чем г ", а чтобы оп действительно сохранялся, функция Ь„„, должна убывать быстрее, чем г Функции Ь„, и Ьи связаны друг с друтом таким же соотношением (34.5), как и В„и Вн.
Поэтому имеем (при тех же усновиях) 202 т х Р Б у л к н ем ! о с т ь гг! н! (15.11) как заданную, то реп!ение этого уравнения: р ад«с,(') к(') Л" Р(г) = — 1 4я ./ дг', дг'„~г — г'~ В результате любое локальное возмущение скорости мгновенно отражается на давлении во всем пространстве; давление же влияет на ускорение жидкости и тем самым на дальнейшее изменение скоростей. Естественная постановка задачи для выяснения этого вопроса состоит в шседующем: пусть в начальный момент времени (1 = О) создано изотропное турбулентное движение, в котором функции 5!еь(г, 1) и б,е !(г, 1) экспопенциально убывают с расстоянием. Выразив давление через скорости по написанной формуле, можно затем с помощью у.равпений движения жидкости пытаться определить характер зависимости производных по времени от корреляционных функций (в момент 1 = О) от расстояния при г э оо.
Тем самым определится и характер зависимости от г самих корреляционных функций при 6 ) О. Такое исследование приводит к следующим результатам ') . Функция Ьгг(г, 1) при 6 ) 0 убывает на бесконечности не медленнее, чем г 6 (а возможно, что и экспоненциально). Поэтому интеграл Лойцянского сходится. Функция же Ь,г, убывает лишь как г 4. Это значит, что Л пе сохршгяется. Его производная по времени оказывается некоторой отличной от нуля отрицательной (как результат эмпирического факта отрицательности бгг г) функцией времени. Эта функция целиком связана с инерционными силами.
Естественно думать, что по мере затухаяия турбулентности роль этих сил падает, и в заключительной стадии ими можно пренебречь по сравнению с вязкими силами. Таким образом, Л убывает (момент импульса равномерно «растекается» по бесконечному пространству), стремясь к постоянному значению, принимаемому им на заключительной стадии турбулентности.
Отсюда возникает возможность определить для этой стадии закон изменения со временем основного масштаба турбулентности 1 и ее характерной скорости о. Оценка интеграла (34.25) дает Л н215 = сопв1. Еще одно соотношение получим из оценки скорости убывания энергии путем вязкой диссипации. Диссипация е пропорциональна квадрату градиентов скорости; оценив последние как н!!1, имеем е и(!!/1)2. Приравняв ее производной с1(нз),1с11 оз,сб (1 отсчитывается от начала заключительной ') См.
Ргоийтог! 1., Неи1 и!.Н. /! Р1н!. Тганэ. Ноу. Вес. 1954. 1г. Л247. Р. 163: Во!сб«1ог С.К., Ргоийтоп!., там же: 1956. Ч. Л248, Р. 369. Изложение этих работ дано также е кнс Монин А.С., Я«лом А.М. Статистическая гидромеханика. — 54.: Наука. 1967. Т. 2. 3' 15.5., 15.6. 203 КОРРВЛЯЦИОНИЫЕ ФУНКЦИИ СКОРООТВЙ стадии затухания), получим 1 (РР) 1 и затем и = сопв$6 — 5,!4 (34.26) (М.Д. М11ллиог11циков, 1939). Спектральное представление корреляционных функций.
Наряду с рассмотренным в предыду.щем параграфе координатным представлением корреляционных функций, методически и физически интересно также и спектральное (по волновым векторам) их представление. Оно получается разложением в пространственный интеграл Фурье: В1Р(г) = ~В1ь(1к)е.'~' ., Вл(1с) = / В1Р(г)е 1~'11зт (2К)Р ' (мы обозначаем спектральную корреляциош1ую фупкци1о В1Р(1с) тем жс символом В1т с другой независимой переменной волновым вектором 1с). Поскольку в изотропной турбулентности В16( — г) = В1т(г) ло В1ь(1с) = В1ь( — И) = В,*.„(1с), т. е. спектральные функции В,Р(1с) вещественны.
При г — Р ОО функции В,Ь(г) стремятся к конечному пределу, даваемому первым членом в (34.4). Соответственно этому, их фурье-компоненты содержат Й-функциопный член: В1ь(й) — (2л)зб(1с)(п~) 261Р(1с) (34 27) Компоненты же с 1с ~ О для функций В1ь и — 261ь совпадают друг с другом. Дифференцирование по координатам л1 в координатном представлении эквивалентно в спектральном представлении умножению на гйь Поэтому уравнение непрерывности дбт(г)/ди, = О сводится в спектральном представлении к условию поперечности тензора б,ь(1с) по отношению к волновому вектору: Ь,б, (1с) = О. (34.28) В силу изотропии, тепзор б,ь(1с) должен выражаться только через вектор 1с и единичный тензор б;Р.
Общий вид такого симметричного тензора, удовлетворяющего условию (34.28), есть б,;а(1с) = Г1~)(й) (б,~ — * '), (34.29) где ГОО(6) вещественная функция от абсолютной величины волнового вектора. Аналогичным образом определяется спектральное представление корреляционного тензора третьего ранга, причем тензор В,Н(к) выражается через 61Р 1(к) формулой (34.11); б-функционпого члена эти тензоры не содержат. Уравнение непрерывности 204 ТЯРБУЛИ1ГГИОСТЬ ГЛ П1 дд;в !(г) ггдт! = 0 приводит к условию поперечности спектрально- го тензора д,ь !(1с) по его третьему индексу: 6!д,ь,!(1с) = О. (34.30) Общий вид такого тензора: дзв !(1с) = гг(а)(й)(он — '+ ды — ' — 2 ' ' '). (34.31) Поскольку дгь !( — г) = — д,ь !(г), спектральные функции дгв !(1с) мнимы; в (34.31) введен множитель зг так что функция г'(З) (6)--- вегцественная. Уравнение (34.19) в спектральном представлении записывается как — дггв()с) = здХ[дгдз()с) + ды,г()с)) 21!6 дгь()с)' Подставив сюда (34.29) и (34.31), получим (34.33) ') 11риведенные ниже рассуждения нерефразируют вывод, данный в У, 1 122.
'~ ":" = -26Г~а)(6, 1) -2М2Г~2)(6, 1). (34.32) дз Функция г'12)()с) имеет важный физический смысл. Для его выяснения подойдем к определению спектральной корреляционной функции в несколько более ранней стадии ') . Введем спектральное разложение самой пульсирующей скорости и(г) по обычным формулам разложения Фурье: гт(Г) = /М~,Е'"" —, Ий = / Ъ.(Г)Е гйт11ЗК (2я)з Последний интеграл фактически расходится, поскольку тг(г) не стремится к нулю на бесконечности. Это обстоятельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов. Корреляционный тензор дгь(г) выражается через фурье-компоненты скорости интегралов! ,~зй,~здг дн(г) = ~~(и!йгг!м)ей "' ~ (2а)е Для того чтобы этот интеграл был функцией только от разности г = гз — г1, подыптегральное выражение в нем должно содержать б-функцию от суммы )с+ )с', т.
е, должно быть (гггйпд,г) = (2гг)а(ггго!)и 6(1с+ 1с'). (34.34) 205 КОРРНЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРООТНЙ 1 34 Это выражение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символически как (н;н~)ю Подставив (34.34) в (34.33) и устранив б-функцию интегрированием по дзк', находим, что ~КР бн(г) = /(ИЛ)ке (2К)' т. е. величины (н,,о~)к совпадают с фурье-компонентами корреляционной функции бн(г); тем самым они симметричны по индексам г', 1 и вещественны. В частности, б„(1с) = (у )к, причем мы можем теперь утверждать, что эта величина положительна, как это очевидно йз ее связи согласно (34.34) с положительной величиной (укък ) = (~ук~ ) -средним квадратом модуля фурье- компоненты пульсирующей скорости. Значение корреляционной функции б„(г) при г = О определяет средний квадрат скорости жидкости в какой-либо (любой) точке просгранства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
