VI.-Гидродинамика (1109684), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Однако в силу сделанных пренебрежений выражения (32.8) могут фактически описывать лишь область вблизи центральных экстремумов отображающих функций. шз ь2 = 1 — Лти, Лт = ~!р(Л!л — 1) , 2 (32.8) Неподвижные точки отображений (32.8) отвечают 2т-циклам ') . Поскольку все эти отображения имеют тот же вид! что и (32.5), то можно сразу заклгочить, что 2'"-циклы (т = 1, 2, 3, ...
) становятся неустойчивыми при Л,„= Л1 = 3/4. Соответствующие же критические значения Лт исходного параь|етра Л получаются путем решения цепочки уравнений Л! = !р(Л2)! Лв = р(Л3), ..., Л, = р(Лп,); пяРкход к туРьулентпости 175 для этих значений справедливы тс жс предельные законы (32.9), 132.10) (с той же постоянной б), что и для чисел Л Изложенные рассуждения иллюстрируют происхождение основных закономерностей процесса: бесконечное множество бифуркаций, моменты появления которых сходятся к пределу Л, по закону (32.9), (32.10); появление масштабного множителя сг. Полученные при этом значения характерных констант, однако, не точны. Точные значения (полученные путем многократного компьютерного итерирования отображения (32.5)) показателя сходимости 5 (число Фейгенбаума) и масп(табного множителя сс б = 4,6692 ..., сг = -2,5029 ...
(32.11) а предельное значение Л, = 1,401 ') . Обратим внимание па сравнительно большое значснио 5: быстрая сходимость приводит к тому, что предельные законы хорошо выполняются уже после небольшого числа удвоений периода. Дефект произведенного вывода состоит и в том, что по(;(е пренебрежения всеми степенями х2, кром(" первой, отображение 132.8) позволяет установить лишь факт возникновения следующей бифуркации, по не дает возможности определить все элементы описываемого этим отображением 2Р -цикла 2) . В действительности итерированные отображения 132.5) представляют собой полипомы по ш2, степень которых при каждой итерации возрастает вдвое.
Они представляют собой сложные функции от хз с быстРо возРастаюЩим чиш(ом экстРемУмов, симметРично расположенных по отношению к точке ж, = 0 1которая тоже всегда остается экстремумом). Замечательно, что не только значения о и сг,но и предельный вид самого бесконечно кратно итерированного отображения оказываются в определенном смысле независящими от вида начального отображения х ., 1 = З" (х.; Л): достаточно, чтобы зависящая от одного параметра функция 1(х; Л) была гладкой функцией с одним квадратичным максимумом (пусть это будет в точ- 1 ) Значение А имеет несколько условный характер, поскольку оио зависит от способа введения параметра в исходиоо отображепие — функцию У(т( Л) (зиачеиия же б и о от этого ие зависят вовсе).
(1( (21 2) То есть все 2 точки я(, т~ ',..., пореходящие последовательпо друг в друга (периодические) при итерациях отображения (31.5) и неподвижные (и устойчивые) по отношению к 2' -кратно итерировавиому отображению. Отметим, во избежание возможных вопросов, что производные г1я те.,(дх> (О (21 во всех >очках т., т., автоматически одинаковы (и потому одиовремеипо проходят через — 1 в момент следующей бифуракции); мы ие будем приводить здесь рассуждений, использующих правило дифференцирования фуикпии от функции, доказывающих зто свойство (иеобходимость которого заранее очевидна).
176 '!'р ьмлшш'ность гл и! ке х = О): она ие обязана даже быть симметричной относительно этой точки вдали от нее. Это свойство универсальности существенно увеличивает степень общности излагаемой теории. Его точная формулировка состоит в следующем. Рассмотрим отображение, задаваемое функцией р'(х) (функция ('(х: Л) с определенным выбором Л см. ниже), нормированной условием 1(0) = 1. Применив его дважды, получим функцию ('(1(х)). Изменим масштаб как самой этой функции, так и переменной х в оо = Я(1) раз; таким образом получим новую функцию э !(: ) = сгоэ (э (х!!ов)) для которой снова будет 1!(О) = 1.
Повторяя эту операцию, получим последовательность функций, связанных рекуррентпым соотношением ') , !(х) = сг 2 Ц„(х(о )) = Т~~, сг = 1/~ (1). (32.12) Если эта последовательность стремится при т — + оо к некоторой определенной предельной функции ) -(х) = й(х), эта последняя должна быть «неподвижной функцией» определенного в (32.12) оператора Т, т. е, должна удовлетворять функциональному уравнению д(х) = Тн: — сей(й(х(сг)), сг = 1/а(1)! а(0) = 1. (32.13) В силу предположенных свойств допустимых функций 1(х), функция п(х) должна быть гладкой и иметь квадратичный экстремум в точке х = 0; никакого другого следа от конкретного вида 1(х) в уравнении (32.13) или в налагаемых на его решение условиях не остается. Подчеркнем, гто после произведенных при выводе масштабных преобразований (с ~ст!п~ > 1) решение уравнения определяется при всех значениях фигурирующей в нем переменной х от — оо до +ос (а не только па интервале — 1 ( х ( 1).
Функция й(х) автоматически является четной по х; она должна быть такой, поскольку среди допустимых функций )'(х) имеются четные, а четное отображение заведомо остается четным после любого числа итераций. Такое решение уравнения (32.13) действительно существует и единственно (хотя и не может быть построено в аналитическом виде), оно представляет собой функцию с бесконечным чишюм экстремумов, неограниченную по своей величине; постоянная а определяется вместе с самой функцией фх). Фактически достаточно построить эту функцию на интервале ( — 1, Ц, посте чего она может быть продолжена за его пределы итерированием операции Т. Обратим внимание на то, что на каждом шаге ите- ) Отметим очевидную аналогию этой проце„гуры с использованной выше при выводе (32.8).
177 пвгкход к тугьхлеитности рирования Т в (32.12) значения функции 1" ху(х) на интервале ~ — 1, Ц определяются значениями функции )' (х) на сокращенной в ~гт ~ — ~гх~ раз части этого отрезка. Это значит, что в пределе многократных итераций для определения функции й(х) на интервале [ — 1, Ц (а тем самым и на всей оси гс) существенны все меньшие и меньшие части исходной функции вблизи ее максимума; в этом и состоит, в конечном итоге, источник универсальности ') .
Функция й(ш) определяет структуру апериодического аттрактора, возникающего в результате бесконечной последовательности удвоений периода. Но это происходит при вполне определенном для функции 11ш; Л) значении параметра Л = Л . Ясно поэтому,что функции, образованные из 1'(х) Л) путеьз многократного итерирования преобразования (32.12), действительно сходятся к д(ю) лишь при этом изолированном значении Л. Отсюда в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора Т неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим малым отклонениям параметра Л от значения Л, .
Исследование этой неустойчивости дает возможность определения универсальной постоянной б снова без всякой связи с конкретным видом функции )(х) ') . Масштабный множитель о определяет изменение —. уменьшение геометрических 1в пространстве состояний) характеристик аттрактора на каждом шаге удвоений периода; этими характеристиками являются расстояния между элементами предельных циклов на оси х. Поскольку, однако, каждое удвоение сопровождается еще и увеличением числа элементов цикла, это утверждение должно быть конкрстизировано и уточнено.
При этом заранее ясно, что закон изменения масштаба не может быть одинаковым для расстояний между всякими двумя точками э) . дей- ') Уверенность в существовании единственного решения уравнения (32.13) основана па компьютерном моделировании. Решение ищется (на интервале ) — 1, Ц) в виде полинома высокой степени по х-: точность моделирования должна быть тем выше, чем до более широкой области зна гений х (вне указанного отрезка) мы хотели бы затем продолжить функцию итерированием Т.
На интервале [ — 1, Ц функция 81х) имеет один экстремум, вблизи которого 8(х) = 1 — 1,528х~ (если считать экстремум максимумом; этот выбор условен ввиду инвариантностн уравнения (32.13) относительно изменения знака 8). ~) См. оригинальные статьи: РеудевЬаит М.э'. // 3. 8сап Раув. 1978. У.
19. Р. 25 1979, У. 21 Р 669. ' ) Имеются в виду расстояния на нерастянутом отрезке ~ — 1, Ц, условно выбранном с самого начала как интервал изменения х, на котором расположены все элементы циклов. Отрицательность о означает, что при бифуркациях происходит также инверсия расположения элементов относительно точки х = О. 178 тк ьмлюпность гл и! ствительно, если две близкие точки преобразуются через почти линейный участок функции отображения, расстояние между ними уменьшится в ~а~ раз; если же преобразование происходит через участок функции отображения вблизи ее экстремума расстояние сократится в сг раз.
В мспяент бифуркации (при Л = Л ) каждьпл элемент (точка) 2т -цикла расщепляется па пару. — две близкие точки, расстояние между которыми постепенно возрастает, но точки остаются ближайшими друг к другу на всем протяжении изменения Л до ! чедующей бифуркации. Если следить за переходами элементов цикла друг в друга с течением времени (т. е. при последовательных отображениях х ! = 7'(луб Л)), то каждая из коьшонент пары перейдет в другую через 2 единиц времени. Это значит, что расстояние между точками пары измеряет амплитуду колебаний вновь возникающего удвоенного периода, и в этом смысле представляет особый физический интерес. Расположим все элементы 2отг-цикла в том порядке, в котором они обходятся со временем, и обозначим их как т тз(1), где время 1 (измеренное в единицах основного периода То) пробегает целочисленные значения 1/То = 1, 2, ..., 2вт!.
Эти элементы возникают из элементов 2ю-цикла расщеплением последних на пары. Интерваззы между точками каждо!3 пары даются разностями С т!(1) = х ьз(1) — т >(1+ Т„,), (32.14) где Т = 2 То = Т т!(2 период 2ь'-цикла, т. е. половина периода 2'атз-цикла. Введем функцию о»а(1) - масштабный множитель, определяющий изменение интервалов (32.14) при переходе от одного цикла к следующему '): 1 -ь!(1)й (1) = .(1) (32 15) Очевидно, что С -ЬЗ(1+Тел) = — 6 «Ы(1), (32.16) и поэтому (32.17) с»о«(1+ Тт) = сгт(1) ° Функция !тю(1) имеет сложные свойства, но можно показать, что ее предельный (при больших т) вид с хорошей точностью ') Поскольку оба цикла существуют в разных интервалах значений параметра Л (на интервалах (Л !, Л ) и (А,„, й,„»!), и на этих интервалах величины (32.14) существенно меняются, то их смысл в определении (32.15) нуждается в уточнении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
