VI.-Гидродинамика (1109684), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В интервале К'р < К < К р основное движение зиетастабильно устойчиво по отношению к бесконечно малым, но неустойчиво по отношению к возмущениям конечной ~л~' „ амплитуды (сплошная линия; штриховая кривая ветвь неустойчива). Вернемся к нестационарному движению, возникающему при К ) К р в рс- н, н н кр нкр зультате неустойчивости по отношению Рис. 13 к малым возмущениям. При Кр близких к Ккр, это движение может быть представлено в виде наложения стационарного движения арго(г) и периодического движения ч1(г, 1) с малой, но конечной амплитудой, растущей по мере увеличения К по закону (26.10). Распределение скоростей в этом движении имеет вид мг = Г(г)е й"' +~'~, (26.12) где 1 комплексная функция координат, а Д некоторая начальная фаза.
При больших разностях К вЂ” К, р разделение скорости па две части мо и мг уже не имеет смысла. Мы имеем при атом дело просто с некоторым периодическим движением с частотой гон Если вместо времени пользоваться в качестве независимой переменной фазой езз = ор11+ Д, то можно сказать, что функция ч(г, у) является периодической функцией от у с периодом 2х.. Эта функция, однако, не есть теперь простая тригонометрическая. В ее разложение в ряд Фурье и = ~ А„(г)е '"'" р (суммнрование по всем положительным и отрицательным целым числам р) входят члены нс только с основной частотой озг., но и с кратными ей. Уравнением (26.7) определяется только абсолютная величина временного множителя Л(1), но не его фаза оры Последняя 142 тя г ялшш'ность гт! и1 остается по существу неопределенной и зависит от случайных начальных условий.
И зависимости от этих условий, начальная фаза Д может иметь любое значение. Таким образом, изучаемое периодическое движение не определяется однозначно теми заданными стационарными внешними условиями, в которых оно происходит. Одна из величин — начальная фаза скорости -- остается произвольной. Можно сказать., что это движение обладает одной степенью свободы, между тем как стационарное движение, полностью определяющееся внешними условиями, не обладает степенями свободы вовсе.
Задача Вывести уравнение, выражающее баланс энергии между основным течением и наложенным на него возмущением, не предполагая последнее слабым. Р е ш е н и е. Подставив (26.2) в уравнение (26.Ц, но не опустив в нем член второго порядка по кг, имеем дк1 — 1 -г (четг)кг-г 1чгтг)ре -!- (чгT)чг = — ~рг -г К уачг (Ц д1 (предполагается, что все величины приведены к безразмерному виду, как обьяснено в З 19). Умножив это уравнение на гг, н преобразовав с учетом равенств сйк ко = 11!ге р! = О, получим д.,' д...,д.п днп — — = — он хм — ' —  — ' — ' + д1 2 дхь дхг дхг 2 дог, 1 -> 1 — — н! !геег 4- еи) — Ргны + и нп дх11 2 дхг ] Последний члон в правой части уравнения исчезает после интегрирования по всей области движения в силу условий ко = кг = О на ограничивающих область стенках или на бесконечности.
В результате находим искомое соотношение: Е1=Т вЂ” К 'Р, (2) 1ДЕ 1 2 хг Е1 = — Л; Т= — гг,е11 'Л; Р= ' Лс (3) 2 дхг дхр Функционал Т описывает обмен энергией между основным движением и возмущением; он может иметь оба знака. Функционал Р— диссипативная потеря энергии, всегда Р > О. Обратим внимание на то, что нелинейный по к1 член в !Ц не дает вклада в соотношение (2). Соотношение (2) позволяет найти оценку снизу для числа В,р (О.
ЛерпоЫа 1894; Иг. Огг, 1907)! производная 11Е/111 заведомо отрицательна, т. е. возмущение затухает со временем, если К < Вь, где Вк = шгп(Р11Т), (4) причем минимум функционала берется по отношению к функциям к1!г), удовлетворяющим граничным условиям и уравнению 41гвч1 = О. Существование конечного минимума математически связано с одинаковой 1второй) степенью однородности функционалов Т и Р.
Тем самым доказывается су- устойчивость вглщлтвльног о движения жидкости 143 шествование нижней (по й) границы метастабильности, ниже которой основное движение устойчиво по отношению к любым возмущениям. Даваемая выражением (4) оценка (ео называют энергетической), однако, в большинстве случаев оказывается очень заниженной. й 27.
Устойчивость вращательного движения жидкости Для исследования устойчивости стационарного движения жидкости в пространстве между двумя вращающимися цилиндрами Я 18) в предельном случае сколь угодно болыпих чисел Рейнольдса можно применить простой способ, аналогичный примененному в ~ 4 при выводе условия механической устойчивости неподвижной жидкости в поле тяжести (Лау1е18Ь, 1916). Идея метода состоит в том, что рассматривается какой-нибудь произвольный малый участок жидкости и предполагается, что этот участок смещается с той траектории, по которой он движется в рассматриваемом течении.
При таком смещении появляются силы, действующие па смещенный участок жидкости. Для устойчивости основного движения необходимо, .чтобы эти силы стремились вернуть смещенный элемент в исходное положение. Каждый элемент жидкости в невозмущенном течении движется по окружности т = сопя1 вокруг оси цилиндров. Пусть 1з(т) = тт р есть момент импульса элемента с массой т (ф угловая скорость). Действующая на него центробежная сила равна 1з /ттз; эта сила уравновешивается соответствующим радиальным градиентом давления, возникающим во вращающейся жидкости. Предположим теперь, что элемент жидкости, находящийся на расстоянии то от оси, подвергается малому смещению со своей траектории, так что попадает на расстояние т > ) го от оси. Сохраняющийся момент импульса элемента остается пРи этом Равным своемУ псРвоначальномУ значению Ро = 1з(то).
Соответственно в его новом положении на него будет действовать центробежная сила., равная до((тт ). Для того чтобы элей 3 мент стремился возвратиться в исходное положение, эта центробежная сила должна быть меньше, чем ее равновесное значение 1г )(тт' ), уравновешивающееся имеющимся на расстоянии т градиентом давления. Таким образом, необходимое условие устойчивости гласит: 1з~ — 1з~ ~) О; разлагая рЯ по степеням положительной разности т — то, напишем это условие в виде 1з —" > О.
(27. Ц Йг Согласно формуле (18.3) угловая скорость ~р частиц движущейся жидкости равна ЙзД1 — 11~Д, (11~ — йз)Д~Дз 1 '+ де д2 е де де .3 2 1 144 тм ьилюсгаость ГЛ 111 Вычисляя р как тгв»»2 и опуская все заведомо положительные множители, пишем условие (27.1) в виде (Й2Л2 — Й»Л,)»Р > О. (27.2) у»»!»овая скорость»»у монотонно меняется с г от значения Й» па внутреннем до значения Й2 па внешнем цилиндре. Если оба цилиндра вращаются в противоположных направлениях, т. е. Й» и Й2 имеют различные знаки, то функция !д меняет знак в пространстве между цилиндрами и ее произведение на постоянное число Й2Л2 — Й»Л» не может быть везде положительным. Таким 2 2 образом, в этом случае (27.2) не выполняется во всем объеме жидкости, и движение неустойчиво.
Пусть теперь оба цилиндра вращаются в одну сторону; выбирая это направление вращения в качестве положительного, имеем Й» > О, Й2 > О. Тогда»р везде положительно, и для выполнения условия (27.2) необходимо, чтобы было Й2Л2 > ~1»Л1 (27.3) Если жс Й2Л22 меныпс, чем Й»Л2», то движение неустойчиво. Так, если внешний цилиндр покоится (Й2 = 0), а вращается только внутренний, то движение неустойчиво.
Напротив, если покоится внутренний цилиндр (Й» = 0), то движение устойчиво. Подчеркнем, что в изложенных рассуждениях совершенно не учитывалось влияние вязких сил трения при смещении элемента жидкости. Поэтому использованный метод применим лишь при достаточно малой вязкости, т. е. достаточно больших числах Рсйнольдса. Исследова»»ие устойчивости движения при произвольных В должно производиться общим методом, основанным на уравнениях (26.4): для движения между вращающимися цилиндрами это было сделано впервые Тайлором (СД.
Тау!ог, 1924). В дашпжл случае невозмущенное распределение скоростей пв зависит только от цилиндрической координаты г и не зависит ни от угла»р, ни от координаты 2 вдоль оси цилиндров. Полную систему независимых решений уравнений (26.4) можно поэтому искать в виде м»(», »р, 2) = ей"~' ~ ""~11 (г) (27.4) с произвольно направленным вектором Г(г). Волновое чишю к, пробегающее непрерывный ряд значений, определяет периодичность возмущения вдоль оси в.
Число же и пробегает лишь целые значения О, 1, 2, ...,как это следует из условия однозначности функции по переменной»»2: значешпо п = 0 отвечают осесимметричные возмущения. Допустимые значения частоты ь» получаются в результате решения уравнений с надлежащими граничными условиями в плоскости г = сопя» (скорость»г» — — 0 при г = Л» устойчивость вглщлтвльного движения жидкос ти 145 и т = Лз). Поставленная таким образом задача определяет при заданных значениях в и (с, вообще говоря, дискретный ряд собственных частот (оз = озй (Й), где индекс у нумерует различные ветви функции о а(й); эти частоты, вообще говоря, комплексны. Роль числа Рейнольдса в данном случае может играть величина Й1Л~/ы или Й9Л9/и при заданных значениях отнопгений Л1/Лй и 111/119, определяющих «тип движенияа.
Будем следить за изменением какой-либо из собственных частот оз = ог„п (й) Ж при постепенном увеличении числа Рейнольдса. Момент возникновения неустойчивости (по отношению к данному виду возмущений) определяется тем значением Вз при котором функция у(1«) = 1шсо впервые обращается в нуль при каком-либо значении тт При В < 11 р функция у(тс) везде отрицательна, а при В. ) й р она 1голожйтельна в некотором интервале значений й. Пусть т;кр — то значение тй для которого (при В = В.
р) функция у(й) обращается в нуль. Соответствующая фу.нкция (27.4) определяет характер того (накладывающегося на основное) движения, которое возникает в жидкости в момент потери устойчивости; оно периодично вдоль оси цилиндров с периодом 2п/й р. При этом, конечно, фактическая граница устойчивости определяется тем видом возмущений (т. е. той функцией озт, (Й))), которая дает наименьшее значение В.,р, именно эти «наиболее опасныев возмущения интересуют нас здесь. Как правило (см, ниже), ими являются осесимметричные возмущения. Ввиду большой сложности, достаточно полное исследование этих возмущений было произведено лишь для случая узкого зазора между цилиндрами (6 = Лй — Л1 « Л = (Л1 + Лй)/2).
Опо приводит к следующим результатам ') . Оказывается., что решению, приводящему к наименьшему значению В. р, отвечает чисто мнимая функция оз(к). Поэтому при й = й,р не только 1гпсо = О, но и вообще оз = О. Это значит, что первая потеря устойчивости стационарным вращением жглдкости приводит к возникновению другого, тоже стационарного течения е) . Оно представляет собой тороидальпые вихри (их называют тпайлоровскилги), регулярно расположенные вдоль длины ') Подробное изложение можно найти в книгах. Кочин И.Е., Кибель И.А., Розе И.В. Теоретическая гидромеханика. — Мл Физматгиз, 1963. Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
