VI.-Гидродинамика (1109684), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Общий вид такого симметричного тензора второго ранга есть (34.2) В,ь = А(г)д;ь + В(г)п;пы где и единичный вектор в направлении г. Для выяснения смысла функций А и В выберем координатные оси так, чтобы одна нз них совпала с направлением п. Компоненту скорости вдоль этой оси обозначим как нг, а перпендикулярную п составляющую скорости будем отличать индексом 1. ') Это понятие было введено Тэйлором (б.1. Тор)ог, 1935).
э) Под усреднением в определении (34.1) надо при этом, строго говоря, понимать не усреднение по времени, а усреднение по всем возможным положениям точек 1 и в (при заданном расстоянии между ними) в один и тот же момент врсмени. 195 КОРРНЛЯЦИОННЫЬ ФУНКЦИИ СКОРООТИЙ Компонента корреляционного тензора В„, есть тогда среднее значение квадрата относительной скорости двух частиц жидкости в их движении навстречу друг друту.
Компонента же Вп есть средний квадрат скорости вращательного движения одной частицы относительно другой. Поскольку и, = 1, гй = О, то из (34.2) имеем В„„=А+В, В„=А, Вм=о. Выражение (34.2) можно теперь представить в виде Вйй = Вп(г)(д;й — пгпй) + В„„(г)п,пй. (34.3) Раскрыв скобки в определении (34.Ц, имеем Вгй (ньФИ1й) + (н2>н2й) (нпн2й) (н>йнзг). Ввиду однородности, средние значения произведения и,и>й в точках 1 и 2 одинаковы, а ввиду изотропии среднее значение (нпнзй) не меняется при перестановке точек 1 и Й (т. е. при изменении знака разности г = гв — г>); таким образом, 1 2 (НПН>й) (НЕ>Ней) = (Н )н1й~ (Ннеэй) = (НаФН>й) Поэтому В,й = — (ие)дРй — 2е,й, 51й = (нпнзй).
(34.4) Вспомогательный симметричный тензор б,й обращается в нуль при г — > сс; действительно, скорости турбулентного движения в бесконечно удаленных точках можно считать статистически независимыми, так что среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений каждого множителя в отдельности, равных пулю по условию. Продифференцируем выражение (34.4) по координатам точки Й: дВ,Р 2 дй,й 2 дгм ) — — Нн. дхйй дх>й 1 дхм Но в силу уравнения непрерывности имеем дней/дхзй = О, так что —" = О.
д*йй Поскольку В,й являются функциями только от разности г = гг — г~, то дифференцирование по хзй эквивалентно дифференцированию по хй. Подставив для В;й выражение (34.3), получим после простого вычисления: В' +2(В В ) — О 196 ГЛ П1 тмеьилшгшюсть (де1, доз, ) дхп дхм (д де21) О дхп дхм Поскольку эти равенства справедливы при сколь угодно малых г, ъ1ожно положить в них г1 = гя„после чего они дают — = 15а, — "' — ' = О. С другой стороны, согласно (16.3) имеем для средней диссипации энергии е= — — '+ —" =и — * + — ' —" =15аи, откуда а = е/(15и) ') .
В результате находим окончательно с11едующие формулы, определяющие корреляц1лонные функции че- ') Отметим, что для изотропной турбулентности средняя диссипация связана со средним квадратом завихренности простым соотношением: Ответ) ) = — (( — — ) ) = —. (п1трих означает дифференцирование по г). Таким образом, продольная и поперечная корреляционные функции связаны друг с другом соотношением В 1111 2В ) 134.5) 2г Ит Согласно 133.6) разность скоростей на расстоянии г в инерционной области пропорциональна гпз. Поэтому корреляционные функции В„и Вн в этой области пропорциональны гм'.
При этом из (34.5) получается спедуюгцее простое соотношение: Ви Все '1Ло « 1 « 1) (34.6) 3 Для расстояний жег «Ло разность скоростей пропорциональНа Г И, СЛЕдОВатЕЛЬНО, В„г И ВИ ПрОПОрцИОНаЛЬНЫ Г2. ФОрМуЛа (34.5) приводит теперь к соотношению В11 = 2В. (т'« Ло).
134.7) Для этих расстояний Ви и В„„могут еще быть выражены через среднюю диссипацию энергии е. Пишем В„„= аг (где а— 2 постоянная) и, комбинируя 134.3), (34.4) и (34.7) находим 1 2 2 а 5,Ь = — 1п )б;Ь вЂ” аг 51ив + — х1ха Дифференцируя это соотношение, получаем 197 1 34 КОРРНЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРООТНЙ (34.8) С' + -(С + Р) = О.
(гт(ЗС + 2Р + Е)]' = О, Интегрирование первого дает ЗС+ 2Р+ г' = —, Но при г = 0 функции С, .О, В должны обращаться в нуль, поэтому надо положить сопв$ = О, так что ЗС+ 2Р+ Е = О. Из обоих полученных таким образом уравнений находим Р = — С вЂ” -гС', г' = гС' — С. (34.13) 2 рез диссипацию энергии: 22 2 2 Вп= — г, В„= — г 15Р 15Р (А.Н. Колмогоров, 1941). Далее, введем корреляционный тензор третьего ранга В219 ((Н22 Н12)(озь Н2ь)(о22 Н12))2 (34 9) и вспомогательный тензор Ь2ь 2 = ((н12Н1ьо22)) = — ((нзгпзьо12)), (34.10) Последний симметричен по первой паре индексов (второе равенство в определении (34.10) связано с тем, что перестановка точек 7 и й эквивалентна изменению знака г, т.
е. инверсии координат и потому меняет знак тензора третьего ранга). При г = О, т. е. при совпадении точек 7 и 2, тензор Ь2в 2(0) = 0 среднее значение от произведения нечетного числа компонент пульсирующей скорости обращается в нуль. Раскрыв скобки в определении (34.9)2 выразим тензор В2Ь1 через Ь.Ь б В1Р1 = 2(Ь22 2 + Ьн ь + Ь21 2). (34.11) ПРи г — Р оо тензоР Ь2ь б а с ним и В2ы, стРеммтсЯ к нУлю.
В силу изотропии, тензор Ь.ь 2 должен выражаться через единичный тензор д,ь и компоненты единичного вектора и. Общий вид такого тензора, симметричного по первой паре индексов, есть Ь11 1 = С(г)41ьп1 + Р(г)(бнпь + Ьып1) + У(г)221пьпь (34.12) Дифференцируя его по координатам точки Й получим в силу уравнения непрерывности до22 Ь,ь 2 = 221,н2Р ) = О. див дхв Подстановка же сюда выражения (34.12) приводит, после простого вычисления, к двум уравнениям 198 ТУРБУЛЮ!"!'!!ОСТЬ Гл и! Подстановка (34.13) в (34.12) и затем в (34.11) приводит к выражению В,й! = — 2(гС' + С)(51йп! + 5ппй + 5мп;) + 6(гС' — С)п,пйп1.
Направив снова одну из координатных осей по направлению вектора и, получим для компонент тензора В!й! В ° = — 12С! В !1 = — 2(С+ гС ), В..! = Вгн = О (34.14) Отсюда видно, что между отличными от нуля корреляционными функциями В,н и В„„имеется соотношение В„п = — — (гВ„„). ( 5) б !1г Ниже нам понадобится также и выражение тепзора 5!й ! через компоненты тензора В,ы. С помощью (34.12) (34.14) находим 1 1 ! 51й,1 = Вттгб!йп! + — (! В!т! + 2В! Рг) (бг1пй + !)й1пг) 12 24 — — (гВ„',„— В,г,,)п,пйп1.
(34.16) Соотношения (34.5) и (34.15) следствия одного лишь уравнения непрерывности. Привлечение же динамического уравнения движения -- уравнения Навье-.Стокса -- позволяет установить уравнение, связываюп1ее друг с другом корреляционные тензоры В,й и В1м (2!1. Каггаап, Ь. Ношаг1Л, 1938; А.Н. Колмогоров, 1941).
Для этого вычисляем производную д51й/дг (напомним, что полностью однородное и изотропное турбулентное движение непременно затухает со временем). Выразив производные дп1!/дй и дпзй/дй с помощью уравнения Навье — Стокса, получим д д д 1 д — (П1РП2й) = — — (П1!П1ГВ2й) — (П1гв2йв2!) (Р1ь2й) д1 дх! дай! ' р д*ь (Р2а11) + П1~1(Р1!Р2й) + 1!~12(П1!гв2й) (34.17) 1 д 1 дтм Корреляционная функция давления н скорости равна нулю: (р1У2) = О.
(34.18) Действительно, в силу изотропии эта функция должна была бы иметь вид / (г)п. С другой стороны, в силу уравнения непрерывности 61У2(р1У2) = (р1ЖУ2У2) = О. Но единственным вектором вида /(г)п и с равной нулю дивергенцией является вектор соней. и/г; такой вектор не удовлетворяет условию конечности при г = О и потому должно быть гоняй = О. 199 КОРРВЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРООТНЙ Заменив теперь в (34.17) производные по хп и х2;производными по — х; и х,, получим уравнение — Ьггь = — (дн ь + ды;) + 2иМ,р. д д (34.19) Сюда надо подставить бгь и б,ь ~ из (34.4) и (34.16).
Производная по времени от кинетической энергии единицы массы жидкости, (н2)/2, есть не что иное, как диссипация энергии — е. Поэтому д (Рг) — — = — -е. аз з' Простое, но довольно длинное вычисление приводит к следую- щему уравнению '): 3 2 дй бг" дг ггдг1, дг / Величина В„, как функция времени существенно меняется лишь за время, отвечающее основному лчасштабу турбулентности ( 1/и). По отношению к локальной турбулентности основное движение может рассматриваться как стационарное (как это было уже отмечено в О 33).
Это значит, что в применении к локальной турбулентности в левой части уравнения (34.20) можно с достаточной точностью пренебречь производной дВгг/д2 по сравнению с е. Умножив остающееся уравнение на г и проинтегрировав его по г (с учетом обращения корреляционных функций в нуль при г = О), получим следующее соотношение между Вгг и В,„,: дВ,, Вггг = — — ег+ бгг 5 дг (34.21) (А.Н. Колмогоров, 1941) .
Это соотношение справедливо при г как ббльших, так и меньших чем Ло. При г )) ЛО член, содержащий вязкость, мал и мы имеем просто 4 В„„, = — — ег. 5 (34.22) Если же подставить в (34.21) при г « Ло выражение (34.8) для В„, то получится нуль, это связано с тем, что в этом случае должно быть В,„„ос г, так что члены первого порядка должны в сократиться.
) Б рсэультате вычиСления этп уравнениЕ пОлучается путем умножЕния обеих частей уравнения на оператор (1+ '/ггд/дг). Но поскольку единственное решение уравнения у -'Р Уггду/дг = О, конечное при г = О, есть у = О, то этот оператор можно опустить. 200 гл и! тк ьхлшщ'ность "' = — — ~„2вг "' +г~Ь„,). (34. 23) Умножив это уравнение на г4, проинтегрируем его по г от 0 до оо. Выражение в квадратных скобках равно нулю при т = О. Пола- гая, что оно обращается в нуль также и при г — ь оо, найдем, что Л = / г4Ь„. с6. = согж1 о (34. 24) ) Оно было высказано Л.Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
