VI.-Гидродинамика (1109684), страница 33
Текст из файла (страница 33)
По ходу траекторий эти направления должны меняться в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменыпится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить пе только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его плоп1ади. В результате сечение пучка разбивается на систему вложенных друг в друга полос, разделенных пустотами. С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) чи1ло полос быстро возрастает, а их ширины убывают.
Возникающий в пределе 1 — э оо аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа пе касающихся друг друга слоев — поверхностей, на которых располагаются седловые траектории (своими притягивающими направлениями обращенные «наружу» аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом; каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по пропюствии достаточно большого времени пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодпчности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулкь По математической терминологии, такие множества по одному из направлений относятся к категории кпнгпоровььт..
Именно канторовость структуры следует считать наиболес характерным свойством аттрактора и в более общем случае и-мерного (и > 3) пространства состояний. Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в дру- 167 стглнпый лттглктог том пространстве меныпей размерности. Поатеднее определяется следующим образом. Разобьем все и-мерное пространство на малые кубики с длиной ребра е и объемом ен. Пусть Ж1е) --. минимальное чисао кубиков, совокупность которых полностью покрывает аттрактор. Определим размерность |) аттрактора как пеел' рд ) 131.3) е — гО !и 11 IЯ) Существование этого предела означает конечность обьема аттрактора в Р-мерном пространстве:при малом е имеем Х(е)— ) е (где Ъ' --постоянная), откуда видно, что Х1е) можно рассматривать как число Р-мерных кубиков, покрывающих в П-мерном пространстве обьем Г.
Определенная согласно (31.3) размерность не может, очевидно, превьппать полную размерность п пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной; именно такова она для канторовых множеств в) . Обратим внимание на следующее важное обстоятельство.
Если турбулентное движение уже установилось (течение «вышло на странный аттрактор»), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меныпей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем за большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюпией во времени принадлежащего аттрактору элемента «об"ьемав (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться —.
его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора. Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний. ) Эта величина известна в математике как предельная емкость множества. Ее определение близко к определению так называемой хаусдорфовой (илн фрактальной) размерности. г ) Покрывающие множество и-мерные кубики могут оказаться «почти пустымигч именно поэтому может быть 11 ( и, Для обычных множеств определение (31.3) дает очевидные результаты.
Так, для ьшожества Х изолированных точек имеем Х(е) = Х и Р = О; для отрезка ь линии: Х(е) = Ь/е, В = 1; для площадки Ь' двумерной поверхности: Х(е) = Я/ ~, 11 = 2, и т. д. 168 гл 111 тя ьялшпяость Другими словами, предполагаем, что индивидуальная траектория воспроизводит свойства атграктора, если двигаться по ней бесконечно долгое время.
Пусть х = хо(1) уравнение такой траектории, одно из решений уравнений (31.1). Рассмотрим деформацию есферического» элемента объема при его перемещении вдоль этой траектории. Она определяется у.равнениями (31.1), линеаризованными по разности с = х — хо(1) отклонению траекторий, соседних с данной. Эти уравнения, написанные в компонентах, имеют вид б(') = А, (1)~( ), А, (1) = ~~ . (31.4) дх'"' я=хе(1) При сдвиге вдоль траектории элемент объема в одних направлениях сжимается, в других растягивается и сфера превращается в эллипсоид. По мере движения вдоль траектории как направления полуосей эллипсоида, так и их длины меняются; обозначим последние через 1а(1), где индекс з нумерует направления. Ляпуноескими характеристическими показателями называют предельные значения А, = 1)гп — 1п '( ), (31.5) г-эж 1 1(0) ' где 1(0) -- радиус исходной сферы (в момент времени, условно выбранный как 1 = 0).
Определенные таким образом величины вещественные числа, число которых равно размерности и пространства. Одно из этих чисел (отвечающее направлению вдоль самой траектории) равно нулю ') . Сумма ляпуновских показателей определяет среднее вдоль траектории изменение элементарного об"ьема в пространстве состояний. Локальное относительное изменение объема в каждой точке траектории дается дивергенцией с(1ух = с(1у~ = Ан(1). Можно показаттч что среднее вдоль траектории значение дивергенции '): 1пп — / с(1у с г11 = ~ Аа с — эоо19 о а=1 (31.6) Для диссипативной системы эта сумма отрицательна объемы в и-мерном пространстве состояний сжимаются.
Размерность же ) Разумеется, решение уравнений (314) (с заданными начальными условиями при 1 = О) фактически описывает соседшою траекторию лишь до тех пор, пока все расстояния 1,(1) остаются малыми. Это обстоятельство, одиако., ие лишает смысла определеиие (31.5), в котором используются сколь угодно большио времена: для всякого большого 1 можно выбрать иагтолько малое !(О), что липеаризоваииые уравнения останутся справедливыми для всего этого времени.
е) Смл Оселедец В.И. О Тр. песковск. матем. Общества. 1968. Т. 19. С. 179. пягкход к туеьклентггости странного аттрактора определим таким образом, чтобы в «его пространствеа объемы в среднем сохранялись. Для этого расположим ляпуновские показатели в порядке Лг > Лз > ...
> Ав и учтем столько устойчивых направлений., сколько надо для компенсации растяжения сжатием. Определенная таким образом размерность аттрактора (обозначим ее через РД будет лежать между гп и гп+1, где гп число показателей в указанной посчедовательности, сумма которых еще положительна, но пошге прибавления Ьо,«1 становится отрицательной г) . Дробная часть размерности Рь = т+ д (д ( 1) находится из равенства га ~~'1;,,+ б „д=О (31.7) «=г (11 1сс1гарргег, 1981).
Поскольку при вычислении аг учитываются лишь наименее устойчивые направления (отбрасываготся наиболыпие по абсолютной величине отрицательные показатели Ь, в конце их последовательности), то даваемая величиной Вв оценка размерности есть, вообще говоря, оценка сверху.. Эта оценка открывает, в принципе, путь для определения размерности атграктора по экспериментальным измерениям временного хода пульсаций скорости в турбулентном потоке. й 32. Переход к турбулентности путем удвоения периодов Рассмотрим теперь потерю устойчивости ггериодическилг движением путем прохождения мультипликатора через значение — 1 или +1. В и-ыерногг пространстве состояний н — 1 мультипликаторов определяют поведение траекторий в тг — 1 различных направлениях в окрестности рассматриваемой периодической траектории (отличных от направления касательной в каждой точке самой этой траектории).
Пусть близкий к ~1 мулыипликатор отвечает некоторому 1-му направлению. Остальные н — 2 мультипликаторов малы по модулю; поэтому по соответствующим им п — 2 направлениям все траектории будут со временем прижиматься к некоторой двумерной поверхности (наэовеы ее Е), которой принадлежат 1-е направление и направление указанных касательных. Можно сказать, что в окрестности предельного цикла пространство состояний при 1 — + ос оказывается почти двумерным (строго двумерным оно не может быть траектории могут располагаться по обе стороны Е и переходить с одной стороны поверхности на другую).
Разрежем поток траекторий вблизи Е 1 Учет равного нулю лянуновского показателя вносит в размерность Рс вклад Ь1, отвечающий размерности вдоль самой траектории. тянь ялю! гность гл н! некоторой секущей поверхностью и. Каждая траектория, повторно пересекая гг, ставит в соответствие исходной точке пересечения (назовем ее хз) точку пересечения в момент следующего возврата х., !. Связь х.ь! = ~(хз; Н) называют отображением Пуанкаре (или отображением последования); она зависит от параметра Н (в данном с.!учае числа Рейнольдса ') ), значение которого определяет степень близости к бифуркации потере устойчивости периодическим движением.
Поскольку все траектории тесно прижаты к поверхности Х, множество точек пересечения поверхности сг траекториями оказывается по !ти одномерным, и его можно приближенно аппроксимировать линией; отображение Пуанкаре станет одномерным преобразованием Яуь! = )'(кз; Л), (32.1) причем к будет просто координатой на указанной линии э) . Дискретная переменная у играет роль времени, измеряемого в единицах периода движения.
Отображение (32.1) дает альтернативный способ определения характера течения вблизи бифуркации. Самому периодическому движению отвечает неподеиз!сная точка преобразования (32.1) значение и. = и,, не меняющееся при отображении, т, е. для которого х. ь! = х . Роль мультипликатора играет производная р = дх ь!/Йт., взятая в точке х = т„. Точки х, = т, + ~ в окрестности к„ в результате отображения переходят в к,~.! — т«+ )гг. Неподвижная точка устойчива (и является аттрактором отображения), ею!и ))т! ( 1; повторно прглаленяя (итерируя) отображение и начав с какой-либо точки в окрестности точки к„, мы будем асимптотически приближаться к последней (по закону ~)э~г, где г число итераций).
Напротив, при ~)г~ ) 1 неподвижная точка неустойчива. Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через — 1. Равенство )з = — 1 означает, что начальное возмущение через интервал времени То меняет знак, не ьленяясь по абсолютной величине: еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе )э через значение — 1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркации удвоения периода, ') . На рис.
20 условно ') Или числа Рэлея, если речь идет о тепловой конвекции Я 56). !) Обозначение и в этом параграфе пе имеет, разумеется, ничего общего с координатой в физическом пространстве! ) В этом параграфе основной период,т. е.пориод первого периодического движения, обозначаем как Тэ (а не Т!). Критические значения числа Рейнольдса, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения периода, буэгем обозначать здесь через К!, Кэ, ..., опуская индекс «крь (число К! заменяет прежнее К рэ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
