VI.-Гидродинамика (1109684), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Оно выражается через спектральную функцию формулой (у ) б„(г О) / би()с) или, подставив сюда бн(1с) из (34.29) (Уз) )''б4г)(б) ~'й 1' б)з)(б)~. Ь'~~ (34 3 2,/ (2н)Р 2 (2Н)~ а После всего сказанного выше смысл этой формулы очевиден: положительная величина Рнв)(й))'(2я)з представляет собой спектральную плотность кинетической энергии жидкости (отнесенной к единице массы) в )с-пространстве. Энергия же, .заключенная в пульсациях с величиной волнового вектора в интервале Жс, есть Е(Й) дй, где Е® = "' Г(')(б), (34.36) Первый член в правой части уравнения (34.32) возникает как фурье-компонента первого члена в правой части уравнения (34.19).
При т -+ О последний сводится к производной ( — ) ( — )-— н1ь нпнп 7 + (нп И1ьни 7 (вини нн) о.„l ~ 'а„ а.п и обращается в нуль в силу однородности. В спектральном представлении это значит, что / ИГР) (б) 1'б = О, (34.37) так что функция Г(а)(к) зпакопеременна. 206 гя ва лш! гность Гш и! Уравнение (34.32) имеет простой смьнгн оно представляет баланс энергии различных спектральных компонент турбулентного движения.
Второй член в правой части отрицателен; оп определяет убыль энергии, связанную с диссипацией. Первый же член (связанный с нелинейным членом в уравнении Навье— Стокса) описывает перераспределение энергии по спектру ее переход от спектральных компонент г меньшими к компонентам с большими значениями к. Спектральная (по и) плотность энергии Е(гс) имеет максимум при к 1/1; в области вблизи максимума (область энергии см.
3 33) сосредоточена большая часть полной энергии турбулентного движения. Плотность же диссипируемой энергии 2М~Е(к) максимальна при й 1/Ло, в области диссипации сосредоточена бблыпая часть полной диссипации. При очень больших числах Рейнольдса обе эти области раздвинуты далеко друг от друга и между ними находится инерционная область. Проинтегрировав уравнение (34.32) по пзк/(2я)3! мы получим в его левой части производную по времени от полной кинетической энергии жидкости; эта производная совпадает с полной диссипацией энергии — ю Таким образом, находим следующее «условие нормировкиа функции Е(Й)! 2п ~ 1с~ Е('и, 1) «1к = ю (34.38) о В инерционном интервале волновых чисел (1/1 « и.
« 1/Ло) спектральные функции (как и корреляционные функции в координатном представлении) можно считать независящими от времени. Согласно (33.13) в этой области Е1к) = С ~!~к а!3 (34.39) где С! . постоянный коэффициент. Этот коэффициент связан с коэффициентом С в корреляционной функции В,„Я = С(ег)~!3 (34.40) равенством С! = 0,76С (сы.
задачу). Их эмпирические значения: С 2, С! 1!5 ') . При этом отношение )В,„„)/В~~~в = (4/5)С3!~ 0,3. Задача Связать друг с другом коэффициенты С и С! в формулах (34.39), (34.40) для корреляционной функции и спектральной плотности энергии в инерционной области. ! ) Большинство экспериментов относится к атмосферной и океанической турбулентности.Числа Рейнольдса в этих измерениях доходят до 3 10~.
207 туРьь'лннтнАя Оьлос!Ть н явления о'!'РыВА Р е ш е н н е. Функции 11 В„Я = 2В,! (г) -Ь В„„(г) = — В,Дг) 3 (использована связь (34.6)) и В„Я = — 26„(й) = — 4ГЩ!(й) = — — Е1е) (А ф 0) связаны интегралом Фурье В„(х) = / В„(г)е '"" !)ох. Если волновой вектор лежит в инерционной области (1!!1 « й « 1!!Ло), то наличие оспиллирующего множителя обрезает интеграл сверху на расстояниях г 1!е «1. Па малых же расстояниях интеграл сходигся, поскольку В„'1г) -э 0 при г — ! О. Поэтому Фактически интеграл определяется областью расстояний, лежащих в инерционной области (Ло « г « 1), так что можно подставить в него В,(г) из (34 40), распространив в то же время интегрирование по всему пространству.
В интеграле 1 = / г ~ее ' "!1 я производим сначала интегрирование по направлениям г н находим 1 = — 1п! / гн е' ' Нг = / б»7 енс16. l »!!го / о о Оставшийся интеграл берется путем поворота пути интегрирования в плоскости комплексного переменного б с правой вещестненной на верхнюю мнимую полуось. В розультате получим 4г! 1 0х й!!Гз ОГ<1!!3) Собрав полученные выражения, находил! окончательно С! = С = 0,76 С. 27Г(1/3) 3 35.
Турбулентная область и явление отрыва Турбулентное движение является, вообще говоря, вихревым. Однако распределение завихрснности вдоль объема жидкости обнаруживает при турбулентном движении 1при очень больших В.) существенные особенности. Именно, при «стационарном» турбулентном обтекании тел весь объем жидкости можно обычно разделить на две области, отграниченные одна от другой. В одной из них движение является вихревым, а в другой завихренность отсутствует, и движение потенциально. Завихренность оказывается, таким образом, распределенной не по всему обьему жидкости, а лишь по его части (вообгце говоря, тоже бесконечной). Возможность существования такой отграниченной области вихревого движения является следствием того, что турбулентное 208 тхгьхлюггность гг! 111 движение может рассматриваться как движение идеальной жидкости, описывающееся уравнениями Эйлера 2) .
Мы видели Я 8), что для движения идеальной жидкости имеет место закон сохранения циркуляции скорости. В частности, если в какой-нибудь точке линии тока ротор скорости равен нулю, то это имеет место и вдоль всей этой линии. Напротив, если в какой-нибудь точке линии тока гоб хг ф- О, то он отличен от нуля вдоль всей линии тока. Отсюда ясно, что наличие отграниченных областей вихревого и безвихревого движения совместимо с уравнениями движения, если область вихревого движения представляет собой область, за границы которой не выходят находящиеся внутри нее линии тока.
Такое распределение завихренности оудет устойчивым, и завихренность не будет проникать за поверхность раздела. Одним из свойств области вихревого турбулентного движения является то, что обмен жидкостью между нею и окружающим пространством может быть только односторонним.
гКидкость может втекать в нее из области потенциального движения, но никогда не вытекает из нее. Подчеркнем, что приведенные здесь соображения не могут, конечно, рассматриваться как сколько-нибудь точное доказательство высказанных утверждений. Однако наличие отграниченных областей вихревого турбулентного движения, по-видимому, подтверждается опытом. Как в вихревой, так и в безвихревой областях движение турбулентно.
Однако характер этой турбулентности совершенно различен в обеих областях. Для выяснония происхождения этого различия обратим внимание на следуюьцее общее свойство потенциального движения, описывающегося уравнением Лапласа гЬу = О. Предположим, что движение периодично в плоскости ху, так что у2 зависит от х и у посредством множителя вида ехр 2 2(йгсе + ига~~); тогда дг дэ, д 22+ д, гггг+кг~ дх' дуэ и поскольку сумма вторых производных должна быть равна нулю, ясно., что вторая производная по координате я равна у, умноженному на положительный коэффициент: д-~р/да~ = й~~р.
Но тогда зависимость 2р от х будет определяться затухающим множителем вида е ьх при я ) 0 (неограниченное возрастание, как е"', очевидно, невозможно). Таким образом, если потенциальное движение периодично в некоторой плоскости, то оно должно быть затухающим вдоль перпендикулярного к этой плоскости ) Границей применимости этих уравнений к турбулентному движению являются расстояния порядка Ле. Поэтому и о резкой границе между областями вихревого и безвихревого движений можно говорить только с точностью до таких расстояний. 'ГУРЬУЛЕНТНЛЯ ОВЛЛСТЬ И ЯВЛЕНИЯ ОТРЫВА 209 направления. При этом чем больше й! и йг, т.
е, чем меньше период повторяемости движения в плоскости лу, тем быстрее затухает движение вдоль оси г. Эти рассуждения остаются качественно применимыми и в тех случаях, когда движение не является строго периодическим, а лишь обнаруживает некоторую качественну.ю повторяемость. Отсюда вытекает следующий результат. Вн! области вихревого движения турбулентные пульсации должны затухать, причем тем быстрее, чем меньше их масштаб. Другими словами, мелкомасштабные пульсации не проникают глубоко в область потенциального движения. В результате заметную роль в этой области играют лишь самые крупномасштабные пульсации, затухающие на расстояниях порядка величины размеров (поперечных) вихревой области, как раз играющих в данном случае роль основного масштаба турбулентности.
На расстояниях, бблыпих этих размеров, турбулентность практически отсутствует и движение можно считать ламинарпым. Мы видели, что диссипация энергии при турбулентном движении связана с наиболее мелкомасштабными пульсациями; крупномасштабные движения заметной диссипацией пе сопровождаются, с чем и связана возможность применения к ним уравнения Эйлера.
Ввиду сказанного выше мы приходим к существенному результату, что диссипация энергии происходит в основном лишь в области вихревого турбулентного движения и практически не имеет места вне этой области. Имея в виду все эти особенности вихревого и безвихревого турбулентного движений, мы будем в дальнейшем для краткости называть область вихревого турбулентного движения просто областью турбулентного двиа!сенил или турбулент!!ой областью. В следующих параграфах будет рассмотрена форма этой области для рмличпых случаев.
Турбулентная область должна быть ограничена с какой-нибудь стороны частью поверхности обтекаемого жидкостью тела. Линию, ограничивающую эту часть поверхности тела, называют линией отрыва. От нее отходит поверхность раздела между областью турбулентности и остальным обьемом жидкости.
Самое образование турбулентной области при обтекании тела называют явление.ч отрь!ва. Форма турбулентной области определяется свойствами движения в основном обьеме жидкости (т. е. не в непосредственной близости от поверхности тела). Не существующая пока полная теория турбулентности должна была бы дать принципиальную возможность определения этой формы с помощью уравнений движения идеальной жидкости, если задано положение линии отрыва на поверхности тела. Действительное же положение линии отрыва определяется свойствами движения в непосредственной близости поверхности тела (в так называемом погра- 210 тя ьялюпность гт! и1 ничном слое), где существенную роль играет вязкость жидкости (сы, 'з' 40). Говоря (в следующих параграфах) о свободной границе турбулентной области, мы будем подразумевать, естественно, ее усредненное по времени положение.
Мгповеиное же положение границы представляет собой очень нерегулярную поверхность; эти нерегулярные искажения и их изменение со временем связаны в основном с крупномасштабными пульсациями и соответственно простираются в глубину на расстояния, сравнимые с основным масштабом турбулентности. Нерегулярное движение граничной поверхности приводит к тому, что фиксированная в пространстве точка потока (не шэишком удаленная от среднего положения поверхности) будет оказываться попеременно по ту или другуэо сторону границы. При наблюдении картины движения в втой точке будут обнаруживаться попеременные периоды наличия или отсутствия мелкомасштабной турбулентности ') .
й 36. Турбулентная струя Форма, а также и некоторые другие основные свойства турбулентных областей в ряде случаев могут быть установлены уже с помощью простых соображений подобия. Сюда относятся прежде всего различного рода свободные турбулентные струи, распространяющиеся в заполненном жидкостью же пространстве (Ь. Ргап!4!1, 1925). В качестве первого примера рас- смотрим турбулентную область, воз— никающую при отрыве потока с края угла, образованного двумя пересека--й а! — — ющимися бесконечными плоскостями (на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
