VI.-Гидродинамика (1109684), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При произвольной вязкости ищем решоние уравнений движения: р дх' дв: дага д г- 1др — '=.( .'-~- л)-- — -~, д4 дх' дх' р дх дь дг. — '4-= =О, дх дх зависящее от 1 и х как е ' 'т'~* и затухающее с х по направлению в глубь жидкости ( > О). Получаем е, = е ™~'ь'( — гАе " — г — Ве'""), р †, гэ,г ш — =е ' ' — Ае ' — ях, гдеш= ))Лз — г —. р к и Граничные условия на пОверхнОСги жидкОСти: дв, где, дн, л пг. = — р+2н — =О, гг,. =г1~ '+ — ) =О дя дх дт (при г = б). Во втором из этих условий можно сразу написать х = О вместо х = Г.
Первое же дифференцируем предварительно по г и пишем яе, вместо йд(/дй после чого полагаем х = О. Из условия совместности получающихся таким образом двух однородных уравнений для А и В получаем ( )' 2 — г — ) + — = 4))1 — г —. % ггйг гггйг ийе Это уравнение опредоляот зависимость ы от волнового вектора )г. При этом ы является комплексной величиной; ее действительная часть определяет частоту колебаний, а мнимая — коэффициент затухания.
Физический смысл имеют те из решений уравнения (1), мнимая часть которых отрицательна (соответственно затуханию волны); таковыми являются только два из корней уравнения (2). Если пал « уЯй (условие (25.Ц), то коэффициент затухания мал и (2) дает приближенно ы = хЯŠ— г' 2ггье — известный уже нам результат. В противоположном предельном случае яке » гДй уравнение (1) имеет два чисто мнимых корпя, соотвстствугощих чисто затухагощему апериодическому движению.
Один из корней есть г~ 2ий а другой значительно болыве (порядка ик ) и поэтому не интересен (соответствующее ему движение быстро затухает). ГЛАВА П1 тугвулентность 8 26. Устойчивость стационарного движения жидкости Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе.
Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчивыми: малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если жс, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может ') . Математическое иссчедование устойчивости движения по отношению к бесконечно малым возмущениям должно происходить по следующей схеме.
На исшгедуемое стационарное решение (распределение скоростей, в котором пусть будет чо(г)) накладывается нестационарное малое возмущение ч1(г, 1) которое должно быть определено таким образом, чтобы результирующее движение ч = чо + ч1 удовлетворяло уравнениям движения. Уравнение для определения ч1 получается подстановкой в уравнения — +~(чт7)ч = — — 17р+ иЬч, йчч = О (26.1) 1 тс Р скорости и давления в виде ч =чв+ч;, Р=РО+Р1, (26.2) причем известные функции чо и ро удовлетворяют уравнениям (ча17)чо = — Р' + пЬчо с()ччо = О.
(26 3) Р ) Ранее неустойчивость по отношению к сколь угодно малым возмущениям мы называли абсолютной. Теперь в этом аспекте прилагательное «абсолютная» мы опускаем, сохранив его (в соответствии с более принятой в современной литературе терминологией) в качесгве антитезы к понятию о конвективпой неустойчивости Я 28). 138 Гл и1 тхгьилшпность Опуская члены высших порядков по малой вез|ичине чы получим — ' + (ъ~о~у)ъ ~ + (ч1~7)т е = — Р' + РЬ гь Жгч1 = О. (26.4) д1 Р Граничным условием является исчезновение м1 на неподвижных твердых поверхностях. Таким образом, м1 удовлетворяе~ системе однородных липейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени.
Общее решение таких уравнений может быть представлено в виде суммы частных решений, в которых ч1 зависит от времени посредством множителей типа е "и. Сами частоты ы возмущений не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26.4) с соответствующими предельным ушювиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Коли имеются такие ы, мнимая часть которых положительна, то е ™ будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е, движение будет неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необходимо, чтобы у всех возможных частот ы мнимая часть была отрицательна.
Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. Такое математическое исследование устойчивости, однако, крайне сложно. До настоящего времени не разработан теоретически вопрос об устойчивости стационарного обтекания тел конечных размеров. Нет сомнения в том,что при достаточно малых числах Рейнольдса стационарное обтекание устойчиво. Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что при увеличении В достигается в конце концов определенное его значение (которое называют критическим, В р),начиная с которого движение становится неустойчивым, так что при достаточно больших числах Рейнольдса (К > В. р) стационарное обтекание твердых тел вообще невозможно. Критическое значение числа Рейнольдса не является, разумеется, универсальным; для каждого типа движения сушествует свое В.„р. Эти значения, по-видимому, порядка нескольких десятков (так, при поперечном обтекании цилиндра незатухающее нестационарное движение наблюдалось уже при В.
= ифи — 30, где и' диаметр цилиндра). Обратимся к изучению характера того нестационарного движения, которое устанавливается в результате неустойчивости стационарного движения при больших числах Рейнольдса (Л.Д. Ландау, .1944). Начнем с выяснения свойств этого движения при В., лишь немногим превышающих В. р. При В < В. р у комплексных частот ы = ы1+ гу1 всех возможных малых возмущений мнимая часть отрицательна ( у1 < О).
При К = В. р появляется одна частота, мнимая часть которой обращается в нуль. При В ) В. р 1 26 устойчивость стицисзза ного движения жидкости 1Зй у этой частоты уг ) Оз причем для В., близких к критическому., уз « озз ') . Функция згь соответствующая этой частоте, ивзеет вид пз = А(~)Г(тз у, з), (26.5) где à — некоторая комплексная функция координат, а комплексная амплитуда е) А(1) = сопз1. е"'е ' ~.
(26.6) Это выражение для А(~) в действительности пригодно лишь в течение короткого промежутка времени после момента срыва стационарного режима: множитель ехр (угб) быстро растет, между тем как описанный вылив метод определения им приводящий к выражению вида (26.5), (26.6), применим лишь при достаточной малости иь В действительности, конечно, модуль |А~ амплитуды нестационарного движения не растет неограниченно, а стремится к некоторому конечному пределу. При В, близких к В.,р, этот конечный предел все еще мал, и для его определения постушзм следующим образом. Определим производную по времени от квадрата амплитуды )А)2.
Для самых малых времен, когда еще применимо (26.6), имеем 4)А( 2 — = 2у~(А( . зп Это выражение является, по существу, лишь первым членом разложения в ряд по степеням А и А*. При увеличении модуля ~А~ (по когда он все еще остается малым) надо учесть следующие члены этого разложения. Ближайшие следующие члены третьего порядка по А. Е1ас, однако, интересует не точное значение производной, а ее среднее по времени значение, причем у.среднение производится по промежуткам времени, болыпим по сравнению с периодом 2л/озз периодического множителя ехр ( — гнзз ~) (напомним, что, поскольку нзг )> уы этот период мвл по сравнению со временем 1,1 уг заметного изменения модуля ~А~). Но члены третьего порядка непременно содержат периодический множитель и при усреднении выпадают ') .
Среди членов же чет- ) Спектр всех возможных (для данного типа движений) частот возмущений содержит как изолированные значения (дискретный спектр)., так и значения, непрерывно заполняющие целые иптерва.ты (нспрерывпый спектр). Можно думать, что для обтекания конечных тел частоты с Чз > О могут иметься только в дискретном спектре. Дело в том, что возмущения, отвечающие частотам непрерывного спектра, вообще говоря, не исчезают на бесконечности.
Между тем иа бесконечности основное движение представляет собой заведомо устойчивый плоскопараллельный однородный поток. з) Как обычно, подразухнзвается веществешгая часть выражения (2б.б). з) Строго говоря, члены третьего порядка дают при усреднении не нуль, а величины четвертого порядка; мы предполагаем их включенными в члены четвертого порядка в разложении. 140 лр ьрлюпность ГЛ 111 всртого порядка есть член, пропорциональный А2А*2 = ~А~л, при усреднении не выпадающий.
Таким образом, с точностью до членов четвертого порядка имееъл "~" =2ул~А~2- ~А~л, (26.7) где сл положительная или отрицательная постоянная (нослиолннал Ландау). Нас интересует ситуация, когда при В. > В.,р впервые становится неустойчивым (на фоне основного движения) уже сколь угодно малое возмущение.
Ей отвечает случай сл > 0; рассмотрим его. Над )А(~ и )А)~ в (26.7) мы не пишем знаков усреднения, так как оно производится только по промежуткам времени, малым по сравнению с 1/~л. По этой же причине при решении этого уравнения надо поступать так, как если бы черты над производной в левой его части тоже не было. Рспление уравнения (26.7) имеет вид )А! "= — + солар.
е' 2тл Отсюда видно, что ~А~2 асимптотически стремится к конечному пределу ~А~" „ = 271/лл. (26.8) Величина ул зависит от Вл вблизи К„р функция ул(В.) может быть разложена по степеням К вЂ” К,р. Но 71(В, р) = 0 по самому определению критического числа Рейнольдса; поэтому приближенно имеем ул = соллэс (К вЂ” В.,р). (26.9) Подставив это в (26.8), находим следующую зависимость устанавливающейся амплитуды возмущения от «степени надкритичности»: ~А( (К вЂ” В ) "' (26.10) Остановимся кратко на случае, когда в уравнении (26.7) сл ( О. Дллл определения предельной аьшлитуды возмущения два члена разложения (26.7) теперь недостаточны, и надо учесть отрицательный член более высокого порядка; пусть это будет член — ДА~в с Д > О.
Тогда (А(„„., = — + ~ — + —.ул| л26.11) с ул из (26.9). Эта зависимость изображена на рис. 13 б (рис. 13 а отвечает случаю сл > О, формула (26.10)). При К > К р стационарное движение пе может существовать вовсе; при В = В. р 1 26 рстойчивогггь стационарного движения жидкости 141 (26.13) 1 ) В механике о таких системах говорят как о системах с жестким самовозбуждением> в отличие от систем с мягким самовозбуждением, неустойчивым но отношению к бесконечно малым возмушениям. возмущение скачком возрастает до конечной амплитуды (которая, конечно, предполагается все же настолько малой, что используемое разложение по степеням ~А~~ применимо) ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
