VI.-Гидродинамика (1109684), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Разумеется, для поддержания «стационарного» состояния потока необходимо наличие внешних источников энергии, непрерывно передающих ее основному крупномасштабному движению. Поскольку вязкость жидкости су.щественна только для самых мелкомасппабных пульсаций, то можно утверждать, что все величины, относящиеся к турбулентному движению в масштабах Л» Ло, пе могут зависеть от и (более точно, эти величины пе должны меняться при изменении и и неизменных остальных условиях, в которых происходит движение). Это обстоятельство сужает круг величин, определяюших свойства турбулентного движения, в результате чего для исследования турбулентности приобретают большое зна гение соображения подобия, связанные с размерностью имеющихся в ншпем распоряжении величин. Применим такие соображения к определению порядка величины диссипации энергии при турбулентном движении.
Пусть е есть среднее количество энергии, днссипирусмой в единицу времени в единице массы жидкости ') . Мы видели, что эта энергия черпается из крупномасштабного движения, откуда постепенно передается во все меныпис масштабы, пока нс диссипируется в пульсациях масштаба Ло. Поэтому, несмотря на то, что диссипация обязана в конце концов вязкости жидкости, порядок величины е может быть определен с помощью одних только величин, характерных для крупномасштабных движений. Таковыми являются плотность жидкости р, размеры 1 и скорость Ьи. Из этих трех величин можно составить всего одну комбинациид обладающую той же размерностью, что и е. т. е. эргДг с) = ем~~'с . Таким способом получаем (33.1) чем и определяется порядок величины диссипации энергии в турбулентном потоке.
Турбулентно движущуюся жидкость можно в некоторых отношениях качественно описывать как жидкость, обладающую ') В этой главе буква е будет обозначать среднюю диссипацию энергии, а ие виутреииюю эиергию жидкости! 188 гм ьмлшггность ГЛ Н1 некотоРой, как говоРЯт, гггоРбУле1гтгго11 вязкостью ьт рб, отличной от истинной кинематической вязкости и. Характеризуя свойства турбулентного движения, гг, рб должно по порядку величины определяться величинами р, Ьи, Е Единственной составленной из них величиной с разь!ерцостью кинематической вязкости является Ьи . 1, поэтому Ьи.й (33.2) Отношение турбулентной вязкости к обычной гг, рб/и К, (33.3) т. е. растет с числом Рейнольдса ') .
Диссипация энергии выражается через гг, рб формулой е ит рб(г'гиг'1), (33.4) в соответствии с обычным определением вязкости. В то время как и определяет диссипацию энергии по производным от истинной скорости по координатам, турбулентная вязкость связывает диссипацию с градиентом ( Лиг!1) средней скорости движения. Наконец, укажем, что порядок величины гзр изменения давления на протяжении области турбулентного движения тоже может быть определен из соображений подобия: ~Р Р(~11) э (33.5) Стоящее справа выражение единственная величина размерности давления, которую можно составить из р, 1 и сзи. Перейдем теперь к изучению свойств развитой турбулентности в масштабах Л, лгалых по сравнению с основным масштабом Е Об этих свойствах говорят как о локальных свойствах турбулентности.
При этом мы будем рассматривать жидкость вдали от твердых стенок, — точнее, па расстояниях от них, больших по сравнению с Л. О такой мелкомасштабной турбулентности вдали от твердых тел можно высказать естественное предположение, что она обладает свойствами однородности и изотропии. Последнее означает, что в участках, размеры которых малы по сравнению с 11 свойства турбулентного движения одинаковы по всем направлениям; в частности, они не зависят от направления скорости усредненного движения. Подчеркнем, что здесь и везде ниже в этом параграфе, где говорится о свойствах турбулентного движения в ') В действительности в этол! отношении должен стоять еще довольно значительный численный коэффициент.
Это связано с указанным выше обстоятельством, что 1 и Гти могут довольно заметно отличаться от истинных масштабов и скоростей турбулентного движения. Более точно можно нанисат!я и урб! Р ВрГгг«р где учитывается, что ргхре и р должны в действительности сравниваться не цриК 1,ацриВ К„р. 189 Развитая туРнульнтнос'1'ь малом у!астке жидкОсти, подразум!>вается ОтносительнОО движение жидких частиц в этом участке, а не абсолютное движение, в котором принимает участие весь участок в целом и которое связано с движением более крупных масштабов. Оказывается возьюжным получить ряд существенных результатов о локальных свойствах турбулентности непосредственно из соображений подобия СА.Н.
Кола>ого)>ов, 1941; А.М. Обухов, 1941) . Для этого выясним предварительно, какими параметрами могут вообще определяться свойства турбулентного движения в участках, малых по сравнению с 1, но больших по сравнению с расстояниями Ло, на которых начинает играть роль вязкость жидкости; ниже будет идти речь именно о таких расстояниях. Этими параметрами является плотность р жидкости и, кроме того, еще одна характерная для турбулентного потока величипа-- энергия г, диссипируемая в единицу времени в единице массы жидкости.
Мы видели, что г представляет собой поток энергии, непрерывно передаваемой от пульсаций с ббльшими к пульсациям с меньшими масштабами. Поэтому, хотя диссипация энергии и обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости и происходит в самых мелкомасштабных пульсациях, тем не менее величина г определяет свойства движения и в ббльших масштабах. Что касается масштабов 1 и >ли размеров и скорости движения в целом, то естественно считать, что (при заданных р и г) локальные свойства турбулентности от этих величии не зависят. Вязкость жидкости» тоже не может входить ни в какие интересующие нас теперь величины (напоыинаеы., что речь идет о расстояниях Л» Ло). Определим порядок величины ол изменения скорости турбулентного движения на протяжении расстояний порядка Л.
Оно должно определяться только величиной г и, разумеется, самим расстоянием ') Л. Из этих двух величин можно составить всего одну комбинацию с размерностью скорости: (СЛ) '>'. Поэтому можно утверждать, что должно быть 1>л - (еЛ) 'г'. (33.6) Таким образом, изменение скорости на протяжении малого расстояния пропорционально кубическому корню из этого расстояния (аакс>н Колмогорова -Обухова).
Величину ой можно рассматривать и как скорость турбулентных движений масштаба Л: изменение средней скорости на малых расстояниях мало по сравнению с изменением пульсационной скорости на этих же расстояниях., и им можно пренебречь. ) Величина е имеет размерность эргДР с) = см !с, не содержащую размерности массы; единственной величиной, содержащей размерность массы, является плотность р. Поэтому посщедпяя вообще по участвует в составлении величин, разьюрность которых не содержит размерности массы.
190 Гл 111 тн ьвлшпяость (шЛ Л2 е Л Л откуда и получается 133.6). Поставим теперь вопрос несколько иначе. Определим порядок величины о изменения скорости в заданной точке пространства, испытываемого ею в течение промежутка времени т, малого по сравнению с характеристическим временем Т 17'и движения в целом. Для этого замечаем, что благодаря наличию общего течения каждый данный участок жидкости в продолжение промежутка времени т перемещается в пространстве на расстояние порядка произведения ти средней скорости и на время т.
Поэтому в данной точке пространства по истечении времени т будет находиться участок жидкости, который в начальный момент был удален от этой точки на расстояние ит. Искомую величину о, хюжно, следовательно, получить, подставляя в 133.6) ти вместо Л: от '1еит) ~'. 133.7) От величины о следует отличать изменение о' скорости данного перемещающегося в пространстве участка жидкости. Это изменение может, очевидно., зависеть только от величины е, определяющей локальные свойства турбулентности, и, разумеется, от величины самого интервала времени т. Составляя из е и т комбинацию размерности скорости, получаем для искомого изменения о, '1ет) ~ . 133.8) В отличие от изменения скорости в заданной точке пространства оно пропорционально квадратному, а не кубическому корню из т.
Легко видеть, что при т (( Х изменение о~ всегда меныпе изменения о, ') . С помощью выражения 133.1) для е можно переписать формулы 133.6), 133.7) в виде (Л) Ое о„(т) О" 133.9) В такой записи ясно видно свойство подобия локальной турбулентности: мелкомасштабные характеристики различных тур- ) Неравенство о~ << о, по существу, уже подразумевалось прн выводе 133.7). К соотношению 133.6) можно прийти и другим путем, выражая постоянную величину диссипацию е через величины, характеризующие пульсации масштаба Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
