VI.-Гидродинамика (1109684), страница 28
Текст из файла (страница 28)
2; Сйапйтазеййат Я. Ну«1гос1упа~п1с апс1 Ьуегопгасиейс вгаЬ11йу, — Ох1огс1, 19б1; Ртахт Р.С., В«Ы 'тт'.Н. Нус1гос1упаппс всаЬ1!Иу. — СатьгЫйе, 1981. 2 ) В таких случаях говорят о смене устойчиеощпебт Экспериментальные данные, а также числовые результаты для ряда частных случаев, Лают основание считать, что ато свойство имеет для рассматриваемого движения общий характер и не связано с малостью 1ь 146 гл 111 гхгььльптность цилиндров. Для случая вращения обоих цилиндров в одну сторону, на рис. 14 схематически изображены проекции линий тока этих вихрей на плоскость меридионального сече- ния цилиндров (скорость ю~ имеет в действительности также и азимутальную компоненту).
На длине 2л/г; р каждого периода расположены два вихря с противоположными направлениями вращения. При В., несколько превьппающем Н р, имеется уже. не одно, а целый интервал значений 1г, для которых 1шш > О. Не следует, однако, думать, что возникающее при этом движение будет представлять собой одновременное наложение движений с различными периодичностями. В действительности при каждом К возникает движение с вполне определенной периодичностью, стабилизирующее все течение в целом.
Определение этой периодичности, однако, уже невозмоькно с помощью линеаризованного уравнения (26А). На рис. 15 изображен примерный вид кривой, ц~ / ф „Ф + ф значению Й~/Йз. На правой части диаграммы все такие прямые, для которых ЙвЛ~~/Й~Л~~ > 1 нигде нс пересекают границы области неустойчивости. Напротив, при Й2Лз/Й1Л~ ( 1 и достаточном увеличении числа Рейнольдса мы всег а попа ем в область не стой- д д У чивости в согласии с условием (27.3).
На левой части диаграммы (Й~ и Йг имеют различные знаки) всякая прямая, проведенная из начала координат, пересекает границу заштрихованной области, т. с. при достаточном увеличении чгкла Рейнольдса стационарное движение в конце концов теряет устойчивость при любом отношении ~Йз/Й~~ снова в согласии с полученными выше результатами. При Йз = О (вращается только внутренний цилиндр) неустойчивость наступает при числе Рейиольдса (определенном разделяющей области устойчивости и неустойчивоРие 44 СтИ (ПОСЛЕдияя ЗаШтрИХОВаНа) Прн ЗадаННОМ ЗиаЧЕ- нии Л~/Ля. Правая ветвь кривой, соответствующая вращению цилиндров в одну сторону, имеет в качестве асимптоты прямую ЙтЛ~ ~— — Й~Л~~ (это свойство имеет в действительности общий характер и пе связано с малостью и). Увеличению числа Рейпольдса для заданного типа движения отвечает перемеп1енис вверх по прямой, выходящей из начала координат и отвечающей данному 147 уотОЙчиВОО'1'ь движвллии ВО '1тувь' как Й = 11йлЛлл'лу), равном (27.
5) В„р — — 41,3 Отметим., что в рассматриваемом движении вязкость оказывает стабилизирующее влияние: движение, устойчивое при и = = О, остается устойчивым и при учете вязкости; движение же, неустойчивое при и = О, может оказаться устойчивым для вязкой жидкости. Неосесимметричные возхлущения движения между вращающимися цилиндрами нс исследованы систематически. Результаты расчетов частных случаев дают основание с плтатчи что на правой стороне диаграммы рис. 15 наиболее опасными всегда остаются осесимълетричные возмущения. Напротив, на лсвой стороне диаграммы, при достаточно больших значениях ~йзллйл~, учет неосесимметричных возмущений, по-видимому, несколько изменяет форму граничной кривой. При этом веп1сственная часть частоты возмущения не обращается в нуль, так что возникающее движение нестационарно; это существенно меняет характер неустойчивости.
Предельным (при 6 -+ О) случаем движения между вращающимися цилиндрами является движение жидкости между двумя движущимися друг относительно друга параллельными плоскостями (см. ~ 17). Это движение устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям при любых значениях числа В = = 6и/и (и — относительная скорость плоскостей). й 28. Ъгстойчивость движения по трубе Совершенно особым характером потери устойчивости обладает стационарное течение жидкости по трубе (рассмотренное в ~ 17). Ввиду однородности потока вдоль оси л (вдоль длины трубы) невозмУЩенное РаспРеДеление скоРостей Уо не зависит от кооР- динаты ас Аналогично изложенному в предыдущем параграфе мы можем поэтому искать решения уравнений (26А) в виде (28.1) И здесь будет существовать такое значение В = В. р, при котором з = 1шьл впервые обращается при некотором значении Й в нуль.
Существенно, однако, что вещественная часть функции ьл(й) теперь уже отнюдь не будет равна нулю. Для значенвй В., лишь немного превышающих К р, интервал значений й, в котором у(й) ) О, мал и расположен вокруг точки, 148 тмгьялюггность гл 111 в которой 71»') имеет максимум., т.
е. ору/дй = О 1как это ясно из рис. 16). Пусть в некотором участке потока возникает слабое возмущение; оно представляет собой волновой пакет, получающийся путем наложения ряда компонент вида (28.1). С течением времени будут усиливаться те из этих коми понент, для которых: у(к) ) О; остальные же компоненты затухнут.
Возникающий таким образом усиливающийся волновой пакет будет в то же время «сноситься» вниз по течению со скоростью, равной гру пповой скорости пакета г1оз/гй Я 67),посколь- л и=не» ку речь идет теперь о волнах со значения- ми волновых векторов в малом интервале нянь» вокРУг точки, в котоРой сг)1'с1Й = О, то ве- личина Рис. 16 (28.2) вещественна и потому действительно представляет собой истинную скорость распространения пакета. Этот снос возмущений вниз по течению весьма существен и придает всему явлению потери устойчивости совершенно иной характер по сравнению с том, который был описан в 2 27.
Поскольку положительность 1шоз сама по себе означает теперь лишь усиление перемещающегося впиз по течению возмущения, то открываются две возможности. В одном случае, несмотря на перемещение волнового пакета, возмущение неограниченно возрастает со временем в любой фиксированной в пространстве точке потока; такую неустойчивость по отношению к сколь угодно малым возмущениям будем называть абсолютной. В другом же случае пакет сносится так быстро, что в каждой фиксированной точке пространства возмущение стремится при 1 — + оо к нулю; такую неустойчивость будем называть сносовой, или конеектппииой ') .
Для пуазейлевого течения, по-видигиогиу, имеет место второй случай (см. ниже примеч. на с. 150). Следует сказать, что различие между обоигии случаями имеет относительный характер в том смысле, что зависит от выбора системы отсчета, по отношению к которой рассматривается неустойчивость: конвективная в некоторой системенеустойчивость становится абсолютной в системе, движущейся «вместе с пакетом», а абсолютная неустойчивость становится конвективпой в системе, достаточно быстро «уходгицей» от пакета. В данном случае, однако, физический смысл этого различия устанавливается существованием выделенной системы отсчета, по отношению к ') Общий метод, позволяющий' усганоеить характер неустойчивости, описан и другом томе »того курса (см. Х, 2 62). 149 устойчивость движяния по тгквв которой и следует рассматривать неустойчивость системы, в которой покоятся стенки трубы.
Более того, поскольку реальные трубы имеют хотя и большую, но конечную длину, возникающее где-либо возмущение может, в принципе, оказаться вынесенным из трубы раньше, чем оно приведет к истинному срыву ламинарного течения. Поскольку возмущения возрастают с координатой я вниз по течению, а не со временем в заданной точке пространства, то при исследовании этого типа неустойчивости разумно поставить вопрос следующим образом. Предположим, что в заданном месте пространства на поток накладывается непрерывно действующее возмущение с определенной частотой оз, и посмотрим, что будет происходить с этим возмущением при его сносе вниз по течению.
Обращая функцию со(1с), мы найдем, какой волновой вектор 1с соответствует заданной (вещественной) частоте. Если 1шй ( О, то множитель е' " возрастает с увеличением т, т. е. возмущение усиливается. Кривая в плоскости шВ, определяемая у.равнением 1пзк(оз, В) = О (ее называют кривой нейтральной устойчивости или просто нейтральной кривой) дает границу устойчивости, разделяя для каждого В. об,ласти зпачений частоты возмущений, усиливающихся или затухающих вниз по течению. Фактическое проведение вычислений чрезвычайно сложно. Полное исследование было произведено аналитическими методами лишь для плоского пуазейлевого течения течения между двумя параллельными плоскостями (С.С.
Тт, 1945). Укажем здесь резулвпаты такого исследования ') . Течение (невозмущенное) между плоскостями однородно не только вдоль направления своей скорости (ось я), по и во всей плоскости яз (ось у перпендикулярна плоскостям). Поэтому можно искать решения уравнений (26.4) в виде гя,х+ь,г — мг)4~, ) И1 = Е (28.3) с волновым вектором Й в произвольном направлении в плоскости яж Нас, однако, интересуют лишь те возрастающие возмущения, которые появляются (при увеличении В.) первыми, именно они определяют границу устойчивости. Можно пока:зать, что при заданной величине волнового вектора первым становится незатУхающим возмУЩение с 1с вДоль оси х, пРичем ух = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
