VI.-Гидродинамика (1109684), страница 31
Текст из файла (страница 31)
То же самое относится и ко всеги фазам. Таким образом, в рассматриваемой модели турбулентности в течение достаточно долгого времени жидкость проходит через состояния, сколь угодно близкие к любому наперед заданному состоянию, определенному любым возможным набором одновременных значений фаз у, Время возврата, однако, очень быстро растет с увеличением Х и становится столь большим, что фактически никакого следа какой-либо периодичности не остается ') . Подчеркнем теперь, что рассмотренный путь возникновения турбулентности базируется, по существу, па линейных представлениях. Действительно, фактически предполагалось, что при появлении в результате развития вторичных неустойчивостей новых периодических решений уже имевшиеся пе)зиодические решения не только нс исчезают, но и почти нс меняются.
В данной модели турбулентное движение есть просто суперпозиция большого числа таких неизменяющихся решений. В общем жс случае, однако, характер решений при увеличении числа Рейнольдса и потери ими устойчивости изменяется. Возмущения взаимодействуют друг с другом, причем это может привести как к упрощению движения, так и к его усложнению. Проиллюстрируем первую возможность. Ограничимся простейшим случаем: будем полагать., что возмущенное решение содержит всего лишь две независимые частоты. Как уже говорилось, геометрическим образом такого течения является незамкнутая намотка на двумерном торе. Возмущение на частоте шм возниктпес при 1ъ = Й.,рм естественно считать в окрестности числа В, = К, ря (при котором возникает возмущение частоты ш2) более интенсивным и поэтому полагать его неизмен- ') В установившемся турбулентном режиме описанного типа вероятность нахождения системы (жидкости) в заданном малом объеме вокруг избранной точки пространства фаз ри шм ..., шл дается отношением величины этого обьема (БЗг)' к полному обьему (2х)л.
Поэтому можно сказатгь что х за достаточно большой промежуток времени лишь в течение его доли е — л (где и =!и (2х/ду)) система будет находиться в окрестности заданной точки. 160 тк ьюльлс"сссость Гт! 111 ным при относительно неболыпих изменениях числа В в этой окрестности. Имея это в виду, для описания эволюции возмущения с частотой ыя па фоне периодического движения частоты ь» введем новую переменную аз(1) = )ав(1)(е '~'-'сй; (30.3) модуль ~аз~ кратчайшее расстояние до образующей тора (ставшего неустойчивылс предельного цикла частоты ас>), т.
е, относительная амплитуда вторичного периодического течения, а срз --. его фаза. Рассъсотрим поведение аз(1) в дискретные моменты времени, кратные периоду Тс = 2лссь». За время одного периода возмущение частоты ь>а меняется в сс раз, где сс = ~р~ ехр ( — 2лгь>з/ь>с) его мульпшликатор; по истечении целого числа т таких периодов функция аз умножится на д'. Мы считаем надкритичность Й вЂ” Й.,рз малой:, тогда инкремент возрастания возмущения тоже мал и, соответственно, разность ~р~ — 1 хоть и положительна, но мала, так что за период Т> возмущение аз меняется по модулю незначительно; фаза же у>2 меняется просто пропорционально т.
Имея все это в виду, можно перейти к рассмотрению дискретной переменной т как непрерывной и описывать ход изменения функции ая(т) дифференциальным> по т уравнением. Понятие о мультипликаторе относится к самым малым временам после наступления неустойчивости, когда возмущение еще описывается линейными уравнениями. В этой области функция аз(т) меняется, согласно сказанному, как сс', а ее производная — = 1пп а2(т), аа '2 ат причем для малых надкритичностей: 1псс = 1>>(1>) — 2>тг — > )р! — 1 — 2яг — '. (30.4) мс Это выражение - первый член разложения сваг(с1т по степеням аз и а~, и при увеличении модуля (аз ~ (по пока он все же остается малым) надо учесть следующий член. Член, содержащий тот же осциллирусощий множитель е 'с', есть член третьего порядка: аз~аз~ .
Таким образом, приходим к уравнению 2 1пгс ' а2 ьза2~а2~ (30.5) сст где фз (как и р) комплексный параметр, зависящий от й., причем й.е,Зз ) 0 (ср, аналогичные рассуждения в связи с уравнением (26.7)). Вещественная часть этого уравнения сразу определяет стационарное значение модуля: (а( )! = ((1>! — 1)ссре)Зя. 1зо КВАЗИПЕРИОДИЧИСКОЕ ДВИЖИИИИ И СИИХРОИИЗЛЦИИ 161 Мнимая же часть дает уравнение для фазы Оат(т): после установления стационарного значения модуля, оно принимает вид ~' = 2 — а+1п1А ~аз~ ~~~. (30.6) дт Согласно этому уравнению фаза ~ро вращается с постоянной скоростью. Это свойство, однако, связано лишь с рассматриваемым приближением; с ростом надкритичности К вЂ” К.
рз равномерность нарушается и скорость вращения по тору становится сама функцией оао. Чтобы учесть это, добавим в правую часть уравнения (30.6) малое возмущение Ф(~рв); поскольку все физически различные значения уз заключены в одном интервале от 0 до 2я., функция Ф(Оат) периодическая с периодом 2я. Далее., аппроксимируем иррациональное отношение шз/ш1 рациональной дробью (это можно сделать со сколь угодной степенью точности) Воз/ш1 = тз/т1 + Ь, где тм тв — целые числа. Тогда уравнение принимает вид "' = 2л™вЂ” + Ь+ 1п113з ~и~~ ~~~+ Ф(~рз). Йт ти1 Будем теперь рассматривать значения фазы лишь в моменты времени, кратные т ~Ты т. е, при значениях переменной т = т~т, где т .-. целое число. Первый член в правой части (30.7) приводит за время т1Т1 к изменению фазы на 2лтз, т.
е. на целое, кратное 2л, которое можно просто опустить. После этого вся правая часть уравнения оказывается малой величиной, и это позволяет описывать изменение функции Оаэ(т) дифференциальным уравнением по непрерывной переменной т: — ' = Ь+1п1Рлз ~аз ~ + Ф(~рз) 130.8) ьи ит (30.7) 6 Л. Д.
Лаидах и Е.М. Лифшиц, том У1 (на одном шаге изменения дискретной переменной т функция ~рт/ттц меняется незначительно). В общем случае уравнение (30.8) имеет стационарные решения оаз = оао, опредеаляющиеся обращением в нуль правой части (о> УРавнении. Но неизменность фазы 1оз в моменты вРемени, кРатные т1Ты означает, что на торе существует предельный цикл траектория через т1 оборотов замыкается. Ввиду периодичности функции Ф(~рз) такие решения появляются парами (в простейшем случае — одна пара): одно решение на возрастающем, а другое .-на убывающем участках функции Ф(уг). Из этих двух решений устойчиво только последнее, для которого вблизи точки лаз = ут уравнение (30.8) имеет вид (о) "'Р' = — сопэ1 (оа — ОР) 162 ГЛ П1 тхгьхлюл гность (с коэффициентом сопке ) О) и действительно имеет решение, стремящееся к 1рэ = аз, второе же решение неустойчиво (для (о) него сопв1 < О).
Рождение устойчивого предельного цикла на торе означает синхронизацию колебаний ') исчезновение квазипериодического и установление нового периодического режима. Это явление, которое в систехле со многими степенями свободы ьложет произойти многими способами, препятствует возникновению режима, представляющего собой суперпозицию движений с большим числом несоизмеримых частот. В этом смысле можно сказать, что вероятность реального осуществления именно сценария Ландау — Хопфа очень мала (этим не исключается, конечно, в частных случаях возможность возникновения нескольких несоизмеримых частот прежде,чем произойдет их синхронизация).
й 31. Странный аттрактор Исчерпывающей теории возникновения турбулентности в различных типах гидродинамических течений в настоящее время еще пе существует. Был выдвинут, однако, ряд возможных сценариев процесса хаотизации движения, основанных главным образом на компьютерном исследовании модельных систем дифференциальных уравнений, и частично подтвержденных реальными гидродинамическими экспериментами.
Дальнейшее изложение в этом и следующем параграфах имеет своей целью лишь дать представление об этих идеях, не входя в обсуждение соответствующих компьютерных и экспериментальных результатов. Отметим лишь, что экспериментальные данные относятся к гидродинамическим движениям в ограниченных объемах; именно такие движения мы и будем иметь в виду ниже ') .
Прежде всего сделаем следующее общее важное заллечание. При анализе устойчивости периодического движения интересны лишь те мультипликаторы, которые по модулю близки к 1— именно они при небольшом изменении В могут пересечь единичную окружность. Для течения вязкой жидкости число таких «опасных11 мультипликаторов всегда конечно по следующей причине. Допускаемые уравнениями движения различные типы (моды) возмущений обладают разным|и пространственными масштабаьли (т. е. длинами расстояний, на которых существенно меняется скорость нз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
