VI.-Гидродинамика (1109684), страница 30
Текст из файла (страница 30)
3 30. Квазипериодическое движение и синхронизация частот ') В последующем изложении Я 30 — 32) будет удобным пользоваться определенными геолгетрическими образами. Для этого введем математическое представление о просгпранспте состояний жидкости, каждая точка которого отвечает определенному распределению (полю) скоростей в ней. Состояниям в близкие моменты времени соответствуют при этом близкие точки ') . Образом стационарного движения служит точка, а образом периодического движения — замкнутая линия (траектория) в ) Если направление волнового вектора )с (в плоскости яу) не совпадает с направлением ч, а образует с ним угол у1, то в (29.8) е заменится на е сов у1; это ясно из того, что невозмущенная скорость входит в исходное линеаризованное уравнение Эйлера только в комбинации (ч T).
Очевидно, что и такие возмущения будут неустойчивы. ) Численные расчеты устойчивости производились для плоскопараллельных течений с профилем скоростей, меня1ощихся между двумя значениями лг е по некоторому закону, например, е = ее Еа (в/6) (роль числа Рейнольдса играет при этом В = еелУР). Нейтралы1ая кривая в плоскости кй оказывается выходящей из начала координат, так что для каждого значения 1С имеется интервал значений й (возрастающий с увеличением В), для которых течение неустойчиво. з) Параграфы 30 32 написаны совместно с Мйй Рабиновичем.
) В математичоской литературе это бесконечномерное функциональное пространство (или конечномерные пространства, которыми оно может быть в некоторых случаях заменено — см. ниже) часто называюз фазовым. Мы не пользуемся здесь этим терминоъ1 во избежание смешения с более конкретным смыслом, который он обычно имеет в физике.
156 гл и! тянь ялш< гность пространстве состояний; о них говорят соответственно как о предельной точке или предельном цикле. Ес;ш эти движения ус<ойчивы, то это значит, что соседние траектории, описывающие процесс установления движения, стремятся (при 1 -э со) к предельной точке или предельному циклу. Предельный цикл (или точка) имеет в пространстве состояний определенную область притяжения: начинающиеся в этой области траектории в конце концов выходят на цикл. В этой связи о предельном цикле говорят как об аттракторе ') .
Подчеркнем, что для движения жидкости в заданном обьеме с определенными граничными условиями (и при заданном зпа <енин К) аттрактор может быть нс единствен. Возн<ожны ситуации, когда в пространстве состояний существуют различные аттракторы, каждый из которых имеет свого область притяжения. Другими словами, при Н ) Н р может оказаться б<шес чем один устойчивый режим движен<<я и различные режимы осуществляются в зависимости от способа достижения данного значения В..Подчеркнем, что эти различные устойчивые режимы являются решениями нелинейной (!) системы уравнений движения ') . Обратимся к изучению явлений, возникающих при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, после достижения им критического значения и установления рассматривавшегося в з 26 периодического течения.
По мере увеличения Н наступает в конце концов момент, когда становится неустойчивым и это периодическое движение. Исследование этой неустойчивости должно! в принципе, производиться аналоги <но изложенному в з 26 способу определения неустойчивости исходного стационарного движения. Роль невозмущепного движения играет теперь периодическое движение тго(г, 1) (с частотой а<!), а в уравнения движения подставляется ъ = ио + тгш где тга малая поправка. Для эгт получается снова линейное уравнение, но его коэффициенты являются теперь функциями не только координат, но и времени, причем по времени эти коэффициенты представляют собой периодические функции с периодом Т! = 2к<«о<.
Решение такого уравнения должно разыскиваться в виде (30.1) тг = П(г, 1)е где П(г, ~) периоди <еская функция времени (с тем же периодом 2!). Неустойчивость наступает снова при появлении частоты а< = ма+ суй, у которой мнимая часть чэ ) О, а вещественная часть а<э определяет паву!о появляющуюся частоту.
) От английского слова а<<гасйоп — пригяжение. !) Такова, например, ситуация при потере устойчивости куэттовскнм течением; устанавливающееся новое движение фактически зависит от истории процесса, которым цилиндры приводятся во вращение с определенными угловыми Скоростями. 1зо квлзипегиодичьское движкник и оипхгонизлция 157 За период Т1 возмущение (30.1) меняется в и = е '"~' раз.
Этот множитель называют мультипликатором периодического движения; оп является удобной характеристикой усиления или затухания возмущений этого движения. Периодическому движению непрерывной среды (жидкости) соответствует бесконечное множество мультипликаторов, отвечающих бесконечному числу возможных независимых возмущений. Потеря им устойчивости происходит при числе В.
рз, при котором один или более мультипликаторов по модулю становятся равными 1, т, е, в комплексной плоскости значения 1« пересекают единичную окружность. Ввиду вещественности уравнений проходить через эту. окружность мультипликаторы могут только комплексно-сопряженными парами, или поодиночке, оставаясь вещественными, т, е, в точках +1 или — 1. Потеря устойчивости периодическим движением сопровождается определенной качественной перестройкой поведения траекторий в пространстве состояний в окрестности ставшего неустойчивым предельного цикла или, как говорят, своей локальной бифуркацисйб Характер бифуркации в значительной степени определяется именно тем, в каких точках единичной окружности мультипликаторы ее пересекают ') . Рассмотрим бифуркацию при пересечении единичной окружности парой комплексно-сопряженных мультипликаторов вида 1з = ехр(~2ягт«), где гт- иррациональное число.
Это приводит к появлению вторичного течения с новой независимой частотой озз = стсо1, т. е. в результате возникает некоторое квазипериодичсское движение, характеризующееся двумя несоизмеримыми частотами. Геометрическим образом этого движения в пространстве состояний служит траектория в виде незамкнутой намотки на двумерном торе '), причем ставший неустойчивым предельный цикл служит образующей тора; частота гц1 соответствует вращению по ооразующей тора, частота юз--вращению на торе (рис. 18). Подобно тому, как после появления первого периодического движения течение обладало одной степенью свободы., теперь две величины (фазы) являются произвольными, Рис. 18 т.
е. движение обладает двумя степенями свободы. Потеря устойчивости периодическим движением, сопровождающаяся «рожденисма двумерного тора, типична для гидродинамики. 1 ) Отметим, что мультипликатор не может быть равным нулю: возмущение не может обратиться в нуль за конечное время (одни период Т~). г ) Мы пользуемся математической терминологией, согласно которой тором называкзт поверхность без заключенного в ней обьема.
Так, двумерный тор †двумерн поверхность трехмерного «бубликам 158 тя ьмлющ'ность гл и! Обсудим гипотетическую картину усложнения течения, возникшего в результате такой бифуркации, при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, В ) В рэ. Естественно было бы предположить, что при последующем увеличении К будут последовательно появляться все новые периоды. На языке геометрических образов зто означает потерю устойчивости двумерным тором с возникновением в его окрестности трехмерного тора, затем в результате очередной бифуркации ему па смену придет четырехмерный тор и т.
д. Интервалы между числами Рейнольдса, соответствующими появлению новых частот, быстро падают, а появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Таким образом, движение быстро приобретает сложный и запутанный характер; его называют турбулентным в отличие от ламинарного, правильного течения, при котором жидкость движется как бы слоями, обладающими различными скоростями. Полагая сейчас, что такой путь (или, как говорят, сценарий) возникновения турбулентности действительно возможен '), напишем общий вид функции тг(г, 4)! зависимость которой от времени определяется некоторым числом 1»' различных частот а!,.
Ее можно рассматривать как функцию 1»г различных фаз (!р; = = оэ;1+)э! (и от координат), причем по каждой из них она периодична с периодом 2я. Такая функция может быть представлена в виде ряда (30.2) представляющего собой обобщение (26.13) (суммирование по всем Целым чишгам Р1, Рв, ..., Рн). Описываемое такой фоР- мулой движение обладает )у' степенями свободы —. в него входят 1»г произвольных начальных фаз,9, ') .
Состояния, фазы которых отличаются только на целое кратное 2п! физически тождественны. Другими словами, все существенно различные значения каждой из фаз лежат в интервале О < !р, < 2я. Рассмотрим какую-нибудь пару фаз !р1 = и!14+ Д и оээ = оээ1+,За. ПУсть в некотоРый момент вРемени фаза !Р1 имеет значение сх. Тогда яодинаковые» с ст значения фаза 9э1 будет иметь и во все моменты времени 1= '+2яв —., ) Он был выдвинут Л.Д.
Ландау (1944) и затем независимо Хопфом (Е. Нор~., 1948). !) Если выбрать фазы Ч!, в качестве координат, описывающих траекторию на Г!!-»!ерном торе, то соответствующие скорости будут постоянными величинами: Эг,, = ы,. В связи с этим о квазипериодическом движении говорят как о движении на торе с постоянной скоростью.
1 то квлзипегиодичьское движвиив и оинхгоиизлция 159 где в любое целое число. Фаза со2 в эти моменты имеет значения 9з2 = )з2 + — (гт — )з1 + 2нл). Но различные частоты несоизмеримы друг с другом, так что ш2/озг иррациональное число. Приводя каждый риз посредством вычитания должного целого кратного от 2л значение ез2 к интервалу между О и 2н, мы получим поэтому, при пробегании числом а значений от О до со, для сз2 вил|ения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу в этом интервале. Другими словами, в течение достаточно большого промежутка времени со1 и ш2 одновременно пройдут сколь угодно близко к любой парс наперед заданных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
